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刚才我们已经知道了

对于有效推理形式的判定

我们有个很好的方法

叫做真值表法

它是一个能行的方法

也就是说它是一个机械的方法

在有限的步骤之内

一定可以得出结果

但是这个真值表法呢

它会有一个缺点

就是我们刚才说的

这个有限的步骤

这个有限是多少

三步五步也是有限

三万五万几十亿也是有限

那么我们说

一个复合命题形式

它需要做多少个真和假的判定呢

我们是可以预先算出来的

也就是说需要多少行

那么就看它有多少个不同的命题变元

我们刚才举的例子呢

都是一个两个

所以两行四行

我们说如果是四个

那就是十六行

如果是五个就是32行

如果是p q r s t …如果有6个的话

那对不起得有64行

再多上10的话这个数字就太庞大了

当然理论上是做得完的

但是这个工作太庞大了

那么有没有简单一点的方法呢

那么这个就是我们下边要来介绍的

另外一种方法

叫做归谬赋值法

关于归谬赋值法呢

我们先来看

这个我们知道它不是有效推理形式

因为它是蕴涵的否定前件

我们知道它不是有效推理形式

不是有效推理形式呢

也就是它是有反例的

它反例在这

它反例在这一行

我们是写了一行两行三行四行

都写出来了

假如我刚才不是一列一列地做

我是一行一行地写的话

也得写到第三行才发现

这里原来有一个是假的

我们有没有方法

一下子就把这个找出来呢

那么这就是归谬赋值法这里所要用的

我们看这里我们刚才说

这一行是假的

我现在用一个方法

我用一行我就把这个假找出来

这个就好像我们你要查

商店里面要去查假货

如果要检查卫生

检查一个地方的卫生死角

一般的来说它不需要地毯式地

这么按部就班地找

它是有窍门的

如果有假货哪里疑点最大

如果有卫生死角哪里最有可能

他直奔那个地方去

一下就可以找出来

我们这里也是这样

我们来看

我们看这个我们假设

我们先做一个假设

假设它不是重言式

假设它不是重言式

什么叫不是重言式

不是重言式

那么也可能是永假式

也可能是可满足式

但是不管永假式也好

可满足式也好

就是说它至少存在着一种情况

使得它整个的复合命题形式

最关键的一步这步

使得它是假的

至少有一种情况使得它是假的

那我们说

这个假的将会出现在什么情况呢

因为你前面可以是真假两种情况

后面也是真假两种情况

真真 真假 假真 假假

四种情况

但是我们说

如果它是假的

只可能是一种情况

什么

我们说过

蕴涵的假只有一种情况

前真后假

所以它前面应该是真的

后面应该是假的

请大家注意这个真和假

我们不是随便写的

这个假是我们上来的一个假设

这是我们上来的一个假设

假设它不是重言式

所以它有一个假

其他都是根据这个假

必然地出来的

如果它假只有一种情况

前真后假

所以这个一定真

这个一定假

我们写的这个符号不是随便写的

一定的

是基于这个假设

这个地方一定真

这个地方一定假

好 我们再来看

这个合取的真

合取的真只有一种情况

就是前后都真才是真

你两个有一个假

这个真就不成立

所以你这个真要成立的话

你得这个括号是真的

也就是说这里是真的

这个括号在这一步

这也是真的

好 我们再来看

这个蕴涵的真

蕴涵的真有三种情况

我们刚才都是只有一种情况我们才写

它有三种情况除了前真后假以外

都可能

前真后真 前假后真

前假后假都可能

有三种情况

那我们都不写

我们按只有一种情况来找

非p是真的

这个p那一定是假的

那这个否则就不通

所以这个p一定是假的

非q是假的

q呢

q一定是真的

所以这个地方一定是真的

在同一种情况之下

你这个p是假的

那怎么样

这个p当然是假的

否则违反同一律

因为我们现在是同一种情况

不是这儿来举四种情况

我们只举一种情况

好 这个q是真的

那我们就把它写到这来

我们发现当p是假的

q是真的时候

那么假蕴涵真是真的

所以好 怎么样啊

我们已经找到了这种情况

也就是这种情况你看

假 真 真 真 真 假

假 假 真

这一行我们就找到了

所以呢

对于不是

注意它不是重言式

不是重言式

我们假设它不是重言式

我们果然找到了它的一种

能够适合于这个真值的

这个真值组合

我们就找到了

它不是重言式

它不是重言式

我们假设它不是重言式

果然就找到这种情况了

好 那么如果是重言式

将会发生什么情况呢

我们看到它是重言式

这里没有一种情况是假的

但是我们仍然可以用归谬赋值法

那么怎么样呢

我们来看是这样的

我们已经知道了

假如我们不知道

我们没有看下面的话

那我们看

我们不知道它是不是重言式

我们假设它不是重言式

请大家一定要搞清楚

我们假设它不是重言式

所以叫归谬赋值

我们首先做一个相反的假设

我们想要证明它是重言式

但是我们故意说我们假设它

不是重言式

将会出现什么情况

如果它不是重言式

那么这是我们的假设

好 如果它不是重言式

根据刚才一样的分析

蕴涵的假只有一种情况

前真后假

就是说这个是真的

而这个是假的

合取的真只有一种情况

前后都真

也就是说这个是真的

这个也是真的

蕴涵的真有三种情况

我们不取

好 非q是真的

那q呢当然是假的

非p是真的

p呢

那当然是真的

那么好

这个p就是这个p

它是真的

这个q就是这个q

它是假的

我们发现出问题了

为什么

蕴涵它的（假）只有一种情况

它的真有三种情况

但是唯独前真后假它不是真的

也就是说这个地方我们看

发现了矛盾

你真对于假的蕴涵怎么能是真的

如果这个真这个真

那么这个也应该是真

你这个真这个假的话

这个地方就应该是假

所以出现了矛盾

而我们还记得

我们这里写的每一个真和假

都是唯一如此

一定要这样写的

那比如说刚才

那我这里q没写

我这里没写这个q的话

没写这个q我看

这个p是真的

因为根据这一步p是真的

根据这个蕴涵它是真的

那么这个后面它不能是假的

它只能是真的

那我在这里写真的好不好

你写真的可以

同一个情况下

q又是真的又是假的

你这里出现了矛盾

因为我们的每一个真和假

都是按只能如此唯一如此写的

所以它一定是有矛盾的

你刚才这个地方要不出现矛盾

它这就会出现矛盾

它一定会出现矛盾

这个矛盾是不可避免的

这个矛盾的根源在哪里

这个矛盾的根源在我们做了一个假设

这个假设叫做它不是重言式

我们发现这个假设是不能成立的

它不能不是重言式

如果它不是重言式就有这个假设

有这个假设就出现矛盾

逻辑不容许矛盾

因此这个假设是不成立的

所以如果我们假设它不是重言式

遇到了矛盾

我们就可以证明它

不能不是重言式

也就是说反过来说

证明了它是重言式

好 我们把刚才的归谬赋值法

我们来看一下是怎么说的

假设我们首先做了一个假设

也就是说我们假设某一个命题形式

不是重言式

也就是说这个命题形式的命题变元呢

至少存在着一种真值

或者真值组合

使得这个命题形式的真值是假的

也就是我们上来做了一个假设

假 这是我们做的第一步假设

做了一个假设呢

然后我们对该命题形式要赋值以假

这里一个假设呢要给它写上去

也就是在最关键的那一步

我们写一个假

然后第三

我们就要根据命题联结词的性质

寻找使得上述赋值

所谓赋值就是我们一个假设

那个假划了一个圈

这就是一个赋值

我们要寻找使得这个赋值成立的

命题变元真值

或者是真值组合

也就是说你看如果这个蕴涵是假的

那么前真后假

如果合取是真的

那么一定是前后都真

就是这么来找

如果能够找到

我们看到第一个例子

果然找到了没有矛盾

找到了说明什么呢

找到了就是不出现矛盾

不出现矛盾

也就是这个假设成立

也就是它不是重言式

如果不可能找到

也就是出现了矛盾

出现了矛盾怎么样呢

而且这个矛盾是不可能

不出现矛盾的

那说明这个假设不成立

所以证明它是重言式

所以归谬赋值法请大家一定要注意

不出现矛盾

它不是重言式

出现了矛盾

它反而是重言式

为什么

因为出现矛盾不出现矛盾

是基于我们一个相反的一个假设

我们假设它不是重言式

假设它不是重言式

没有矛盾

说明它确实不是重言式

所以没有矛盾就不是重言式

如果我们假设它是重言式

出了不可避免的矛盾

说明它不能不是重言式

所以出了这个矛盾的话

它反而是重言式

那么这个叫做归谬赋值法

归谬赋值法

下面我们再来举一个例子

这个例子呢

就是我们上一讲里边

我们说到蕴涵连锁的时候

我说到过的一个例子

说以前就是说家长体罚小孩

说某某小孩

这一家的小二如果考试

小二考试小二就紧张

小二一紧张小二就考砸

小二一考砸小二就挨打

所以推出一个结论说

如果小二没有挨打

那一定是小二没有考试

我们说那个是有效的

这是蕴涵连锁是有效的

那么这个怎么证明呢

如果要真值表法的话

我们看看这一个

就是刚才所说的那个例子

蕴涵连锁

它写成推理形式

然后再转写成复合命题形式

写成这么一个复合命题形式

这个复合命题形式我们看

如果它要来用真值表法来判定的话

要写多少个真和假

我们看这里p q r s

有四个不同的命题变元

也就是说要写多少行呢

要写2的4次方

也就是要写16行

然后写多少列呢

我们看1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

三个前提一个结论

三个前提一个结论里边

一共出现重复的命题变元

和命题联结词

一共出现了14个

然后它有3个前提

但是我们虽然写了两个合取号

但是你做的时候只做一次

因为我们说过合取可以作为三元的

命题联结词来使用

所以这个三元的

你不用这两个看了再看一个

你三个一块看

只要有一个假的就是假的

三个都是真的才是真的

所以三个的合取

我们仍然作为一列

你写在这也行

写在这也行

写一列也行

你自己知道这一列和这一列

是连起来做的

那么再加一列蕴涵

所以一共是16列

所以这个复合命题形式

如果你要用真值表法来判定的话

你要写16行16列

也就是你要写256个真假真假真假

我们这个上面就写不下了

但是我们现在用什么

我们现在用归谬赋值法

我们来看看能不能够证明它

是重言式

或者证明它不是重言式

这里的

首先我们假设它不是重言式

前提是这么三个

结论是这么一个

蕴涵它整个的推理在这一步

我们假设它首先我们做假设

假设它不是有效推理形式

也就是说它至少有一种情况

是使得它这一步是假的

然后我们就给它赋值

就根据这种情况

它至少有一种情况是假的

这是我们的假设

好 如果这个假怎么样呢

前真后假

前真后面是一个三个东西

合起来的合取

三个东西合起来的合取如果要真

是怎么样啊

那必须是这个真

这个真 这个真

三个都真

前真后假

如果前面真的话

一定是这个真

这个真

这个真

后面假

也就是说整个后面这个蕴涵式是假的

好 我们继续来看

蕴涵的真有三种情况

不看

蕴涵的真有三种情况

不看

蕴涵的真有三种情况

不看

蕴涵的假只有一种情况

前真后假

那么好

前真就是这个括号是真的

这个括号是假的

那么好

非s是真的

s呢

假的

非p是假的

p呢

真的

好 这个p就是这个p

这个s就是这个s

所以根据这个呢

我们可以知道

这个p是真的

这个s是假的

好 刚才我们说

蕴涵的真有三种情况

但是蕴涵的真当它前面

前件已经确定是真的时候

这个q那只有一种情况了

它只能是真

它这里不能假

这里假的话这个蕴涵不成立

所以真蕴涵什么呢

它只能蕴涵真

所以这个q一定是真的

那这个q真 这个q真

所以这里也是真的

那么同样的道理

你这个r也应该是真的

这个r是真的呢

这个r也是真的

这里出毛病了

真对于假的蕴涵怎么能是真的

这里有矛盾

这里有矛盾而且我们知道

是不可解的

我们刚才已经分析过了

因为我们这里每一个真和假

都是唯一如此唯一如此写出来的

所以这里出现矛盾了

出现矛盾的根源在于哪里

在于我们上来做了一个错误的假设

这个假设是错误的

我们假设它不是重言式

是错误的

它不能不是重言式

也就是说我们做的这个

蕴涵连锁的这么一个推理

我们知道它是有效的

怎么见得

用归谬赋值法来证明的

好 关于归谬赋值法

它的思路我们再看一下

首先是假设

你假设它不是重言式

也就是说它至少有一种情况是假的

然后第二你对于它最关键的那一步

赋值假

然后根据刚才所说的

你来找关键是找到这种情况

也就是说没有矛盾

也就是你找到p啊 q啊

真假真假没有矛盾

你找到了这种情况

它就确实不是重言式

如果找不到

也就是说它总是要出现矛盾的

那么这个时候呢

它就是重言式

那么归谬赋值法它的好处就是说

它可以把一个本来用真值表法

要用很多步才能完成的

它用一行就完成了

它一行就可以确定它

是或者不是重言式

但是归谬赋值法

它和真值表法不一样

真值表是能行的

就是一定可以做的

归谬赋值法有时候在很少的情况下

它不能做

比如说从p析取q

推出p合取q

那么如果我假设它

如果我要假设它不是重言式

那么假设它是假的

如果蕴涵是假的

那么前真而后假

根据我们刚才做的步骤大家还记得

析取的真有三种情况

不看

合取的假也有三种情况

不看

好了 你就无路可走了

也就是说碰到这种情况

那么怎么办呢

那你就回到真值表法

而且这种情况是很少碰到的

所以在绝大多数情况下

归谬赋值法是可以用的

万一碰到像这样的题目

归谬赋值法用不了

那也没有关系

那你回到真值表法就是了

真值表法

而且是这样

就是越是复杂的

这个归谬赋值法越好用

因为你越复杂

真假真假

你总可以找到突破口

太简单的

这个就是因为太简单了

所以你找不到突破口

两个都不行

如果你很复杂

写的很长的话

你总可以比较容易地找到突破口

所以越是复杂的越好用归谬赋值法

比较简单的不能用归谬赋值法

比较简单的不能用归谬赋值法

我就用真值表法就是了

因为对于比较简单的来说

你这个用真值表法也不需要有很多

我们看这个几行啊

四行

然后1 2 3 4 5 6 7

四 七 二十八

这个你做二十八个真和假的判定

你就可以知道了

它是或者不是重言式

好 总而言之呢

我们在这一讲里边

我们知道了怎么样来判定

有效推理形式

但是要注意

这里并不是说

逻辑上所有的有效推理形式

都可以用这个方法来判定

用这个方法判定的是

复合命题的推理

也就是我们在上一次和这次

举到的这些例子

这个范围之内

就是说以基本命题

为最基本的单位

加上命题联结词以后

组成复合命题

复合命题作为前提或者结论

这样所进行的一些个推理

我们可以来判定它

是不是有效推理形式

三件事情

第一件事情把具体推理中的

前提和结论

也就是把自然语言里边的推理

把它变成逻辑的符号

就写成了一个命题形式

上面是前提

下面是结论

这样就变成一个推理形式

这是第一步

第二步 前提放在前边

结论放在后边

中间加蕴涵

如果有若干个前提加合取

那么这个推理形式呢

就变成一个复合命题形式

第三 这个复合命题形式我们可以看

它是或者不是重言式

我们有两种方法

一个叫真值表法

一个叫归谬赋值法

下面我们再用一点点时间

我们来看一看

就是我们前面说过

逻辑学的基本准则

我们前面说过在传统逻辑里边

逻辑学的基本准则

同一律

不矛盾律

排中律

是写出来的

是作为一章告诉大家

数理逻辑里边

是不说同一律

不矛盾律

排中律的

但是并不等于数理逻辑里边

没有这几个基本准则

而是把这三个基本准则

看成是最最基本的

不言而喻的 当然如此的东西

我们通过归谬赋值法来做这个题

我们就可以知道

我们来看

首先归谬赋值法

如果它是假的

那么前真后假

我们看

我们说不行

为什么不行

这个p是真的

这个p怎么可以是假的

我们要问

为什么p不能同时又真又假

为什么

谁规定的

这个p是真就必须都真

同一个情况下

要真就都得真

要假就都得假

你一真一假是不行的

为什么不行

这个道理在哪

就是同一律

所以同一律在数理逻辑里边

是一个当然的东西

是一个不言而喻的东西

不需要写出来

当然如此

你这个真这个假是不行的

如果你非要这么写

违反同一律是不行的

另外我们也可以看

这个p是真的和p是假的

它不能够同时成立的

同一个情况下

它p不能又真又假

为什么

因为真和假是相互矛盾的

你p真和p假

这对矛盾你不能同时成立

你不能同时这个又写真

这个又写假

为什么

因为你要这么写

你违反了不矛盾律

然后第三 我们说我们用这个方法

我们证明它是重言式了吗

我们并没有证明它是重言式

用归谬赋值法我们说

我们有一个假设

我们通过这个我们证明什么呢

我们证明的是它

我们并没有直接证明它是重言式

而我们证明的是什么

我们证明的是它不能不是重言式

也就是说我们证明的是

它不是重言式吗

不对

它并非不是重言式

我们证明的是它并非不是重言式

我们并没有直接证明它是重言式

但是并非重言式

和重言式这两者是没有中间地带的

注意不是重言式和永假式之间的关系

而是重言式和非重言式

重言式和非重言式互补的

我们证明了它不是非重言式

就等于说证明了它是重言式

为什么你证明它并非不是重言式

就等于证明了它是重言式

凭什么

排中律

所以从这个简单的题目上

我们就可以看到

同一律不矛盾律

排中律

在逻辑里边是普遍适用的

好 这一讲我们就讲到这里