10.5 关系命题根据谓词性质的推理方法在线视频

这个题目是关系命题里边

根据谓词性质的推理方法

谓词 我们知道是千变万化的

那么我们这里 关系命题里边的谓词

当然都是多元谓词

那么下面我们举出

就是二元谓词里边的一些关系

二元谓词里边的一些关系

有一些二元谓词里面的

有一些关系的它的有些性质

是可以用来进行推理的

那么我们提供这样的方法

首先第一种叫做自反性

什么叫自反性

所谓自反性就是这种关系

它一个个体自己对于自己

是具有这种关系的

是不是具有这种关系叫做自反性

如果对于所有的x来说

当然我们这里要约定

就是说这个R是什么意思

我们要确定

然后这个x是在什么范围之内取值

这个我们也要约定

约定以后我们说

对于所有的x来说

x对于x自己一定有这种关系

比方说这个R的关系是等于

数学里边的等于

这个x我们约定

在实数范围内取值

那么我们说对于所有的实数来说

它自己总是和自己相等的

是不是这样的

是的

所以在实数上等于关系

就是一种自反关系

那么我们说几何里边图形之间

直线之间

平行就是一种自反关系

它自己和自己总是平行的

相似

（一个）图形

自己跟自己总是相似的

那么全等

它自己跟自己总是全等的

所以在几何里边 全等 平行 相似

都是自反关系

反自反关系

意思是在一个范围之内

对于所有的x来说

x它自己对自己一定不具有这种关系

仍然比如说在实数上

我们说大于关系

对于所有的实数来说

它自己一定不会大于自己

一定不会这样

x大于x不可能的

在实数上没有的

所以大于关系

就是一种反自反关系

再比如说 平面几何里边垂直

它自己和自己不会垂直的

所以垂直呢

这也是一种反自反关系

那么还有一种叫做非自反关系

非自反关系呢

意思是在一个范围之内

存在着x 它自己对自己呢

有这种关系

并且也存在着x 它自己对自己

不具有这种关系

这个叫做非自反关系

就是自己对自己 也许这种关系成立

也许这种关系不成立

那么这个叫做非自反关系

比如我们说了解或者说认识

我认识你 你认识他

那么我们现在问

在人这个范围里边

他自己对自己

是不是一定具有认识的关系

当然我们说什么叫认识

这个首先要

对于认识要作出定义来

不是说我知道我是什么人

我姓什么叫什么就叫做认识的

这个认识就是说

我们把它定义为

就是说认识是指人对于一个人的

他的脾气 禀性 优点 缺点

各个方面基础的都比较正确地明白

都比较正确地知道

那么这叫认识

假如我们这么说

那么我们就问

是不是对于所有的人来说

自己都能够认识

我们再说得严格一点

正确认识

每个人是不是都能够正确认识自己

我们说是不是呢

不是的

我们确定x在人的范围之内取值

这个R是正确认识

好 我们说存在这样的x

它自己可以正确地认识自己

我相信我们大部分人都是这样的

都可以自己能够正确地认识自己

并且同时怎么样

也并且存在着这样的x

它自己不能够

它不是正确地认识自己

有这样的人

自己觉得了不起

骄傲自满

并没有他自己想象的那么完美

这个人就没有能够正确地认识自己

或者有些人太自卑了

实际上他是有相当的能力的

但是他自己觉得我什么也不行

那么这个都是不能够正确地

自己认识自己

所以我们说认识

对于正确认识

对于人来说呢

不一定是能够正确认识的

也不一定是不能认识的

而是有能正确认识的

有不能正确认识的

所以这就是一种非自反关系

那么分出 自反关系

反自反关系

非自反关系以后

如果我们知道某一种关系是自反关系

那我们就可以

比如说假如我知道 等于是自反关系

我就随时可以写 A等于A

你在数学证明的时候 你可以写 A等于A

A等于A

你怎么知道A等于A

因为数学上 等于

是一个自反关系

所以我可以直接这么写

反自反关系

我可以直接写 A不大于A

或者说 并非A大于A

A是多少我都不知道

但是我就直接可以写

并非A大于A了

为什么

因为大于是一种反自反关系

不管你这个A是多少

它自己对自己的大于

一定是不成立的

那么我就可以直接这么写

好 这个是所谓自反关系

第二种叫对称（性）

所谓对称关系是这样的

就是对所有的x对所有的y来说

如果x对于y有R这种关系的话

那么y对于x也就有R这种关系

注意一下这个括号的层次

这个后边是一个大的括号

就是 对于所有的x对于所有的y来说

如果x对y有这种关系

那么y对x也有这种关系

那么这是什么呢

比如说等于就是这样的

在实数上如果x等于y

一定y等于x

这是一定的

一定是可以倒过来的

平行也是这样的

你这个和那个平行

倒过来那个跟这个一定也平行

那我们说人

人和人的关系

张三和李四是同班同学

那李四和张三一定是同班同学

这是没有问题的

张三和李四是邻居

那么李四和张三一定是邻居

这个一定是什么呢

倒过来一定成立

这个叫做对称关系

这个在数学上

在我们日常生活中

有很多很多这样的对称关系

那么也有反对称关系

那么很容易理解

就是说 对所有x对所有y来说

如果x对y有这种关系

那y对x一定不具有这种关系

比如说大于就是这样的

如果A大于B

那当然B不大于A

这是当然的

这是一定如此

那么人和人之间的关系也是这样

比如说我们这个前面比如说

张三和李四是亲戚

那么当然李四和张三是亲戚

当然是这样的

那么假如比如我们说

张三对于李四来说

因为这个关系它是有顺序的

是x对于y有这种关系

x对于y来说

x是哥哥

那么y对x来说

y一定不是哥哥

一定不是

你不能倒过来

你是我的哥哥

我是你的哥哥

这是不可能的

所以 是哥哥

这也是一种反对称关系

非对称关系呢

就是存在这样的x存在这样的y

x对y有这样的关系

倒过来也成立

同时又有x和y有这样的

就是倒过来不成立

比如说什么呢

比如大于等于

比如说我们说 存在这样的x

存在这样的y

这个x是0.5

y是1/2

那么0.5大于等于1/2

倒过来1/2也大于等于0.5

这是对的

但是假如这个是3这个是2的话

3大于等于2

你倒过来说2大于等于3

就不成立

所以它可能成立

也可能不成立

那么这个叫做非对称关系

比如我们说人和人之间的关系

人和人之间有一种非常常见的

也是非常重要的关系

叫做爱慕的关系

love

那么我们说在人这个范围之内

如果张三对于李四有爱慕的关系

那么李四对于张三有没有爱慕的关系

我们说不一定

假如爱慕关系是一种对称关系

这个我们的世界将是非常美好的

对于所有的x

对于所有的y来说

如果张三爱慕李四

那么李四一定爱慕张三

假如我们的世界是这样的话

我们的世界真是太美好了

然而情况不是这样的

那么是不是反对称关系呢

如果张三爱慕李四

那么李四一定不爱慕张三

这样的话天下就要大乱了

幸亏我们的世界也不是这样的

那么我们的真实世界

爱慕它不是对称关系

也不是反对称关系

而是一种非对称关系

也就是说 存在这样的x

存在这样的y

应该说 存在这样的张三

这样的李四

张三爱慕李四

李四也爱慕张三

有这种情况

并且也有什么情况呢

张三爱慕李四

而李四不爱慕张三

所以根据爱慕是一种非对称关系

所以当我们听说

张三爱慕李四的时候

我们推不出李四如何

当然你只能推出李四被张三爱慕

你推不出李四的态度如何

因为爱慕是一种非对称的关系

所以当我们听说张三爱慕李四

你推不出李四如何

那么正因为我们推不出李四如何

那么这个当然我们推理在这个地方

是无能为力的

但是这个呢

就给什么呢

就给文学家提供了源源不断的

创作的题材

文学家就可以写了

张三爱慕李四

李四怎么样呢

有种种的情况

有种种的变化

因此爱慕是一种非对称的关系

那么当我们知道某种关系是对称的

比如我们知道 等于是对称的

那么所以给我们的条件是A等于B

我在证明的时候我可以写B等于A

我的根据是什么

我的根据是 等于是一种对称关系

那么当我知道A大于B的时候

我就可以直接写B不大于A

为什么

因为大于是一种反对称关系

好 下面第三种叫做传递（性）

传递关系是这样的

就是说三个个体之间

当然每一次还是两两之间的关系

还是一种二元关系

就是说x对y有这种关系

y对z有这种关系

x对z也有这种关系

第一个对第二个有这个关系

第二个对第三个有这种关系

那么第一个对第三个呢

也一定有这样的关系

这个叫做传递关系

比如说 等于

A等于B

B等于C

我就可以知道A等于C

为什么

因为 等于是一种传递关系

A大于B

B大于C

我就可以知道A一定大于C

为什么

因为是一种传递关系

或者我知道

甲是乙的哥哥

乙是丙的哥哥

我就知道甲一定是丙的哥哥

是不是

一定是的

哥哥的哥哥当然是哥哥

当然我这是就哥哥的本义而言

不是你社会上随便比我大一点的

就叫哥哥

不是这样的

就哥哥的本义而言

哥哥的哥哥一定是哥哥

姐姐的姐姐一定是姐姐

妹妹的妹妹一定是妹妹

一定的

这是一种传递关系

一定是这样的

反传递关系呢

x对y有这种关系

y对z有这种关系

但是x对z一定没有这种关系

这个叫反传递关系

比如说平面几何里边

L和M是垂直的

那么M和N又是垂直的

那么第一个和第三个是不是垂直的呢

它一定不是垂直的

在平面几何里边

它一定不是垂直的

那么就是一种反传递关系

那么我们刚才说

哥哥的哥哥一定是哥哥

那么比如说叔叔的叔叔

那一定不是叔叔

我们仍然是以本来的亲戚关系而言

不是随便叫一个叔叔的

叔叔的叔叔一定不是叔叔

那么当然比如说侄子的侄子

当然一定不是侄子

一定是这样的

好 那么非传递关系

那么大家自己就可以想到了

就是有可以传递得过去的

也有传递不过去的

比如我们说朋友关系

是不是传递关系

也就是说朋友的朋友

是不是朋友

不一定

有的时候朋友的朋友

也是我的朋友

有的时候朋友的朋友

我连听说都没听说过

所以朋友关系呢

它是一种非传递的关系

再比如说邻居的邻居是不是邻居

那么这个我们要对于邻居

做出严格的界定

到底什么叫邻居

因为我们一般地来说

我的邻居是他

他的邻居

那应该离我也不远

应该也是邻居

但如果要这么推下去的话

那这个邻居的范围就太大了

所以邻居关系严格地说

它应该是一种非传递的关系

再比如说我们体育比赛

战胜或者说打败

甲队战胜了乙队

乙队战胜了丙队

甲队是不是一定战胜丙队

我们知道不一定的

如果战胜关系是一种传递关系

或者是一种反传递关系

那么循环比赛里边

有一些比赛就不用打了

或者说打的话我们就不用看了

甲队战胜乙队

乙队战胜丙队

现在甲队跟丙队来比赛

它是我们手下败将的手下败将

我们一定会赢它的

不见得

那么循环赛

循环赛的魅力就在于

为什么体育比赛

一开始小组赛

都要循环赛

世界杯上来为什么要循环赛

循环赛当然有其他的因素

其中很重要的一个因素

就是这种战胜关系

它是非传递的

你知道了甲和乙

乙和丙 他们的以往的战绩

你不能直接得出

甲和丙之间这场比赛的结果

你无法准确预测

所以我们要去看那场比赛

所以这个战胜关系呢

也是一种非传递关系

那么当我知道

等于是一种传递关系

那么当我有一个前提是 A等于B

有一个前提是 B等于C

我直接可以写 A等于C

理由何在

理由是 等于 是一种传递关系

或者当我知道 A大于B

又知道 B大于C

我直接可以写 A大于C

你的根据是什么

我的根据是传递关系

大于关系是一种传递关系

所以当我们知道某种关系是传递关系

或者知道某种关系

是反传递关系

我们直接就可以根据这个

来进行一些推理

那么刚才我们看到的

就是 自反关系 对称关系

传递关系

还有 反自反关系

反对称关系

反传递关系

都可以直接用来进行推理

而非自反关系

非对称关系

非传递关系

这个不能直接拿来做推理

那么这个我们说了

关于谓词

根据谓词性质的推理

那么请大家一定要注意

我们在这个题目底下所说的推理

和我们以前所说的全部的推理

都是不一样的

请大家一定要注意

我们这一部分关系命题

根据谓词性质的推理方法

只是给出了一种方法

不是纯形式的逻辑推理

什么叫纯形式的逻辑推理

就是说 我不管你这个具体的东西是什么

你这种形式拿来推理

一定是可以推的

这个叫做纯形式的逻辑推理

也就是说

p1蕴涵p1

我不管你p1是什么东西

你p1蕴涵p1一定是成立的

我不管你p是什么东西

p或者非p

一定是成立的

一定是

我不管你p和q是什么意思

是什么情况

p蕴涵q如果成立

p如果成立

那么q一定成立

我们以前所有的推理

都是这样的

包括我们前边

就是存在量词

和全称量词

存在量词或全称量词

如果是一样的

它们的位置可以互换

存在量词在前

全称量词在后

我们可以把全称量词拿到前面来

把存在量词放到后面去

不管你这是什么具体的内容

这个推理一定是成立的

为什么

因为我们以前所说的这个推理

前面关于复合命题的推理

我们都是根据什么

都是根据命题联接词

命题联接词是逻辑里边

严格地给定了每一个命题联接词的性质

我们在这里 比如说前边那个三段论

以及我们这个前边

根据量词的推理

我们根据的是什么

我们根据的是量词

而量词是逻辑里边给定的

前面三段论里边还有什么呢

根据量词和联词

就是 是还是不是

肯定和否定

A E I O 之间

前面一讲大家还记得

A E I O 之间

A E I O 是靠什么确定的

靠肯定还是否定

所有还是有的

什么叫所有什么叫有的

什么叫肯定什么叫否定

逻辑里边给出了

逻辑里边严格地给出了

并且严格地控制着它们的使用

严格地控制着他们的意思

但是这里是什么

是根据谓词性质

谓词是什么

谓词是逻辑管不了的

是逻辑以外的东西

用逻辑的术语来说

命题联接词

连词 量词 叫做逻辑常项 经常的常

逻辑常项就是逻辑里边给定的

逻辑里边管得着的

而主词 谓词

特别这里的谓词

谓词是什么

谓词叫做逻辑变项

逻辑变项是什么

我们刚才说的

大于 等于 爱慕

叔叔 哥哥

亲戚 邻居

这个都是逻辑以外的东西

逻辑里边你说有多少种

我们可以问

有多少种命题联接词

我们可以说得出来

有多少种量词

有多少种连词

传统逻辑里边的

我们都说得出来

但是有多少种不同的谓词

当然谓词我们说有一元谓词二元谓词

但是一元谓词具体有多少种

二元谓词具体有多少种

我们不知道的

这是逻辑以外的东西

所以这个谓词的性质

是逻辑不知道的

比如你说等于是自反的吗

我们说是自反的

这不是逻辑里边知道的

这是数学家告诉我们的

爱慕是非对称的

怎么知道的

这是根据这个词

在汉语里边的具体解释而知道的

不是逻辑里边规定的

因此谓词的性质

是逻辑以外的东西

因此我们刚才这个

关键就在于就是说

某一个谓词它是自反的呢

还是反自反的呢

还是对称的呢

还是非传递的呢

这个是逻辑以外的东西

我们不知道的

我们只能说 如果它是传递关系

如果它是自反关系

但是它到底是不是自反关系

是不是传递关系 我们不知道

所以这里只是给出一种方法

当然这种方法很有用

但是这个和我们前面所说的逻辑推理

是不一样的

逻辑推理是怎么样的

逻辑推理是纯形式的

纯形式的

我们前面看到的那种逻辑的公式

那些公式都是

你不管把什么东西代进去

它这个一定是有效的

这个就不一定

我们刚才说的时候

比如说我用的时候怎么说的

我没说这个一定可以用

这个一定可以用

我说如果我们知道

这是一种传递关系

那就可以用它

如果我们知道R是反传递关系

我们就可以用它

你怎么知道R是传递关系

还是反传递关系

还是非传递关系

还是自反关系

不知道的

这是逻辑以外的东西

逻辑以外告诉我们的

所以我们每一个我都说

如果它是 怎么怎么

但是它是不是传递关系

从形式上是看不出来的

从外形上是看不出来的

你要明白 等于是怎么回事

大于是怎么回事

爱慕是怎么回事

邻居是怎么回事

这个是要有赖于具体的数学

具体的语言学

具体学科

所以请大家一定注意

这一节里边所说的

只是一种方法

严格地说不是逻辑里边的真正的

有效推理形式