逻辑学07-2在线视频

好 我们继续来看公理系统

我们还是要回到我们的出发点

我们为什么要

作出这么一个公理系统来

我们的这个目的是什么

我们还记得真值表法

和归谬赋值法

第四章里边的

这个是判定有效推理形式的方法

而我们现在是要想找一种

生成有效推理形式的方法

也就是公理化方法

用公理系统从公理得到定理

这样的这个方法

我们称为公理化方法

公理化方法是生成

有效推理形式的方法

但是这里要特别注意的是

虽然我们是在找有效推理形式

但是从真值表法

归谬赋值法和公理化方法

它是完全不一样的

真值表法的是所谓语义的概念

也就是说真值表里边

这个第四章里面什么叫重言式

重言式就是永真式

永远是真的

也就是虽然这个命题形式

它已经没有了具体的内容

它到底是关于哪一方面的 没有

但是它还有抽象的意义

也就是真和假

还有这样的意义

但是公理化方法

在公理系统里边

是所谓语形的概念

就是这里边完全没有所谓真和假

它只是一种形态的变化

也就是从它的出发点

这个初始符号是什么样子的

它怎么联结

完全是按照一种形状

这个形状 那个形状

怎么样联结的形状是对的

是可以的 是允许的

然后出发点公理

公理模式

具体的公理它是个什么形状

从公理到定理的这种推理

这种证明完全是一种形状的

一种变化

所以它是一种语形的概念

所以公理化方法

在公理系统里边

完全没有所谓真和假

完全没有所谓有效

或者无效的推理形式

但是虽然它不是直接地说真和假

有效和无效

但是我们希望它最后达到的目的

是我们前边所要的有效推理形式

我们前面所要的这个真和假

就打一个比方

我们看一幅画

电脑打的一幅画

那么我们知道

它是由非常非常多的

这个像素组成的

那么从这幅画来说

我们看的是人物或者是风景

或者是静物或者是什么东西

这个人漂亮不漂亮

这个人是谁等等

这是有意义的

但是从一个一个像素

它这个排列

这个打印来说

完全无所谓什么意义不意义

这一点是眼睛的一部分

那一点是胡子的一部分

那一点

那几点组成一棵树

这个是一种意义

但是从这个打印本身来说

根本就所谓什么是树

什么是眼睛 什么是胡子

那么这个呢是差不多这样的

它完全是一种形状

我们看的时候就赋予它一种意义

公理化方法

公理系统里面也是这样

它本身无所谓意义

那么我们说

我们作这个公理系统

比如说命题演算的L系统

我们想得到什么

我们想得到第四章里边的重言式

那么我们现在L系统是不是

达到了这个目的

你L系统里边得出了

很多很多的这个定理

我们希望定理就是重言式

但你现在定理是不是重言式

重言式是不是你这里边的定理

这个我们需要怎么样的

我们需要评价

所以这部分我们要来说

公理系统的评价

也就是说我现在作这个公理系统

L系统

我是想得到它的定理

我希望它的定理都是重言式

重言式也都是这里边的定理

现在达到了没有

那么我们现在要做一种评价

比如说这个数理逻辑专业的学生

那么我们可以给他一个作业

就是说请你自己来设计一个

关于命题演算的公理系统

那么不同的学生

他交上了不同的作业

他交上了不同的这个公理系统

那我们要来评价

你这个公理系统有没有用

能不能站住脚

做得好不好

我们要来评价

那么好

我们现在我们来对于这个L系统

来做个评价

L系统它具有哪些方面的性质

第一

L系统它具有可靠性

什么叫可靠性

因为我们做这个L系统

我们想得到所有的

我们想得到的都是重言式

现在问题是你L的定理

是不是都是重言式呢

如果是就具有可靠性

如果不是就不具有可靠性

那么我们说L（系统）很好

它是可靠的

它的定理都是重言式

为什么叫可靠性

因为我希望得到的都是重言式

你现在得到的都是不是重言式

如果你得到的有重言式

有不是重言式

相当于说我们一开始打的比方

你这个有合格品 有废品

那你这个系统就靠不住

那你这个设备就靠不住

如果你说我得出来的都是重言式

都是合格的

那你这个系统就靠得住

所以它具有可靠性

L定理都是重言式

它是靠得住的

那么何以见得

这个需要证明

那么严格的证明我们在这里

就不做了

但是这个证明的思路

可以告诉大家

因为L系统

我们所有的出发点只有四条

三个公理模式

还有一个推演规则

就是分离规则

那么我们不难看出

三条公理模式本身都是重言式

而这个推演规则它相当于

我们前面第三章第四章

说到的蕴涵的肯定前件

也是有效推理形式

它所对应的也是重言式

所以它的所有四个出发点

都是重言式

那么我们可以相信

它所得到的定理都是重言式

当然这个不是严格的证明

但是严格的证明也是这个思路

好 这是第一方面

就是说这个L定理都是重言式

那么现在反过来说

第四章里边的重言式

在L系统里边是不是都能够得到

如果都能得到 叫做具有完全性

那我们说L系统

是不是具有完全性呢

它具有完全性

也就是对应于复合命题

有效推理形式的重言式

也就是第四章里面的重言式

靠L系统都能够得到

何以见得 这个需要证明

这个证明很长

那么我们在这里

就不做这个证明了

我们只是告诉大家这个结果

就是说L系统

它是具有完全性的

也就是说你第四章的这个

所有的重言式

靠L系统的三条公理模式

和一个推演规则

都可以得到

关于这个详细的证明

仍然请有兴趣的朋友

看《数学家的逻辑》那本书

那么我们说可靠性和完全性

对于一个系统来说

它的重要性是不一样的

可靠性决定了一个系统的生命

也就是说我为什么要作这个系统

因为我想得到重言式

如果我得到的有重言式

也有非重言式

那我就不需要作这个系统了

我按照第三章的方法

我随便写就是了

因此 有没有可靠性

是一个系统的生命

那么如果不具有完全性没有关系

你只要有可靠性

即使不具有完全性也没有关系

你仍然有一定的价值

这就比如说有一个工匠

有个木匠

我这个木匠我做的这个

做的活我做得很好

我保证我做的都是合格品

但是问题是 我只会做方的家具

你让我做个柜子

做个桌子 方桌

我可以

你让我做个圆桌

我不会

你让我做一个木盆

对不起

我不会做

我圆的东西不会做

但是我方的东西

我保证我一定做得很好

那我们说这个木匠怎么样呢

他是具有可靠性的

他做的东西都是好的

可靠性

但是他不具有完全性

因为有的东西他做不出来

我们说没有关系

那么我们就专门请他来做

那些方的家具就是了

所以完全性

是不是具有完全性呢

确定了一个

决定了一个系统的强和弱

那么当然我们说完全性

一定是在可靠性

前提之下的完全性

而且数理逻辑里面可以证明

如果不具有可靠性

那就一定具有完全性

关于这个

我们在这里不来详细地说了

就是说如果你不具有可靠性

也就是说你重言式也能得到

非重言式也能得到

那么这样的话

你就所有的合式公式都能得到

那么这个当然是没有价值的

所以首先一定要有可靠性

完全性决定了它的强和弱

那么L系统它恰好是

又具有可靠性

又具有完全性

那么这两个性质

就使得L的定理

当且仅当

是第四章的重言式

因为完全性说的是重言式

都是这里的定理

可靠性说的是定理都是重言式

那么好

这两个东西就当且仅当

所以L的定理集

和第四章里面的重言式的集合

它是完全相同的

所以我们说L系统呢

它应该说很好地达到了

我们事先所要达到的目的

就是说所有的重言式都能够得到

而且得到的都是重言式

然后L系统还有

第三个方面的性质

就是我们知道L系统

有三条公理模式

那么它的这些公理之间

公理模式之间

是不能互相推出的

那么这个叫做公理的独立性

那么如果不能

这个如果能够互相推出

那是一个什么样的结果呢

那就是说它的这个有的公理

是多余的

比如说我们知道

非欧几何的产生它是源于

古代的数学家们

它对于欧几里得

几何系统里边第五公设的证明

因为欧几里得他这个几何系统

西方人觉得这是非常圆满的

一个东西

但是好像有一点问题

它的第五条公理有一点像定理

所以就想有没有办法

把它证明出来

如果证明出来怎么样呢

如果证明出来它是定理的话

那么五条公理去掉一条

四条公理就够了

那怎么样呢

就使得这个系统可以简洁

所以公理的独立性

决定了一个公理系统

它是不是做到了最大限度的简洁

如果不具有公理的独立性

也没有关系

只是这个系统它不太简洁

它不那么漂亮而已

对于它的功能来说

是没有什么影响

所谓L系统它的性质

可靠性 完全性

公理的独立性

那么下面我们再用一个例子

来说明一下

就是这几条性质它的关系

我们看这是我们的L系统

它有三条公理模式

那么我们说它是怎么样的

我们可以证明

它是可靠的

它是完全的

它的公理之间是独立的

那么我们有第二个叫L'

这个系统怎么样呢

它相对于L系统来说

它只有L1和L2

当然这个分离规则他们都有

这里不写了

MP

MP MP它们都是有的

它只有第一条和第二条公理模式

没有第三条公理模式

那么它怎么样呢

当然它也是可靠的

但是它不是完全的

因为有些依赖于第三条

公理模式的定理

它证不出来

但是没有关系

我们上一章里面

前一讲里边我们看到

有一些这个公理

有一些定理它只是靠这一条

或者只靠这两条公理模式

它也能证出来

那么对于那些定理来说

L'系统的就也能证出来

但是如果要依赖第三条的

它就证不出来了

所以它是可靠的

但是它是不完全的

因为有一些东西它证不出来

那么它的公理之间也是独立的

也就是这个能力要强一些

这个能力要弱一些

但是虽然弱一些

它仍然是可靠的

我们再看第三个这个系统

它在L1 L2 L3之外

它有另外一条新的公理

叫做A蕴涵A

我们知道A蕴涵A是它的定理

但这是个定理

我也可以作为公理拿出来

那么作为第四条公理

A蕴涵A

我们知道它对于它们来说

是不独立的

因为第一条和第二条公理模式

加上分离规则以后

是可以把它证出来的

所以它是一条多余的公理

但是没有关系

虽然它多余

但是不影响它的可靠性

不影响它的完全性 是吧

你1 2 3已经完全了

我再加一个第四

而且第四跟它们是不矛盾的

所以不影响它的可靠性

当然更不会影响它的这个完全性

但是影响它公理的独立性

所以这个系统

对于这个系统来说

它的定理集是一样的

但是它的公理多了一条

它不那么漂亮

但是虽然它不那么漂亮

但是它在运用的时候

可能会更简洁

因为如果是这么一个系统的话

我要证明p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}

我直接用第四条公理模式

我一步就可以证出来

所以它不具有公理的独立性

但是在运用的时候

也许会反而更方便

但是对于这个公理系统本身来说

就不那么漂亮

好 这个就是我们L系统的

这个三个方面的性质

那么所以我们现在就回答

一个问题

就是我们一上来说的

L系统为什么要用这个

三条公理模式

和那个分离规则

来作为它的出发点

因为用这几条

它可以

就是用最简洁的方法

最大限度地覆盖所有的这个定理

你靠这个三条公理模式

加上那个分离规则

它刚好把所有定理都覆盖了

而且并没有超出它的范围

没有把这个非重言式也拿进来

就是它的定理刚好

正好是重言式

不比重言式少

也不比重言式多

那么而且它本身它的公理

它还互相独立

它还一条都不多余

那么所以用这样很巧妙的

这个三条公理模式

和这个分离规则

恰好就构造起了这么一个

构造起了这么一个系统

那么它正好能够把

我们所要的东西都得到

而本身又做到最小

好 关于这个L系统的性质

我们先说到这里