逻辑学07-5在线视频

我们在前面已经给出了

命题演算自然演绎系统

那么这里面

它也和公理系统一样

它可以做证明 可以做推演

我们再重复一遍

就是 证明是不依赖于假设的

如果有假设

这个假设也要消掉

是纯逻辑的结果

而推演是依赖于

逻辑之外的这个假设

所得到的那个结果

那么公理系统里边有证明和推演

那么我们这个自然演绎系统里边

也有这个证明和推演

那我们再看一遍C系统

它的符号大家非常熟悉

它的这个推演规则有这么六条

这个六条里边就是

这个都是非常直观的

最重要的是这两条

而这一条是大家所熟悉的

相当于分离规则

所以大家主要要记住这两条

这两条是要特别记住的

这个是看一遍你就记住了

这个呢是我们熟悉的

所以这两条一定要记住

一个叫蕴涵引入

一个叫否定消去

它们都是什么呢

原来有一个假设

通过若干步骤以后

它从假设里面跳出来了

它已经不依赖于这个假设了

它已经从这个假设跳出来

这条线就是说

这个右边的步骤

都是在这个假设之下的

那么 比如说这里

像这一步 这一步

都是在这两个假设之下的

而这个它已经不依赖于假设了

我们再来看刚才

前面我们已经说过的

我们现在就可以知道了

它到底是怎么一回事情

进行证明和推演的步骤

第一都是引入假设

那我们知道

那一定是用第一条规则引入假设

第二 运用使用给定的

接近于日常思维的推演规则

进行推演

也就是说我们要进行推演

每一步都要有根据

这个根据是前面那个六条规则

正如我们在L系统里面

它的根据是

三条公理模式和一个推演规则

我们这里没有公理模式

只有推演规则

一定是六条

推演规则其中的某一条

来作为每一步的根据

第三 最后如果按照规则消去假设

如果你假设消掉了

已经没有假设了

那么也就是说

你已经得到这样的东西了

那么它是怎么样呢

那么它就得到

不依赖于假设的一般定理

也就是说纯逻辑的东西

如果还保留假设

有的假设消不掉

或者我不想把它消掉

那么就得到

依赖于这个假设之下的推论

好 下面我们就要来进行

这个自然演绎系统C

这个系统里边的这个证明

我们要用若干的这个例子来证明

这个例子都是我们

在前面公理系统里边所见过的

因为我们这一部分就是想

让大家来体会一下

公理系统和自然推演系统

之间的这种不同

所以我们故意

用一样的例子来说明

我们看p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}

我们在公理系统L里边用了五步

在这里怎么证明的

假设p{\fs10}1{\r} 可以吧 假设引入

因为你可以划一个圈表示假设

然后你写出任意合式公式

我们前面写过p{\fs10}1{\r}了

我下面可以再写p{\fs10}1{\r}

而且这个时候已经不是新的假设

这个叫重复

我前面说过的话可以再说一遍

然后你看这个叫蕴涵引入

它是 假设A 如果得到B

而且这个B它是有根据的

如果假设A得到了B

我就可以跳出这个假设说

A蕴涵B 这叫蕴涵引入

你看 我假设p{\fs10}1{\r}得到了p{\fs10}1{\r}

我就跳出这个假设

我说p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}

根据是蕴涵引入

这就证完了

证完了吗 证完了

怎么见得呢 你看

我们已经得到我们要的结果了

而且我们每一步都是有根据的

都是那六条根据里边

这个太简单了

那么这个恰恰是自然推演

它区别于公理系统的一个特点

因为大家在数学课

用公理系统来证明题目的时候

往往会有这种感觉

就是说这个要我证的定理

看上去非常直观 是当然的

这个东西就难证

我看上去不那么一目了然

这个反而容易证

也就是说在公理系统里边

往往 当然也不一定是绝对的

往往是不直观的东西反而好证

直观的东西反而不好证

但是在自然演绎系统里边

它正好相反

你越直观的东西就越好证

像这个p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}

我们平时根本不需要证的

如果今天星期一 那么今天星期一

这是当然的

我们在这里当然不能不证

但是越是像这样

我们日常不需要证的东西

在自然演绎系统里边

它会非常容易

用最简单的步骤就把它证出来了

这是它区别于

这个公理系统的一个特点

那么下面我们再看

下面这个 非p{\fs10}1{\r}蕴涵 p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}

我们还记得我们在L系统里边

我们是用了七步

我们用了所有的

三条公理模式和一个推演规则

然后用了七步 写了很长 证出来的

但是这里步骤说起来很多

一 二 三 四 五 六 七 八

步骤还多一步 还八步

但是它的思路是非常容易掌握的

我们大家来看

我用假设引入非p{\fs10}1{\r}

这没有问题 当然可以

因为这是个合式公式

可以随时引入

任意合式公式 来作为假设

然后我再假设p{\fs10}1{\r}

你既然引入非p{\fs10}1{\r} 假设非p{\fs10}1{\r}

为什么还要假设p{\fs10}1{\r}

这个你没有理由说

不让我这么假设

因为我随时随地可以引入

任何合式公式作为假设

这是个合式公式

我当然可以来假设

然后我再假设

再引入一个假设叫非p{\fs10}2{\r}

这个当然可以

你假设非p{\fs10}1{\r}又假设非p{\fs10}2{\r}

你假设这么多

我现在已经有三层假设了

你套得出来吗

不用担心

只要它是真正的纯逻辑定理

一定可以套出来的

你看现在三层了 都是假设

假设非p{\fs10}1{\r} 假设p{\fs10}1{\r} 假设非p{\fs10}2{\r}

好了

到这一步已经在三层假设之下

这就好像我如果假设

假如我很有时间

假如我的身体很好

假如我的钱很多

那么我要去做环球旅行

是吧 我做了三个假设

那么我们这里也是

我做了三层假设

当然你四层 五层都可以

然后下边你看

我前面说过p{\fs10}1{\r}

我可以再说一遍

这个叫重述

因为我前面已经说过了

我当然可以再说

然后我前面说过非p{\fs10}1{\r}

当然可以再说

好了 你现在看

我非p{\fs10}2{\r}之下出现了p{\fs10}1{\r}和非p{\fs10}1{\r}

而且这个p{\fs10}1{\r}和非p{\fs10}1{\r}

不是随便来的

是有根据的 叫做重述

当然这个重述来自这个

当然它也有根据啊

它是假设引入啊

它随时可以作为

合式公式来作为假设引入

它也是这样的

所以非p{\fs10}2{\r}下面得到了

p{\fs10}1{\r}和非p{\fs10}1{\r}一对矛盾

得到了相反的两个东西

得到了A和非A

或者说得到了B和非B

那我就可以

从这个假设里边套出来

我下面得到p{\fs10}2{\r}

请注意

这个p{\fs10}2{\r}已经脱出一层假设了

原来这儿有三层假设

但是我现在已经脱出来了 是p{\fs10}2{\r}

好 我这个根据是否定消去

那么我假设p{\fs10}1{\r} 注意这条线

我假设p{\fs10}1{\r}下面我得到了p{\fs10}2{\r}

那我就从这个假设里边套出来了

因为这个叫什么

这个叫做蕴涵引入

我们看否定消去

我非A里面有B和非B

我就得到A

非p{\fs10}2{\r}里面得到p{\fs10}1{\r}和非p{\fs10}1{\r}

我就得到p{\fs10}2{\r}

那么还有就是蕴涵引入

假设A 得到B

我就脱出这个假设

我说A蕴涵B

我假设p{\fs10}1{\r} 我得到了p{\fs10}2{\r}

因为这个已经没有了

假设p{\fs10}1{\r}得到p{\fs10}2{\r}

我就从这个假设里边脱出来了

就没有这个假设了

它就是p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}

这个叫做蕴涵引入

因为这个到这个

本来没有蕴涵的

我现在这个写前面 这个写后面

加一个蕴涵 所以叫蕴涵引入

好 我现在在这个假设之下

你看我又得到了这个

我就可以说

从这个假设里边套出来

这个假设套出来以后

是这个蕴涵这个

好 那么这个也是用蕴涵引入

我们看我们所需要的已经得到了

那么我们证了几个题目以后

可能我们会有种错觉

好像你这个东西

什么东西都证得出来

我们说不是的

你最简单的p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}

你试试看 证不出来的

p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}它不是重言式

所以也不会是这里边的定理

p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}这么简单

它证不出来的

所以不是什么东西都

如果什么都证得出来

它就没有价值了

它不是什么都证得出来的

好 这又是一个例子

而且通过这些例子呢

大家可以多少看出一点思路

我们说公理系统

它这个定理的证明

这个技巧比较难掌握的

比如说虽然我在这里讲L系统

但是如果我在我的学校上课

如果有一个学生

拿来一个定理说老师

这个定理你看看

L系统里边怎么证

我可能看不出来

我说我带回去

我下礼拜来告诉你

也许下个礼拜我告诉他

对不起 我也没想出来

很可能这样的

因为那个思路非常难掌握

那么但是像这个自然推演系统

我相信

我们今天这些例子举过以后

我们大部分朋友自己都可以

用这个系统来证明一些定理了

我们可以大致地看一下这个思路

我们看看你想要什么东西

你先假设它

然后你总可以想办法

又得到后面的东西

这个就有了

你看 刚才这个也是

我想要得到 非p{\fs10}1{\r}蕴涵 p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}

我就先假设非p{\fs10}1{\r}

再假设我要的后面的东西

我再假设它

这个东西得不到了

得不到我就用它的否定

然后你看 就这么一步步得之

这是一个大致的思路

当然你不能说

所有东西我都用这个

有一个前提

这个东西必须是

相当于那个重言式的

你用这套方法才出得来

你不是重言式

你随便写一个东西

那是出不来的

好 我们再来看几个例子

我现在要证明 p{\fs10}1{\r}蕴涵 p{\fs10}2{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}

还是刚才的思路

你看我要证明这个东西

我先假设p{\fs10}1{\r}可以吧

我再要这个东西

我再假设p{\fs10}2{\r}可以吧

我前面有个p{\fs10}1{\r}

我再说一遍 这个叫做重述

然后假设p{\fs10}2{\r}得到p{\fs10}1{\r}了

好

我从这个假设里面套出来了 蕴涵引入

然后我从这个又得到这个了

你看得到了

所以还是刚才说的

会有人觉得随心所欲

什么东西都出得来

不是的 为什么这个可以出来

它是一个重言式

它重言式 在这个系统里边

才会这么容易出来

如果不是重言式

不是容易不容易

是根本出不来的

我们下面再看一个很长的

p{\fs10}1{\r}蕴涵 p{\fs10}2{\r}蕴涵p{\fs10}3{\r}

这是一个括号 前面一部分

后面一部分是这样的

p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r} 蕴涵 p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}3{\r}

好 这么一个东西

它就是说是这个蕴涵这个

而这部分里边是这个蕴涵这个

这部分里边是这个蕴涵这个

很长 好像写得密密麻麻

但是实际上

这个思路大家都可以掌握的

我要想证这个蕴涵这个

我先把这个作为假设

假设引入

然后我想得到这个蕴涵这个

我再把这个作为假设引入

我再想得到这个蕴涵这个

我再把这个作为假设引入

已经三层假设了 没有关系

然后你看

前面这个我再说一遍 叫重述

你看有p{\fs10}1{\r}

有p{\fs10}1{\r}蕴涵这个东西

那我现在就可以用什么

我就可以用蕴涵消去

就相当于蕴涵的肯定前件

你看这个蕴涵这个

它这个现在这里有了

相当于用分离规则

所以我就得到什么呢

这个和 这个蕴涵这个

我就得到后面这个东西

这是什么呢

这是蕴涵消去

好 这个前边p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}说过了

我再说一遍

在新的假设之下再说一遍

p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}

好 这个叫做重述

然后我看这个

这里有p{\fs10}1{\r}

这里有p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}

根据我们刚才的说法

最好这个p{\fs10}1{\r}在这里再重复一遍

因为这里有个p{\fs10}1{\r}

它在同一个没有新的假设之下

我再说一个p{\fs10}1{\r}

这样p{\fs10}1{\r}和 p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r} 就看得清楚

但是我这里已经写不下了

所以这一步我就省了

我们离得不太远

我们看p{\fs10}1{\r}同一个 同一条线上

p{\fs10}1{\r}和 p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}

那我就可以因为它和 它蕴涵它

我就可以得到它了p{\fs10}2{\r}

这是蕴涵消去

好 然后p{\fs10}2{\r}蕴涵p{\fs10}3{\r}

这个前面说过了

我再说一遍 p{\fs10}2{\r}

当然这步也可以不要

我说我直接看这个和这个

看得清楚一些

我这还打得下

我把这部分打出来叫重复

我前面说过p{\fs10}2{\r}蕴涵p{\fs10}3{\r}

我再说一遍 你看

这里有p{\fs10}2{\r} 这里有p{\fs10}2{\r}蕴涵p{\fs10}3{\r}

我当然用蕴涵消去 p{\fs10}3{\r}就来了

蕴涵消去 好

我假设p{\fs10}1{\r} 我得到p{\fs10}3{\r}了

那我消去这个假设 p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}3{\r}

这是蕴涵消去

然后我假设p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}之下

在这条线下得到了p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}3{\r}

那我就可以说p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}

蕴涵 p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}3{\r} 它蕴涵它

因为我在这条线之下

你看 假设它得到了它

我就可以从这个假设里面出来

它蕴涵它 它蕴涵它就得到了

最后一步还是这样

我假设它 我已经得到了它

那么我下面

就从这个假设里边出来

就是它 蕴涵它

也就是这一步

这一步恰恰是我们所要证的

所以你看起来很长

但是我相信大部分朋友

这个已经知道了

这个应该怎么弄

这个思路已经可以掌握了

好 我们再看下面一个例子

非p{\fs10}1{\r}蕴涵非p{\fs10}2{\r} 蕴涵 p{\fs10}2{\r} 蕴涵p{\fs10}1{\r}

这个括号蕴涵这个括号 那么

我想大家到现在已经有经验了

这是前面一部分作为假设引入

后面的p{\fs10}2{\r}再作为假设引入

然后我们想得到p{\fs10}1{\r}

好像从正面得不到

然后从这个p{\fs10}1{\r}

它的否定作为新的假设引入

然后这个重述

再说一遍

这个是A 这个是A蕴涵B

所以我们就蕴涵消去

就得到了这个B

也就是非p{\fs10}2{\r}

这个p{\fs10}2{\r}再说一遍是重述

好 非p{\fs10}1{\r}这个假设之下

得到了一对矛盾

那么我们要用否定消去

去消去这个假设

得到它的否定也就得到p{\fs10}1{\r}

好 假设p{\fs10}2{\r}得到了p{\fs10}1{\r}

那么我们就消去这个假设

得到这一步是蕴涵引入

然后我们在这个假设之下

我们看得到了这个

那么就消去了这个假设

得到了它蕴涵它 也就是这个

那么这个就是我们要得到的结果

所以我们看 通过这几个例子

大家都可以多少摸到一点

这个自然推演系统

它的这个证明的这种思路

我们说自然推演系统

自然演绎系统 是一个意思

两种说法都是可以的

好 我们下面再看一个

就是所谓推演的一个例子

假设引入 非p{\fs10}1{\r}蕴涵非p{\fs10}2{\r}

再假设引入p{\fs10}2{\r}

我再假设引入非p{\fs10}1{\r}

我现在要干什么 没关系

反正是任何这个合式公式

随时可以作为假设引入的

好 前面这个说过了

我重述再说一遍

这是A 这是A蕴涵B 我就得到了B

用蕴涵消去 然后呢

这个 p{\fs10}2{\r}我再说一遍

好 非p{\fs10}1{\r}这个假设之下

得到了p{\fs10}2{\r}和非p{\fs10}2{\r}这对矛盾

那么下面就消去这个假设

得到p{\fs10}1{\r} 这个叫做否定消去

那么这个大家很熟悉

好 我底下不再往下写了

我写到这就完了

那么我们看

还有两个假设没有消去呢

没有关系 所有假设消去

这个得到的是纯逻辑的定理

而还有假设没有消去

没有关系

那我们是叫做什么呢

这叫做一个推演

所以我们下面就这么写

我下面有这个结论是p{\fs10}1{\r}

但这个p{\fs10}1{\r}不是纯逻辑的

它前面还有两个假设呢

我把这两个假设写下来

就是有一个集合

合式公式的集合

这合式公式（的集合）里边有两个元素

一个元素是第一个假设

写在这 逗号

然后这里写第二个假设

好 在这两个假设之下

我在C系统里边

我得到一个结果叫做p{\fs10}1{\r}

这个大家看 好像是见过的

这个是我们在L系统里边

做过的所谓推演

大家可能还记得我说的例子是

物理学家告诉我们一个定律

物体不受外力

它就不会改变运动的方向

这是物理学家告诉我们的定律

但是物理学家说是这样的

但对于我们来说

我们不知道物理学家说得对不对

我们就只当他是对的

但是对我们来说是个假设

天文学家告诉我们

有一个观测结果说某一个天体

它运动的方向变化了

那我们也不知道

是不是真的变化了

反正这个天文学家这么说

对于我们来说是一种假设

好 我现在在这里

当然 这个假设是我加出来的

但是这个假设被消去了

所以没有关系

没有消去的这两个假设

一个是物理学家的定律

一个是天文学家的观测结果

好 我现在在物理学家的这个定律

和天文学家的观测结果之下

我在C系统里边

我得到了一个结论说

这个天体受到了外力

那么我能不能

逻辑我能不能独立地来保证

这个天体受到外力呢

我们说不能保证的 为什么

这里不是纯逻辑的结果

它是有前提的

也就是 如果物理学家说得对

如果天文学家说得对

那么我这个结论一定不错

如果他们两个的话里边

有一个错了

那么我就不能保证这个结果了

那么这个叫做

从这两个前提推演得到了这个p{\fs10}1{\r}

这和L系统里边是一样的

好 我们再来复习一下

就是用自然演绎系统

进行证明和推演

首先要引入假设

然后要按照这个推演规则

来进行推演

我们看我们刚才的每一步

我们刚才所有的例子里的每一步

我们都写出了它的理由

而且这个理由

就是那个六条推演规则

从那个里边来的

好 如果最后假设都消去了

那我们就得到的

是不依赖于假设的

纯逻辑的 叫做一般定理

比如说p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}

如果保留假设 像刚才那个例子

那么我们就得到

依赖于假设之下的这个推论

也就是说这是一个推论

你这个推论依赖于什么

我依赖于假设

假设里边有两句话

有两个这个元素

就是这句话和这句话

我依赖于这两个我得到了这个

那么这就是C系统

那么前面

我们对于公理系统有评价

那么对于这个

我们前面

对于L系统公理系统有评价

那么对于自然演绎系统呢

我们也可以做相应的评价

我们说自然演绎C系统

它是具有可靠性

具有完全性的

所谓具有可靠性

就是这里的定理

都是第四章里边的重言式

所谓完全性是说

第四章里边的重言式

都可以在C系统里边

用这一套方法

用这个六条推演规则推出来

当然 口说无凭

可靠性和完全性需要证明

这个证明已经做了

但是这个证明非常地繁琐

所以在这里我们就没有法子

跟大家来说

具体的证明的步骤

只是告诉大家

这个证明的结果是

自然演绎系统具有可靠性 完全性

那么我们说

这个所谓可靠性 完全性

意思就是说

它的这个定理和第四章里边的

重言式是恰好重合的

那么L系统也是如此

所以现在有三个东西是一样的

就是说自然演绎系统C的所有定理

和L系统的所有定理

和第四章里边的所谓重言式

这三个东西是一样的集合

就是说它们的这个元素

完全是一样的

那么这两个系统我们说等价

什么叫等价

所谓两个系统等价

就是这两个系统

它的结果是一样的

出发点不一样

L系统有三条公理模式

它就没有公理模式

它有一条推演规则

它有六条推演规则

所以出发点不一样

但是它们的结果是一样的

你的定理就是我的定理

我的定理就是你的定理

不是你的定理也不是我的定理

不是我的定理也不是你的定理

这两个完全一样的

那么这就叫做等价

那么这两个系统它是等价的

所谓等价就是

它们的定理集完全相同

那么怎么见得完全相同

首先我们看L系统的语言

和C系统的语言是一样的

这两张完全一样

我们只是把标题改了一下

这是我们故意

用两个语言完全一样的

不同的两个系统

然后我们看

它们这个推演的出发点

公理系统L它有三条公理模式

有一个推演规则

而这个C系统它是没有公理

它有六条推演规则

那么如果L系统

因为L系统一共四个出发点

如果这四个出发点

在C系统里边都能得到体现

那么我们就说

L系统里边的东西能得到的东西

C系统里边都可以得到

那么是不是这样的呢

我们刚才证的那三个

我们刚才证的

这个定理里边有三个

大家可能注意到了

就是这一个 这一个

还有这一个

这三个大家可能觉得似曾相识

也就是这三个是什么呢

我们看 它恰恰对应

L系统里边的三个公理模式

假如我们这里证明的时候

不是证明具体的定理

我用A和B代进去证

也就是我证出来

相当于定理模式的话

那么这个和这个就是完全一样的

所以 L系统的出发点

L系统出发点在C系统里边

完全能得到

那么也就是L系统

你从这个出发能得到的东西

我从这个出发也全部能得到

好 那么还有一条

L系统它还有一个推演规则

那么这个推演规则怎么样呢

我们看到这个推演规则

在C系统里边是完全一样的

你看从A蕴涵B

和A 可以得到B

这是完全一样的

不过是两种不同的写法而已

从这里我们可以看到

L系统所有的出发点

在C系统里边都有

那么也就是L系统可以得到的东西

C系统都可以得到

但是反过来我们说

C系统它的这些出发点

在L系统里边

是不是都可以得到呢

也都可以得到

但是那个（证明的）步骤就比较复杂

不是像我们现在这么一目了然的

所以我们也只能

告诉大家这个结果

就是说这个

我们大家已经看到了

L系统的出发点

在C系统里边都可以得到

那么我们相当于

比较简单地证明了一下

但是这个C系统里边的出发点

在L系统里边也可以得到

但这个很直观就可以得到了

但是像这个呢 我们要说明

这个每一条推演规则

在L系统里边也可以得到体现

那么也是可以证明的

但是这个步骤比较麻烦

我们在这里就不证明了

只是告诉大家这个结果

也就是说

这个L系统和C系统它是一样的

它是完全相同的

那么到这里

大家可能有一个疑问 就是说

L系统这个证明我们掌握不了

但是这个C系统

你这几个例子一来

好像我们基本上都会了

基本上会了

那么我们大家

就用自然演绎系统好了

为什么还要公理系统

那么这里要说明的是

我们这里的这个

C系统自然演绎系统呢

是一个教学示范系统

就是这个系统本身

是没有问题的

但是这个系统呢

它不是一个很典型的

自然推演系统

因为自然推演系统

自然演绎系统

它的特点是接近于日常思维

那么你接近于日常思维

你就要接近于日常这个语言

而日常语言里边

绝不是只有一个否定一个蕴涵

我们日常语言里边命题联结词

合取 析取 你总是要的

反蕴涵 等值 也是经常要用到的

因此 典型的自然演绎系统

要比这个C系统出发点大得多

用到的符号多得多

你要合取 你要析取

你要反蕴涵 你要等值

那么有这些个符号

你就要有相应的推演规则

所以它的推演规则就很多

因此典型的自然演绎系统

它的符号就多 它的出发点

作为出发点的推演规则也多

那么它的出发点很庞大

那么你要证明

这个系统本身的一些性质

那就更为繁琐

我们说这个L系统

L系统出发点是很小巧的

只有三条公理模式一个推演规则

但是要证明它的可靠性 完全性

特别要证明它的完全性

是很繁琐的事情

那么这么小的一个出发点

证明它的完全性尚且如此的繁琐

那么C系统

C系统本身它是也是比较小的

但是典型的自然演绎系统

要比C系统大得多

那么要证明它本身的

比如说可靠性 完全性

这就要复杂得多

因此这个自然推演系统

自然演绎系统和公理系统

它是各有特点的

公理系统进行运作的时候

比较麻烦 思路不容易掌握

自然演绎系统运作的时候

思路比较容易掌握

但是你证明它本身的一些性质

要比较麻烦

这个证明它本身的一些性质

虽然也麻烦

但是比这个要稍微地容易一些

好 到这里呢

我们对于有效推理形式

就是对于以基本命题

作为最基本单位的

或者说复合命题形式

它们之间的推理

有效推理形式

我们现在有了

非常好的判定的方法

也有了非常好的生成的方法

而且都不止一种方法

那么对于复合命题的推理

那么我们到这里

就先告一个段落

后面还有其他的

分门别类 还有其他的推理

这一讲我们就到这里