周期频谱定义在线视频

下面我们介绍周期频谱

我们首先来看它的定义

首先来看它的定义

这个时候我们用XN(n)

来表示周期频谱

它是一个内积是周期信号

和离散傅里叶函数

一个周期均积

在这里n,k都是整数

n,k都是整数

由于这个自变量n保留下来了

所以k自然的就会成为了

它的内积变量

这是一个

因为它们都是周期信号

或者周期函数

所以这是一个周期的均值

这里实际上我们从内积

单从内积来看

它也是一个变换

因为是一个信号和一个函数相乘

完了以后做一个内积

也称为内积变换

而这个变换

就是我们称之为离散傅里叶变换

因为它是用的离散傅里叶函数

这是离散傅里叶变换

我们称之为DFT

所以我们又可以把这个XN(n)

简写为DFT对XN(k)做

那么它的具体表达

数学式就是上面的一个内积

这个周期频谱

我们把它称之为周期频谱

它是具有周期性的

待会我们可以来证明一下

它的周期性

它因为离散傅里叶函数

是一个复函数来做内积变换

做完了它也是一个复函数

所以它也是一个复函数

复函数我们把它的实部虚部

和模和相位都稍微地定义一下

XN(n)我们写成实部和虚部的形式

是RN(n)再加上jIN(n)

当然还可以写成是

实部AN(n)ejφN（n）

实部虚部的形式是这样

它的所有形式

它的实部虚部

模和相位我们都定义好了

是这样

它是一个复函数

它是一个复函数

我们再到这里来看

因为这个周期信号

我们还给它定义出了一个

中心周期

我们来看这个周期频谱

是一个周期均积

所以我们在一个周期里边

可以完成它的计算

我们就用中心周期

来完成计算的话

来完成计算的话

它可以写成是XN（n）等于是

因为它是一个周期均积

要除以一个N

那么这里我们就用XN(k)

它是ψ*N(n,k)

ψ*N(n,k)

这个时候k的范围

就是Ks到Ke

刚才我们已经给出来了

这个式子实际上是一个离散内积

相当于一个和式

这个和式

我们是可以进行计算的

我们来找一个例子

就是往我们刚才画面上

看的那个离散周期信号

我们来算一下

看看它的关系

画面上现在看到的上面

上面这个图是离散的周期信号

就是刚才我们在连续的周期信号

离散出来那个周期信号

红色的是整个周期信号

黑色的部分正好是中心周期

我们利用这个中心周期

这一个周期

可以把周期频谱计算出来

就像下面这两个图一样

中间这个图是实部

下面这个图是虚部

我们可以看到它的周期性

还有它的实部的偶对称性

和它的虚部的奇对称性

由于如果我们使用的

这个周期信号是实信号

它的这个周期频谱

就具有共轭对称的效果

所以它的对称性

我们可以写成是这样

XN（-n）应该等于是X*N(n)共轭

这是它有具有共轭性质

这个时候

只是说XN(k)

它需要是一个实信号

这是实信号

它为什么具有共轭对称性呢

是因为XN(-n)

我们来稍微推演一下

我们用它的定义来写

是XN(k),ψ*N(-n,k)

ψ*N(-n,k)

因为这里k,n都是整数

k,n都是整数

那么离散傅里叶函数是个相位函数

负号可以拿出来做共轭

由于它是个实信号

是个实信号

所以共轭可以拿到最外边来

那么我们可以写成这样

信号共轭

ψ*N(n,k)共轭在这里

这样我们也可以看到了

这就是原来的周期频谱

带一个共轭

这是共轭对称