当前课程知识点：逻辑学概论 > 第十讲 基本命题的推理 > 10.5 关系命题根据谓词性质的推理方法 > 10.5 关系命题根据谓词性质的推理方法
这个题目是关系命题里边
根据谓词性质的推理方法
谓词 我们知道是千变万化的
那么我们这里 关系命题里边的谓词
当然都是多元谓词
那么下面我们举出
就是二元谓词里边的一些关系
二元谓词里边的一些关系
有一些二元谓词里面的
有一些关系的它的有些性质
是可以用来进行推理的
那么我们提供这样的方法
首先第一种叫做自反性
什么叫自反性
所谓自反性就是这种关系
它一个个体自己对于自己
是具有这种关系的
是不是具有这种关系叫做自反性
如果对于所有的x来说
当然我们这里要约定
就是说这个R是什么意思
我们要确定
然后这个x是在什么范围之内取值
这个我们也要约定
约定以后我们说
对于所有的x来说
x对于x自己一定有这种关系
比方说这个R的关系是等于
数学里边的等于
这个x我们约定
在实数范围内取值
那么我们说对于所有的实数来说
它自己总是和自己相等的
是不是这样的
是的
所以在实数上等于关系
就是一种自反关系
那么我们说几何里边图形之间
直线之间
平行就是一种自反关系
它自己和自己总是平行的
相似
（一个）图形
自己跟自己总是相似的
那么全等
它自己跟自己总是全等的
所以在几何里边 全等 平行 相似
都是自反关系
反自反关系
意思是在一个范围之内
对于所有的x来说
x它自己对自己一定不具有这种关系
仍然比如说在实数上
我们说大于关系
对于所有的实数来说
它自己一定不会大于自己
一定不会这样
x大于x不可能的
在实数上没有的
所以大于关系
就是一种反自反关系
再比如说 平面几何里边垂直
它自己和自己不会垂直的
所以垂直呢
这也是一种反自反关系
那么还有一种叫做非自反关系
非自反关系呢
意思是在一个范围之内
存在着x 它自己对自己呢
有这种关系
并且也存在着x 它自己对自己
不具有这种关系
这个叫做非自反关系
就是自己对自己 也许这种关系成立
也许这种关系不成立
那么这个叫做非自反关系
比如我们说了解或者说认识
我认识你 你认识他
那么我们现在问
在人这个范围里边
他自己对自己
是不是一定具有认识的关系
当然我们说什么叫认识
这个首先要
对于认识要作出定义来
不是说我知道我是什么人
我姓什么叫什么就叫做认识的
这个认识就是说
我们把它定义为
就是说认识是指人对于一个人的
他的脾气 禀性 优点 缺点
各个方面基础的都比较正确地明白
都比较正确地知道
那么这叫认识
假如我们这么说
那么我们就问
是不是对于所有的人来说
自己都能够认识
我们再说得严格一点
正确认识
每个人是不是都能够正确认识自己
我们说是不是呢
不是的
我们确定x在人的范围之内取值
这个R是正确认识
好 我们说存在这样的x
它自己可以正确地认识自己
我相信我们大部分人都是这样的
都可以自己能够正确地认识自己
并且同时怎么样
也并且存在着这样的x
它自己不能够
它不是正确地认识自己
有这样的人
自己觉得了不起
骄傲自满
并没有他自己想象的那么完美
这个人就没有能够正确地认识自己
或者有些人太自卑了
实际上他是有相当的能力的
但是他自己觉得我什么也不行
那么这个都是不能够正确地
自己认识自己
所以我们说认识
对于正确认识
对于人来说呢
不一定是能够正确认识的
也不一定是不能认识的
而是有能正确认识的
有不能正确认识的
所以这就是一种非自反关系
那么分出 自反关系
反自反关系
非自反关系以后
如果我们知道某一种关系是自反关系
那我们就可以
比如说假如我知道 等于是自反关系
我就随时可以写 A等于A
你在数学证明的时候 你可以写 A等于A
A等于A
你怎么知道A等于A
因为数学上 等于
是一个自反关系
所以我可以直接这么写
反自反关系
我可以直接写 A不大于A
或者说 并非A大于A
A是多少我都不知道
但是我就直接可以写
并非A大于A了
为什么
因为大于是一种反自反关系
不管你这个A是多少
它自己对自己的大于
一定是不成立的
那么我就可以直接这么写
好 这个是所谓自反关系
第二种叫对称（性）
所谓对称关系是这样的
就是对所有的x对所有的y来说
如果x对于y有R这种关系的话
那么y对于x也就有R这种关系
注意一下这个括号的层次
这个后边是一个大的括号
就是 对于所有的x对于所有的y来说
如果x对y有这种关系
那么y对x也有这种关系
那么这是什么呢
比如说等于就是这样的
在实数上如果x等于y
一定y等于x
这是一定的
一定是可以倒过来的
平行也是这样的
你这个和那个平行
倒过来那个跟这个一定也平行
那我们说人
人和人的关系
张三和李四是同班同学
那李四和张三一定是同班同学
这是没有问题的
张三和李四是邻居
那么李四和张三一定是邻居
这个一定是什么呢
倒过来一定成立
这个叫做对称关系
这个在数学上
在我们日常生活中
有很多很多这样的对称关系
那么也有反对称关系
那么很容易理解
就是说 对所有x对所有y来说
如果x对y有这种关系
那y对x一定不具有这种关系
比如说大于就是这样的
如果A大于B
那当然B不大于A
这是当然的
这是一定如此
那么人和人之间的关系也是这样
比如说我们这个前面比如说
张三和李四是亲戚
那么当然李四和张三是亲戚
当然是这样的
那么假如比如我们说
张三对于李四来说
因为这个关系它是有顺序的
是x对于y有这种关系
x对于y来说
x是哥哥
那么y对x来说
y一定不是哥哥
一定不是
你不能倒过来
你是我的哥哥
我是你的哥哥
这是不可能的
所以 是哥哥
这也是一种反对称关系
非对称关系呢
就是存在这样的x存在这样的y
x对y有这样的关系
倒过来也成立
同时又有x和y有这样的
就是倒过来不成立
比如说什么呢
比如大于等于
比如说我们说 存在这样的x
存在这样的y
这个x是0.5
y是1/2
那么0.5大于等于1/2
倒过来1/2也大于等于0.5
这是对的
但是假如这个是3这个是2的话
3大于等于2
你倒过来说2大于等于3
就不成立
所以它可能成立
也可能不成立
那么这个叫做非对称关系
比如我们说人和人之间的关系
人和人之间有一种非常常见的
也是非常重要的关系
叫做爱慕的关系
love
那么我们说在人这个范围之内
如果张三对于李四有爱慕的关系
那么李四对于张三有没有爱慕的关系
我们说不一定
假如爱慕关系是一种对称关系
这个我们的世界将是非常美好的
对于所有的x
对于所有的y来说
如果张三爱慕李四
那么李四一定爱慕张三
假如我们的世界是这样的话
我们的世界真是太美好了
然而情况不是这样的
那么是不是反对称关系呢
如果张三爱慕李四
那么李四一定不爱慕张三
这样的话天下就要大乱了
幸亏我们的世界也不是这样的
那么我们的真实世界
爱慕它不是对称关系
也不是反对称关系
而是一种非对称关系
也就是说 存在这样的x
存在这样的y
应该说 存在这样的张三
这样的李四
张三爱慕李四
李四也爱慕张三
有这种情况
并且也有什么情况呢
张三爱慕李四
而李四不爱慕张三
所以根据爱慕是一种非对称关系
所以当我们听说
张三爱慕李四的时候
我们推不出李四如何
当然你只能推出李四被张三爱慕
你推不出李四的态度如何
因为爱慕是一种非对称的关系
所以当我们听说张三爱慕李四
你推不出李四如何
那么正因为我们推不出李四如何
那么这个当然我们推理在这个地方
是无能为力的
但是这个呢
就给什么呢
就给文学家提供了源源不断的
创作的题材
文学家就可以写了
张三爱慕李四
李四怎么样呢
有种种的情况
有种种的变化
因此爱慕是一种非对称的关系
那么当我们知道某种关系是对称的
比如我们知道 等于是对称的
那么所以给我们的条件是A等于B
我在证明的时候我可以写B等于A
我的根据是什么
我的根据是 等于是一种对称关系
那么当我知道A大于B的时候
我就可以直接写B不大于A
为什么
因为大于是一种反对称关系
好 下面第三种叫做传递（性）
传递关系是这样的
就是说三个个体之间
当然每一次还是两两之间的关系
还是一种二元关系
就是说x对y有这种关系
y对z有这种关系
x对z也有这种关系
第一个对第二个有这个关系
第二个对第三个有这种关系
那么第一个对第三个呢
也一定有这样的关系
这个叫做传递关系
比如说 等于
A等于B
B等于C
我就可以知道A等于C
为什么
因为 等于是一种传递关系
A大于B
B大于C
我就可以知道A一定大于C
为什么
因为是一种传递关系
或者我知道
甲是乙的哥哥
乙是丙的哥哥
我就知道甲一定是丙的哥哥
是不是
一定是的
哥哥的哥哥当然是哥哥
当然我这是就哥哥的本义而言
不是你社会上随便比我大一点的
就叫哥哥
不是这样的
就哥哥的本义而言
哥哥的哥哥一定是哥哥
姐姐的姐姐一定是姐姐
妹妹的妹妹一定是妹妹
一定的
这是一种传递关系
一定是这样的
反传递关系呢
x对y有这种关系
y对z有这种关系
但是x对z一定没有这种关系
这个叫反传递关系
比如说平面几何里边
L和M是垂直的
那么M和N又是垂直的
那么第一个和第三个是不是垂直的呢
它一定不是垂直的
在平面几何里边
它一定不是垂直的
那么就是一种反传递关系
那么我们刚才说
哥哥的哥哥一定是哥哥
那么比如说叔叔的叔叔
那一定不是叔叔
我们仍然是以本来的亲戚关系而言
不是随便叫一个叔叔的
叔叔的叔叔一定不是叔叔
那么当然比如说侄子的侄子
当然一定不是侄子
一定是这样的
好 那么非传递关系
那么大家自己就可以想到了
就是有可以传递得过去的
也有传递不过去的
比如我们说朋友关系
是不是传递关系
也就是说朋友的朋友
是不是朋友
不一定
有的时候朋友的朋友
也是我的朋友
有的时候朋友的朋友
我连听说都没听说过
所以朋友关系呢
它是一种非传递的关系
再比如说邻居的邻居是不是邻居
那么这个我们要对于邻居
做出严格的界定
到底什么叫邻居
因为我们一般地来说
我的邻居是他
他的邻居
那应该离我也不远
应该也是邻居
但如果要这么推下去的话
那这个邻居的范围就太大了
所以邻居关系严格地说
它应该是一种非传递的关系
再比如说我们体育比赛
战胜或者说打败
甲队战胜了乙队
乙队战胜了丙队
甲队是不是一定战胜丙队
我们知道不一定的
如果战胜关系是一种传递关系
或者是一种反传递关系
那么循环比赛里边
有一些比赛就不用打了
或者说打的话我们就不用看了
甲队战胜乙队
乙队战胜丙队
现在甲队跟丙队来比赛
它是我们手下败将的手下败将
我们一定会赢它的
不见得
那么循环赛
循环赛的魅力就在于
为什么体育比赛
一开始小组赛
都要循环赛
世界杯上来为什么要循环赛
循环赛当然有其他的因素
其中很重要的一个因素
就是这种战胜关系
它是非传递的
你知道了甲和乙
乙和丙 他们的以往的战绩
你不能直接得出
甲和丙之间这场比赛的结果
你无法准确预测
所以我们要去看那场比赛
所以这个战胜关系呢
也是一种非传递关系
那么当我知道
等于是一种传递关系
那么当我有一个前提是 A等于B
有一个前提是 B等于C
我直接可以写 A等于C
理由何在
理由是 等于 是一种传递关系
或者当我知道 A大于B
又知道 B大于C
我直接可以写 A大于C
你的根据是什么
我的根据是传递关系
大于关系是一种传递关系
所以当我们知道某种关系是传递关系
或者知道某种关系
是反传递关系
我们直接就可以根据这个
来进行一些推理
那么刚才我们看到的
就是 自反关系 对称关系
传递关系
还有 反自反关系
反对称关系
反传递关系
都可以直接用来进行推理
而非自反关系
非对称关系
非传递关系
这个不能直接拿来做推理
那么这个我们说了
关于谓词
根据谓词性质的推理
那么请大家一定要注意
我们在这个题目底下所说的推理
和我们以前所说的全部的推理
都是不一样的
请大家一定要注意
我们这一部分关系命题
根据谓词性质的推理方法
只是给出了一种方法
不是纯形式的逻辑推理
什么叫纯形式的逻辑推理
就是说 我不管你这个具体的东西是什么
你这种形式拿来推理
一定是可以推的
这个叫做纯形式的逻辑推理
也就是说
p1蕴涵p1
我不管你p1是什么东西
你p1蕴涵p1一定是成立的
我不管你p是什么东西
p或者非p
一定是成立的
一定是
我不管你p和q是什么意思
是什么情况
p蕴涵q如果成立
p如果成立
那么q一定成立
我们以前所有的推理
都是这样的
包括我们前边
就是存在量词
和全称量词
存在量词或全称量词
如果是一样的
它们的位置可以互换
存在量词在前
全称量词在后
我们可以把全称量词拿到前面来
把存在量词放到后面去
不管你这是什么具体的内容
这个推理一定是成立的
为什么
因为我们以前所说的这个推理
前面关于复合命题的推理
我们都是根据什么
都是根据命题联接词
命题联接词是逻辑里边
严格地给定了每一个命题联接词的性质
我们在这里 比如说前边那个三段论
以及我们这个前边
根据量词的推理
我们根据的是什么
我们根据的是量词
而量词是逻辑里边给定的
前面三段论里边还有什么呢
根据量词和联词
就是 是还是不是
肯定和否定
A E I O 之间
前面一讲大家还记得
A E I O 之间
A E I O 是靠什么确定的
靠肯定还是否定
所有还是有的
什么叫所有什么叫有的
什么叫肯定什么叫否定
逻辑里边给出了
逻辑里边严格地给出了
并且严格地控制着它们的使用
严格地控制着他们的意思
但是这里是什么
是根据谓词性质
谓词是什么
谓词是逻辑管不了的
是逻辑以外的东西
用逻辑的术语来说
命题联接词
连词 量词 叫做逻辑常项 经常的常
逻辑常项就是逻辑里边给定的
逻辑里边管得着的
而主词 谓词
特别这里的谓词
谓词是什么
谓词叫做逻辑变项
逻辑变项是什么
我们刚才说的
大于 等于 爱慕
叔叔 哥哥
亲戚 邻居
这个都是逻辑以外的东西
逻辑里边你说有多少种
我们可以问
有多少种命题联接词
我们可以说得出来
有多少种量词
有多少种连词
传统逻辑里边的
我们都说得出来
但是有多少种不同的谓词
当然谓词我们说有一元谓词二元谓词
但是一元谓词具体有多少种
二元谓词具体有多少种
我们不知道的
这是逻辑以外的东西
所以这个谓词的性质
是逻辑不知道的
比如你说等于是自反的吗
我们说是自反的
这不是逻辑里边知道的
这是数学家告诉我们的
爱慕是非对称的
怎么知道的
这是根据这个词
在汉语里边的具体解释而知道的
不是逻辑里边规定的
因此谓词的性质
是逻辑以外的东西
因此我们刚才这个
关键就在于就是说
某一个谓词它是自反的呢
还是反自反的呢
还是对称的呢
还是非传递的呢
这个是逻辑以外的东西
我们不知道的
我们只能说 如果它是传递关系
如果它是自反关系
但是它到底是不是自反关系
是不是传递关系 我们不知道
所以这里只是给出一种方法
当然这种方法很有用
但是这个和我们前面所说的逻辑推理
是不一样的
逻辑推理是怎么样的
逻辑推理是纯形式的
纯形式的
我们前面看到的那种逻辑的公式
那些公式都是
你不管把什么东西代进去
它这个一定是有效的
这个就不一定
我们刚才说的时候
比如说我用的时候怎么说的
我没说这个一定可以用
这个一定可以用
我说如果我们知道
这是一种传递关系
那就可以用它
如果我们知道R是反传递关系
我们就可以用它
你怎么知道R是传递关系
还是反传递关系
还是非传递关系
还是自反关系
不知道的
这是逻辑以外的东西
逻辑以外告诉我们的
所以我们每一个我都说
如果它是 怎么怎么
但是它是不是传递关系
从形式上是看不出来的
从外形上是看不出来的
你要明白 等于是怎么回事
大于是怎么回事
爱慕是怎么回事
邻居是怎么回事
这个是要有赖于具体的数学
具体的语言学
具体学科
所以请大家一定注意
这一节里边所说的
只是一种方法
严格地说不是逻辑里边的真正的
有效推理形式
-1.1 “逻辑"和逻辑学
--默认
-1.2 推理和推理形式
-1.3 有效推理形式
-1.4 逻辑学的特点
-1.5 逻辑学的基本准则
-1.6 逻辑学和其他学科的关系
-1.7 关于本课程《逻辑学概论》
-第一章作业
-2.1 中国古代逻辑思想（上）
--默认
-2.2 中国古代逻辑思想（中）
--逻辑学02-2
-2.3 中国古代逻辑思想（下）
--逻辑学02-3
-2.4 印度古代逻辑
--逻辑学20-4
-2.5 古希腊和中世纪逻辑
--逻辑学02-5
-2.6 近代西方逻辑
--逻辑学02-6
-2.7 数理逻辑的提出和实现
--逻辑学02-7
-2.8 数理逻辑的发展
--逻辑学02-8
-第二章作业
-3.1 推理和命题
--默认
-3.2 基本命题和复合命题
--默认
-3.3 常用命题联结词及其基本推理形式（1）
--默认
-3.4 常用命题联结词及其基本推理形式（2）
--默认
-3.5 常用命题联结词及其基本推理形式（3）
--默认
-3.6 常用命题联结词及其基本推理形式（4）
--逻辑学03-6
-3.7 常用命题联结词及其基本推理形式（5）
--逻辑学03-7
-3.8 常用命题联结词及其基本推理形式（6）
--逻辑学03-8
-3.9 常用命题联结词及其基本推理形式（7）
--逻辑学03-9
-第三章作业
-4.1 重言式、矛盾式和可满足式
--默认
-4.2 具体推理转换为推理形式
--默认
-4.3 推理形式转换为复合命题形式
--默认
-4.4 有效推理形式的判定：真值表法
--默认
-4.5 有效推理形式的判定：归谬赋值法
--默认
-第四章作业
-5.1 命题联结词：真值函数
--默认
-5.2 析取范式
--默认
-5.3 为复合命题形式作与之等值的析取范式
--默认
-5.4 合取范式
--默认
-5.5 范式存在定理
--Video
-5.6 命题联结词的充足集
--Video
-5.7 命题联结词的独元充足集
--Video
-第五章作业
-6.1 公理系统的构成
--Video
-6.2 命题演算的公理系统 L
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-6.3 命题演算公理系统 L 中的证明
--Video
-6.4 命题演算公理系统 L 中的证明（续）
--Video
-6.5 命题演算公理系统 L 中的推演
--Video
-第六章作业
-7.1 公理系统出发点的延伸
--逻辑学07-1
-7.2 公理系统的评价
--逻辑学07-2
-7.3 公理系统的性质和评价及其意义
--逻辑学07-3
-7.4 命题演算的自然演绎系统
--逻辑学07-4
-7.5 命题演算自然演绎系统中的证明和推演
--逻辑学07-5
-第七章作业
-8.1 基本命题的结构
-8.2 词项的内涵和外延
-8.3 词项的种类
-8.4 词项间的关系
-8.5 词项的定义
-8.6 词项的划分
-8.7 谓词的分类
-8.8 量词
--8.8 量词
-8.9 联词
--8.9 联词
-第八章作业
-9.1 基本命题的推理
--Video
-9.2 传统逻辑对基本命题的分析
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-9.3 性质命题中主、谓词的周延
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-9.4 命题变形的推理
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-9.5 根据对当关系的推理
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-9.6 三段论
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-9.7 三段论的式与格
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-9.8 有效三段论的判定
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-第九章作业
-10.1 性质命题
-10.2 主词非空的预设
-10.3 关系命题的结构
-10.4 关系命题根据量词的推理
-10.5 关系命题根据谓词性质的推理方法
-10.6 谓词演算简介
-第十章作业
-11.1 非经典（非标准）逻辑
-11.2 多值逻辑
-11.3 模糊逻辑
-11.4 模态逻辑
-11.5 规范逻辑
-11.6 时态逻辑
-11.7 弗协调逻辑
-第十一章作业
-12.1 演绎和归纳
--逻辑学12-1
-12.2 探求因果关系的逻辑方法
--逻辑学12-2
-12.3 证论和反驳
--逻辑学12-3
-12.4 悖论
--逻辑学12-4
-12.5 本课程《逻辑学概论》内容回顾
--逻辑学12-5
-第十二章作业
