加窗余弦周期信号（1）在线视频

好 同学们

我们上一节已经给大家介绍了

加窗奈奎斯特频谱的计算

以及怎么从它得到

加窗无理频谱的一些条件

曾经介绍了

采样定理它所用到的最高频率

应该是从哪个信号上看

这个我们都介绍清楚了

大家可以复习一下前面的

我们今天开始要看一下

如果就是余弦信号

在这个奈奎斯特频谱上面

或者是在奈奎斯特频段频谱上面

或者是在它的加窗复振幅谱上

是什么样一个结构关系

我们要看清楚这个以后

我们就能够判读加窗的

奈奎斯特频谱

好 现在让我们开始

这一节我们要讨论的是

余弦信号的加窗无理频谱

我们要讨论

这个余弦信号的加窗无理频谱

在讨论这个的时候

我们得一步一步的来

我们首先得看一下加窗的余弦信号

那么在加窗的余弦信号

就是这个余弦信号

我们现在要来处理一下

我们都知道

余弦信号CT(t)它是等于是

Acos(2πFt+φ)

这里自变量是t

t是实数

它有三个参数

幅值A

频率F

初相位φ

在这里我们可以把余弦函数

通过相位函数来表示

我们以前已经给过这样的表示方式

那么它表示有一个1/2出来

然后里面是相位函数

ψ*(2πFT+φ)

再加上相位函数

ψ(2πFT+φ)

在这种情况下

这个相位函数里边的这个常数ω

是等于1的

这样的结果跟上面这个是一样的

这些都是我们前面

曾经学到过的内容

只是说在这里

再重新的把它们运用起来

这是一个相位函数

这两个是给拆开成

两个相位函数的

这边也是一样

那么这个拆开出来的相位函数

就是和这个二分之A

正好形成余弦信号的半复振幅

我们还记得余弦信号的

半复振幅Ach它的定义是

二分之Aejφ

这是半复振幅的定义

我们把它先拆开一下

这个拆成了是ψ*(φ)

这个是ψ*(2πFt)

然后再加上二分之A

这是ψ(φ)ψ(2πFt)

这就拆成了两项

拆成两项以后

这个可以合成半复振幅

这个合成半复振幅

这虽然是相位函数

我们可以连续傅里叶函数

也是一个相位函数

我们可以用它来表示

所以它就可以表示成Ach*

这是连续傅里叶函数

ψc*(F,t)

然后再加上Achψc(F,t)

这样我们就把这个余弦信号表示了

用连续傅里叶函数

和余弦信号的半复振幅

来进行了表达

有了余弦信号

现在我们来看加窗

这个余弦信号加一个窗

我们叫CTW(t)

它是窗函数W(t)和这个余弦信号的乘积CT(t)

窗函数余弦信号的乘积

我们把这个余弦信号

刚才我们已经用了连续傅里叶函数

来表示

所以现在我们来把这个式子写过来

把这个式子写过来

一共会是两项

W(t)Ach*ψc*(F,t)

连续傅里叶函数的共轭

然后再加上

W(t)Achψc(F,t)

W(t)Achψc(F,t)

是这样

这么两项

这么两项

我们可以给它重新命一个名

这个叫做CTW(t)的左函数CTWL(t)

这个叫做加窗余弦信号的右函数CTWR(t)

这个是加窗余弦信号

如果我们把它叫做A的话

那么这个相当于A的左函数

那么这个相当于A的右函数

那么这里面我们可以看到这个

这个左函数就是它

它是用它来代替的

它是用它来代替的

我们可以看到这两个是互为共轭的

因为窗函数是个实函数

这两个是互为共轭的

意思就是说CTWL(t)

它是等于CTWR(t)的共轭

而CTWR(t)是可以写成是

W(t)Achψc(F,t)

这是加窗余弦信号

我们就可以把它写成了这样的形式

一个左函数和一个右函数相加

而左函数是右函数的共轭

而右函数是窗函数半复振幅

和连续傅里叶函数的一个乘积

有了加窗余弦信号

我们可以进行周期构造

或者叫做等周期构造

等周期构造我们就会得到

余弦信号的加窗周期信号

它的构造方式我们前面已经介绍了

不止一次介绍过

是用

这是它的加窗信号

CTW(t-LT)

然后L是在无穷域里面变化

它的求和范围

那么这个L是一个整数

是这样

然后T等于是TW

这是等周期构造的要素

就是周期和窗宽相等

这是一个加窗余弦信号

构造完了就是一个周期信号

有了周期信号以后

我们可以取得它的中心周期

就是CWTC(t)

这是中心周期等于是

中心周期

这是加窗周期信号

这中心周期我们用CWTC(t)来表示

然后它是等于这个周期信号

只不过t是在正负二分之T的范围

然后整个是在实数域

是这样的

中心周期

有了中心周期

我们就可以利用它来进行

来进行无理频谱的分析

而这个中心周期

我们根据周期构造的原理

它的中心周期对于等周期构造来讲

这个中心周期

就等于是这个加窗信号

在这一段它是等于加窗信号的

那么这个加窗信号

对于余弦信号来讲

我们已经给出了表达式

那么这个时候

我们就可以进行无理频谱的分析

在分析无理频谱之前

我们还要再分析一个问题

那么就是它的截断周期律的问题

我们先来看一下

加窗余弦信号

和加窗余弦信号的周期信号

现在画面上看到的

就是加窗余弦信号

和加窗余弦周期信号

和加窗余弦周期信号的中心周期

是这样的

上面这个是加窗余弦信号

这个时候看这个形状

应该加的是余弦窗

这是用上面的加窗余弦信号

构造出来的周期信号

它是一个等周期构造

这里是首尾相接的

这是把它的中心周期取出来

可以看到中心周期

虽然是从这个周期信号里面

取出来的

但是由于它是由

加窗信号周期构造得到的

所以它在这一段跟上面

是完全对应的

另外我们在整个的

加窗截取过程当中

就是在这个窗宽的范围之内

到底截到了多少个周期呢

我们来说这个事

那就是截断周期律

截断周期律aT

它的定义式是

F乘T

这个T是这个周期构造的周期

这个F是余弦信号的频率

它实际上是可以写成是

T除以F的倒数

F的倒数实际上是余弦的周期

那么意思就是说在这个周期

这个周期它是跟窗宽

TW窗宽相等的

因为是等周期构造

所以说这个时候

在窗宽范围之内到底有多少个周期

这就是截断周期律的物理意义

是这样子的

截断周期律

有了截断周期律

我们还可以对它进行整数分解

整数分解的结果

就是说aT可以等于是mT

再加上dT

mT是它的整数部分

这是它的整数部分

dT是它的小数部分

那么实际上就是mT是整数

它是个正整数

而这个截断周期律

可以看出来它是一个实数

这是一个实数

当然它是一个正的实数

那么从这里面

把它的整数部分取出来

它就应该是正整数

还有一个它这个dT

这是它的小数部分

小数部分它是处于0到1之间

但是1这边它不能为正好是1

它只能是小于1

所以这边是一个开区间

它实际上也是在实数域里面

因为它可以取小数

这是它的整数分解

分解成一个整数和一个小数

好 下面我们来看它的无理频谱