莫莱特小波变换（2）在线视频

莫莱特小波函数

它的意义还不在于

它能进行差不多相同的分析

而在于它可以进一步往前的演变

我们来看一下

这个莫莱特小波函数

我们把它再写一下

它可以写成Vm(f,t)

等于是Wr(t)

再乘以一个

把这两个函数相乘起来

看成一个函数

看成一个函数

比如说我们把它看成一个Vwm(f,t)

它是f,t

这样我们把这个函数

称之为它的最基本的小波函数

前面就是加了一个窗

给它限制了一下宽度

我们把这个函数给它写出来

它是Vwm(f,t)

是等于

这个莫莱特窗形函数

它的结果我们刚才已经给出来是这个

e-1/2(ft)2

然后是e-j2πft

是这样的

这个函数我们可以进一步把它演变

可以看到这个f,t虽然这是两个变量

可是在这个函数里边

它都是以相乘积的形式出现的

相乘积的形式出现的

这个函数形式

实际上可以用单变量来表示

我们把它重新命名一个函数

叫Vbm(r)

等于是e-1/2r2

e-j2πr

形成这样一个函数

而上面这个小波函数

就是小波函数

我们直接可以写成Vwm(f,t)

就等于是Vbm(f,t)就可以

这样就可以完全通过这个函数

来构成原来这个小波函数的

最核心的部分

那么我们把这个称之为小波基

当然这个因为是一个特殊的

确定的小波基

这个称之为莫莱特小波基

就是这样

如果根据这个我们把它

把这个用小波基的形式

来重新替换这个相关频谱函数里面的

这个小波函数

我们看看可以变成什么样

我们把它写过来

是Xrm(f,t)

原来这个窗的面积依然写在这儿

然后是原始的信号

小波函数我们用Wr(t-τ)

因为它有一个相关的延迟

另外用这个Vbm(f,t-τ)

然后是t-τ

t [∞]

是这样一个结果

实际上我们可以看到

对于莫莱特的小波基

我们通过它构造了莫莱特的

小波函数来替换原来一般的小波函数

我们得到用莫莱特小波函数

来分析的这个相关变换

这个相关变换我们可以看到

这个窗

如果是有窗宽的话

那么实际上是我们这个无穷内积

它只要在这个窗的范围

进行无穷内积就可以了

它还应该继续改写一下

就可以等于是Xc(t)

然后是Vbm(f,t-τ)

然后t

这是我们在上堂课

曾经给出来这个相关变换

τ-Tw/2

然后是τ+Tw/2

这样就把这个窗函数去掉以后

变成了一个它的积分范围的限制

变成一个积分范围的限制

关于这一块可以在前面

我们讲相关频谱函数的时候

里边曾经仔细分析过

为什么是这个范围

在这里边我们可以看到

我们为了完成这个运算

或者完成这个分析

我们还需要知道这个窗的面积

另外还需要知道窗的宽度

是这个意思

对于这个高斯窗构成的

这一个莫莱特窗形函数

我们可以来分析一下它的窗的

首先分析一下它的窗的宽度

那么我们给定一个

给定窗底高

实际上我们在以前的

上节的课程里边

就曾经提到过了窗底高的问题

窗底高的问题

实际上窗底高就是这个窗形函数

在窗边界的值

我们给定窗底高比如说hw

对于莫莱特的这个小波函数

我们直接可以写出来

窗底高应该等于什么

窗底高hw应该等于是

e-1/2(fTw/2)2

这正好就是窗的边界

这是窗的边界

Tw/2

这是窗边界

我们来求一下

从这个式子里边

可以把这个窗宽给求出来

首先我们两边取一下对数

我们把它写到这边来

就是lnhw

应该等于是负二分之一fTW

除2的平方

把这个挪过来再开方

最后我们可以求到

挪过来开方以后我们可以把它

这个挪过来两边乘负2

那就是负2lnhw等于是

fTw除2的平方

然后再开方

开方最后把这个Tw

就可以解出来了

Tw等于是2/f

这个过来

这个拿进去开方

最后得到一个开方的结果

是(lnhw)-2

因为这个作为对数来讲

它这个前面的系数

可以拿上去做指数

我们可以放在到这儿

放到这儿是这样的

因为开方会出来正负

而这个里边的都是正的

所以我们只取算术根

最后得到这么一个结果

窗宽的结果就是这样

关于这个

这个窗面积相当于高斯窗

现在加的是高斯窗

因为是莫莱特小波函数

它加的是高斯窗

这个高斯窗的面积

我们前面讲

高斯窗的频谱密度函数里面

曾经把它求出来过

Wc0它等于是Wc0这个里面的

它等于是ag乘以根号π

是这样的

然后因为对于莫莱特小波函数

前面我们这里给出来它有一个ag

前面是ag等于是根号2除以f

所以我们就得到了这个窗的面积

等于是根号2π除以f

这样我们得到了这个

窗宽也得到了

这个窗的面积得到以后

我们来重写这个莫莱特

它的这个小波函数

小波函数进行的相关分析

可以写成这样

Xrm(f,t)它就等于是这个

这里有一个窗面积

它就等于是f

因为它是在分母上

根号2π

里面是原始的动态信号

这是小波基

莫莱特的小波基

是f乘以t-τ

t-τ

然后是t乘以τ-Tw/2

τ+Tw/2

在这个范围之内做一个内积

做这个内积

首先我们来看一下这个

就是莫莱特小波函数

因为这实际上是一个

莫莱特小波函数

它所构成的这个内积

这个小波函数

它跟窗宽的关系

我们可以看一下它的图像

现在我们图像上看到的

就是刚才我们演示过的

莫莱特的小波函数

实际它的波形的宽度

会随着频率的变化而变化

频率变化而变化

我们看到这个

刚才我们推出来的这个

从这个式子就可以看到

它跟这个窗宽

跟这个频率

它是一个反比的关系

就是频率大

窗宽就越小

频率越小

它的窗宽就越大

那么实际这个窗宽

我们是通过窗底高来限定的

这个时候我们可以取它的最大窗宽

来作为总的窗宽

比如说我们把这个窗宽可以定到

我们最终的这个窗宽

我们可以定到是这个

2根号lnhw-2

然后我们定到f

频率最小的我们来确定为它的窗宽

就作为这个窗宽

这样我们在整个这个变化

在频率的变化范围之内

我们就不需要再去更改窗宽

像这个你就得根据频率去变窗宽

这样我们就有一个

总的有一个窗宽来完成这个内积

就像图上所看到的

这个窗宽虽然是以最小频率

最低频率来确定的

但是只要是频率比它高的

它都可以适合

因为所有的波形

都被包含到这个窗宽范围之内了

是这个意思

由于有了这个限制

实际上这个窗宽来讲

完全可以不受它的限制

不受它的限制

我们从这儿就可以看到

这个窗宽对这个限制

因为它实际上自己存在一个窗宽

就是说在窗的

它的波形宽度范围之外的

基本上这个小波函数

或者说这个基小波的函数

它的值很小了

这样我们这个范围

就不一定要正好限制到

这个窗宽范围

我们把这个范围

完全可以变化到一个更宽的范围

所以这个范围

实际上是我们整个这个范围

我们就可以让它变得无穷

因为有它自带窗的限制