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前三讲我们都是关于

所谓复合命题的推理

所谓复合命题的推理呢

就是它的前提或者结论

是复合命题

那么也就是说它是以基本命题

作为最基本的单位

来进行的一些推理

那么这个呢

在数理逻辑里边叫做命题演算

所谓命题演算的意思就是说

这个演算它的最基本的单位呢

是命题

是基本命题

在基本命题之上加上命题联结词

变成复合命题

这样所进行的一些演算

那么这里的演算呢

是推演的意思

不一定是像数学里边

一定要算个什么东西出来

这里的演算就是推理 推演

我们在前面已经有了 我们知道

有了非常好的

判定有效推理形式的方法

逻辑学研究有效推理形式

那么前面呢

我们在第四讲里边

我们已经得到了非常好的

能行的判定有效推理形式的方法

也就是说在这个范围之内

一个推理形式出来了

那么我们会有方法来判定

它是不是有效的

而且我们这个方法是能行的

真值表法是一定可以做的

而且我们还有简化的方法

就是在大多数情况下呢

我们还可以用另外一种

所谓归谬赋值法

归谬赋值法虽然不是每一个题目

都一定可以用的

但是大多数题目它是可以用的

那么它的好处是比较简单

一般地来说一行解决问题

但是如果归谬赋值法不行的话

真值表法一定是可以的

而且真值表法它是能行的

也就是说它用的方法是机械的

它的步骤是有限的

而且这有限的步骤之后呢

它的结果一定会出来的

所以这个是非常好的方法

那么也就是说我们有了一个非常好的

判定的方法

这就如同一个企业

它有一个非常好的检验部门

所有的产品出厂以前

一定要经过这个部门的检验

而且这个部门它有非常好的办法

来检验它的一切产品

凡是合格的都让它通过

凡是不合格的一律卡下来

用以前常说的一句话叫做

不放过一个坏人

也绝不冤枉一个好人

所以有这样好的一个检验环节呢

那么这个企业它的产品

一定是声誉非常好

因为它卖出去的产品

都是质量很好的

那么这样的话它的销路就会很好

那么我们说那么这个企业

效益大概一定是很好的

是这样吗

我们说不一定

虽然它的销路很好

它的声誉很好

但是我们要问

你现在出去的产品都是合格的

但是问你现在合格的产品

占你总产品的百分比是多少

假如比如说你生产了一百个产品

结果被检验下来以后呢

只有十个是合格的

也就是说你的合格率只有10%

当然那个90%被你拦下来了

那个10%卖出去生意是非常之好

但是你这个90%的不合格品

或者说废品

同样花费了大量的人力物力

大量的资源投在它的上边

所以这个90%的不合格的产品

它的成本是要摊在你总的成本里边的

所以如果是这样的情况

也就是说你卖出去一个产品

一件产品的话

你有九倍的废品

它的成本也压在它的上边

那么这样的话你的产品的成本

就非常地高

如果你要按照你的实际成本来定价的话

那么你的产品

售价就高得使用户难以接受

那么如果你按照一般的标准来定价

那么你就会赔本

看起来你的销路很好

但是你卖的越多

你销的越多

你赔的越多

这样的话时间一长

这个企业呢

是难以支持下去的

所以我们想呢

我们要找一种方法

也就是说一个企业你抓质量啊

你不能只抓检验环节

我们说抓质量要贯穿于整个生产环节

以至于在生产之前采购你都要抓质量

你买进来的原材料是不是合格的

然后你的每一个加工步骤

你都有非常有效的手段

保证我这道工序

一定不出废品

如果所有工序所有环节

都能做到这样的话

那么这个企业那么它

当然最后出来的产品

你可以拿去检验 没有问题

它都是合格的

假如能做到比方说百分之百的合格率

那么一方面它的口碑很好

它的销路会很好

另一方面同样情况下

它的成本达到了最低

因为它所有的资源

所有的人力物力

所体现在产品上面呢

这些产品都卖出去了

它没有废品

所以这样的话这个企业

它才会销路越好

一方面销路好

一方面效益才好

所以我们要找一种

就是你在生产过程中

就能够保证质量的方法

那么在这里呢

我们说刚才看到了

真值表法和归谬赋值法

它是一种判定有效推理形式的方法

我们说仅仅判定是不够的

我们要找一种什么呢

生成有效推理形式的方法

也就是我们要找一种方法

比如说它好像是一个打字机

好像是一个打印机

我们保证它打出来的

都是有效推理形式

如果不是有效推理形式呢

你想打都打不出来

保证打出来的都是有效推理形式

当然你可以拿去判定

结果判定都是没有问题的

都是有效推理形式

那么这样的方法呢

我们主要是有两种

一个叫公理系统的方法

一个叫自然推演系统的方法

那么今天呢

首先我们要来研究

所谓公理系统的方法

公理化的方法

首先我们要看一看公理系统的构成

那么我们要说公理系统呢

它不仅仅是运用于逻辑的

数学的各个分支都可以用公理系统

而且都应当用公理系统把它们整理出来

那么其他的学科

当它成熟到一定的程度的时候呢

它都应该可以构建它的公理系统

比如说物理学里边的

有一些分支

很早就构建了它的公理系统

那么下面我们要说的是

一般的来说不管是数理逻辑的

还是一般数学的

还是物理上的

还是其他方面的

所有的公理系统

它要有什么样的组成部分

首先我们说这个公理系统

因为公理系统呢

我们熟悉的比如说欧几里得的

几何公理系统

它是要有一定的公理

一定的推演规则

然后得到这个系统里边

这个范围里边所有的

所谓定理

所以它是要用什么呢

要用语言来表达的

那么首先要确定

这个公理系统用什么语言

那么当然作为严格的公理系统来说

那么我们说我们的自然语言

应该都是不行的

我们的汉语或者英语

我们的日常所用的这些个

所谓自然语言呢

应该说都是不合格的

为什么

因为日常语言我们前面分析过

有歧义

同样说一个词可以是这个解释

也可以是那个解释

白马非马的非

另外就是一个句子

因为这个句子是一些词串在一起的

那么这些词里边

什么应该先结合

什么应该后结合

比如说有这么一个句子

这里展示的是三个学生的作品

那么这句话就有两种解释

就是说这里展示的是一件作品

这件作品是由三个学生来完成的

这里是三个学生的作品

那么也可能这里是有三个作品

这些作品都是学生的作品

所以这里有三个学生的作品

那么这样的一句话

就可以做两种解释

甚至可以有更多的解释

那么当然自然语言里边

我们尽量要避免这种情况的发生

那我们可以改成比如说

这里是三位学生的作品

或者这里是学生的三件作品

可以是用这样的不同的

在汉语里边可以用不同的量词

可以用不同的词序

这样来避免歧义的发生

但是歧义的发生呢

有的时候你是躲不掉的

因为你说话的时候

你按照你的思路说

你不一定从其他的思路来考虑

所以你觉得这是当然的

但是听或者是看这句话的人

他从他的思路来

他可能就会有其他的理解

所以这个自然语言是很难避免歧义的

另外自然语言里边有一些词

它的意思我们虽然知道

但是它的边界是模糊的

所以自然语言呢

有歧义性 模糊性

那么作为精确推理

所用的公理系统呢

一般的来说自然语言是不适用的

那么需要怎么样呢

需要用一种所谓人工语言

我们在数学里边就是人工语言

我们学计算机编程序也是人工语言

那么人工语言

我们说一种语言

怎么来确定它呢

那么我们说这个语言

一般的自然语言来说

语言由什么来构成

那我们可以想一想

我们学一种外语的时候

因为我们学自己本国的语言

本民族的语言叫母语

另外我们也学习其他民族的语言

叫外语

那么因为学母语的时候是从小

慢慢慢慢积累的

所以对于语言的理论方面呢

我们可能不是很注意

但是学外国语一般地来说

是你在学校

有意识地用一定的方法来学习的

所以我们往往呢

你要看一个语言的性质呢

你看外国语可能会看得更清楚

那么我们就来看

我们在学校里边学一种外语的时候

我们要掌握哪几个方面的情况

首先我们知道学一种语言

我们学英语先要学国际音标

外国人学汉语

他先要学汉语拼音

为什么

他要能够正确地发音

语音是一个语言的最基本的要素之一

第二 我们学一种语言

当然要怎么样呢

要知道它的各种词

要了解它的

掌握它的词汇

所以我们学外语的时候

每一课一定有一个生词表

这一课出现哪些生词

我们学外语的时候

往往都要准备一本词典

而且每个人都要力求使自己

掌握的词越多越好

我们往往就是以掌握了多少单词

作为你对于某一门外语

掌握程度的一个重要的指标

所以这个词汇也是非常重要的

那么是不是你掌握了词汇

就解决一切问题了呢

不是这样的

因为你仅仅是掌握了

比如说就算你把一本词典都背下来了

但是仍然不能解决问题的

比如说你学英语

那我可以每一个词都去查字典

比如说这里有一个句子

叫做these are books

these are books

你一去查these是“这些”

are是“是”

books 对不起

词典上查不到books

词典上只有book

那么加s怎么回事呢

我们学语法我们知道

英语里边名词

后边要加s

或者是用其他的方法

变成所谓复数

就是说不止一个

好 那么这个呢

在词典里面是查不到的

因为这个词有变化

当然像汉语这样的语言

它的词形是不变的

像英语 英语的词形的变化

还不是很典型

其他的一些语言

法语 德语

特别是俄语它的词形的变化

更为复杂

那么这个呢

都是由语法来告诉我们的

那么像汉语这样的语言

虽然词本身没有变化

但是这个词怎么样连成句子

应该先说什么后说什么

一串词连接在一起

哪个跟哪个应该是先结合在一起的

这个都是语法先告诉我们的

所以我们学外语呢

还要有个语法

那么一门语言呢

典型的语言呢

是语音 词汇 和语法

这个叫做语言的三要素

自然语言是如此

那么也有一些特别的

比如说聋哑人的手语

那么他也是有语法

也是有词汇的

也就是说他什么样的手势

代表什么意思

然后这个手势按照什么样的顺序

连接起来

那就是什么样的意思

所以他也是有词汇

有语法的

不过他是无声的

所以没有语音的问题

那么我们在计算机

在编程序的时候

虽然这里边的这些个指令

这些句子我们可以念出来

但是你可以不念

你可以只写

写了以后打了以后你直接就

输入到机器里边去了

所以这里也是可以忽略这个语音

只是词汇和语法

那么好

这个公理系统

我们刚才说你这个公理系统

用的是什么语言

所以你首先要确定词汇和语法

这就是公理系统的前两个部分

第一部分符号库

就是说你哪些符号是可以用的

必须事先完全地给出来

否则会出问题

比如说我们现在

我们大家出门

一定要带上身份证

你坐火车坐飞机

住宾馆

你一定要拿出你的身份证

你的身份证上面有身份证的号码

还有你的名字

那么一般的来说呢

我们拿着身份证办事情呢

一般的来说是没有问题的

但是有少数人

他们拿身份证去办事情的时候

有时候会碰到麻烦

为什么

因为他们的名字里边

有特别生僻的字

这个字打字机打不出来

所以我们身份证上面的字

都是打出来的

不是手写的

第一代身份证是手写的

第二代身份证

我们现在大家用的身份证

上面的字都是打出来的

有的人的名字里边

有的字打不出来

打不出来他做身份证的时候

他就用一些其他的方法来处理

空一个字或者怎么样

那么这些人他们在用身份证的时候

有时候会有麻烦

有时候到银行去取款

到邮局去取汇款取不出来

因为你的这个名字

跟它的这个里边对不上

有这样的问题

当然这个问题现在正在解决

那么我想将来呢

一定会有一个

有一个叫做字库

或者叫做字表

就是国家规定你起名字

你中国人起名字

你至少汉族人起名字

你只能用这个表里边的汉字

你不许用这个表里边没有的

康熙字典上你去找一个非常非常怪的字

不行

因为你要用的话

我们这个系统没法处理

所以一方面规定

起名字只能用这里边的汉字

另外还要规定

凡是要用到查验身份证的这些地方

比如说邮局 银行 机场 火车站

等等这些地方

就是你的设备必须能够处理

这个表里边的所有的汉字

如果这个做到了

那么将来我们这个身份证

所有人的身份证查验

就会没有问题了

这也就是说要有一个什么呢

要有一个符号库

哪一些符号可以用

如果你不规定这个符号的范围的话

如果有人用了这个符号库以外的符号

那么这就会造成系统运转上的困难

好 这个叫做符号库

或者叫做初始符号

为什么叫初始

有没有后来的

我们以后再解释

下面第二

刚才已经说了

你即使有了符号

你还要规定符号的用法

比如说我们有了汉字

你认识了

比如说我们确定了一个范围之内的汉字

不是说你有了这些汉字

你都可以顺利地正确地

说出汉语的句子出来

你说“我看书” 可以

你说“我书看”

我们不明白你说的是什么

我书看

这个不符合语法

当然自然语言的语法非常复杂

但是它还是有一定之规的

那么这个规则呢就是规定

第一部分规定了符号

第二部分规定符号怎么用

什么可以放在什么的前边

什么可以放在什么的后边

什么和什么可以连在一起

什么和什么不能连在一起

假如有两个以上三个符号

四个符号连在一起的话

那么这些符号是一个什么样的关系

两两之间是一个什么样的关系

谁跟谁先结合

“三个学生的作品”

是“三个 学生的作品”

还是“三个学生 的作品”

这个必须要分得很清楚

这个我们大家都读过

钱钟书先生的《围城》

他说三闾大学校长高松年

是位“老科学家”

可惜这个科学和科学家

情况很不一样

科学太老的就过时了

而科学家呢

越老的声望越高

所以他说我们要能够

将来的我们的汉语的语法

发展完备以后呢

我们总要能够清楚地分出

是“老的 科学家”

还是“老科学 的家（专家）”

或者是“科学老家”之类

他说以后总有一天要分得出来

这个其实也就是告诉我们

这个符号

汉语的这个词

你连接的时候

它是有一定的规则的

但是汉语作为自然语言

它的规则不那么严格

所以才会出现很多

老 科学家

还是老科学 家

这样的一些歧义

那么我们公理系统里边

必须非常明确地去掉

不能容许任何可能产生

歧义的这种机会

所有的要有非常严格的规定

那么这个就是所谓形成规则

所以所谓形成规则

就是符号怎么样连成

我们叫做符号串

一个一个一个的符号怎么连起来

应该怎么连

这么连是什么关系

那么连是什么关系

必须很清楚地给区分出来

然后有了符号和符号库

有了符号库和形成规则呢

我们就可以保证你说的每一句话

都是合乎语法的

而且你用的词

都是在我们所规定的范围之内的

但是我们知道这个公理系统

我们所要的什么

我们所要的是所有的

有效推理形式

在第四章里边

也就是说我们不是要所有的

复合命题形式

我们要的是重言式

是永真式

复合命题和复合命题形式多的很

很多很多的说法

但是我们现在要找的是什么

我们用那个什么 归谬赋值法

用真值表法干什么

我们要来找重言式

我们要找永真式

相当于说你每个人可以说很多很多的话

都是符合语法的

但是我们现在要的是真话

那么第一部分和第二部分呢

只能保证你说的话是符合语法的

那个词是符合词的范围的

但是不能保证

你说的话是一句真话

比如说 你说二月有30天

这句话从语法上说没有问题的

但是从实际意义上来说是有问题的

因为二月没有30天的

阳历的二月28或者29天

没有30号的

所以这句话我们说是假的

是错的

但是语法上是没有问题的

那么我们现在要的是什么呢

我们现在要的是真的句子

真句子

我们知道这个真句子很多

比方说我们2015年

比如说4月1号

2015年4月1号是星期四

对吗

这句话是真的

2015年

在2015年的前提之下

我们说4月1号是星期四是真的

4月1号星期五是假的

那么好

4月1号星期四是真的

那我4月2号星期五也是真的

4月3号星期六也是真的

4月8号星期四也是真的

这样的真话呢

从4月1号到4月30号

我可以说出30句真的这样的句子来

那么我们要知道

4月份每一天是星期几

那么有这30句话就可以告诉我们了

4月1号到4月30号

每天是星期几

但是一般的来说

我们并不需要记住

一个月里边

每一天是星期几

你只要知道这个月里边

某一天是星期几

其他你都可以算

是吧

你只要知道4月1号是星期四

那么好4月7号是星期几

4月20号星期几

我们大家都会算

一算就算出来了

所以我们一个月里边

4月份1号到30号这么多日子

有30句真话

我们不必要去记住30句真话

因为它们之间是可以互相推出的

4月1号星期四

那么当然4月8号也是星期四

那么当然4月2号就是星期五

都可以计算

那么你只要记住一句就行了

你记住4月1号星期四也行

你记住4月2号星期五也行

你记住4月4号星期天也行

你只要记住其中的一句

那么其他的呢

就都可以算出来了

我们大家都会算

那么这个也就是什么呢

一个月里边30天

每天星期几

就是有30句真话

你只要记住其中的一句

这一句就相当于我们推演的起点

就是公理

你把4月1号星期几做公理也行

你把4月30号做公理也行

都可以

当然你选择的时候有一种技巧

但是都是可以的

那么我知道4月1号星期四以后

我怎么知道4月8号星期几呢

我们知道有一种算法

大概要减一下

可能还要除以7

看余数是多少等等

这么一个算法

这种算法那么就是我们

在这里所谓变形规则

我已经知道4月1号星期几了

那我想要知道4月2号星期几呢

那么好

2减1是1

那么4+1是5

好 我就知道了

4月2号是星期五

你看 这一种算法

这种算法叫做变形规则

我可以把4月1号星期四呢

变成4月2号星期五

这种变形规则或者叫推演规则

那么我们一个公理系统构成呢

就是这么四个部分

第一要给出哪些符号是可以用的

第二要给出这些符号怎么用

第三 因为我们需要真句子

所以我们要给出基本的真句子

作为推演起点的真句子

然后第四我们要给出

从这个基本的真句子

然后得到其他真句子的方法

怎么样来算

怎么样来推演

有了这四个方面呢

那么一个公理系统就可以构成了

好 这一部分我们先说到这里