连续分析原理（1）在线视频

好 同学们

在前面的几章里边

我们介绍了周期信号的分析方法

还有它的一些必要的分析函数

在这些函数的基础之上呢

我们这一次从今天开始

我们要进入连续信号的

分析方法的讲解和讨论

好 让我们开始

请大家翻到第五章

就是269页

今天呢我们开始

从第五章开始讲解

是连续分析原理

大家还记得

我们在前面的章节里面

曾经做到了无理频谱的表达方式

我们来看一下

这是

Xp(n) = < XT(t),ψT*(n,t) >

然后这是它的这个

无理频谱的表达方式

这个无理频谱呢

这是周期的均积

在这里n是整数

t是实数

大家我们来想象一下

如果我们把这个周期T

趋向于无穷

那么这个公式会变成啥样呢

那么我们来看一下

这个当T趋于正无穷的时候

那么这个Xp（n）

等于这里1/T*< XT(t),ψT*(n,t) > t,[T/2]

我们把它展开在一个周期之内

T呢就会在±T方向展开

让它整个T趋于无穷

整个这个式子

会发生什么样的变化

那么我们首先把这个T

乘到这边来

它变成了T乘以Xp(n)

然后这个周期信号

连续的周期信号

当它周期趋近于无穷大的时候

就是在这个实数域

它只有一个周期

那么就是说这个周期信号

它就会变成一个

非周期的连续信号

非周期的连续信号

是这个意思

那么对于这个时续傅里叶函数

时续傅里叶函数

如果当T趋于无穷的时候

这个

ψT*(n,t)

它会变成什么样呢

我们看一下

这个呢它是

n呢是一个离散的信号

我们把它展开

它应该写成是

Lim T→﹢∞

然后它的表达方式

ej2πn/Tt

在这里

那实际上这个它可以写成是

n△f

在这里△f等于是T分之1的

当T趋于无穷大的时候

那么这个△f

就趋近于一个无穷小

就相当于一个微分

那么n称微分

那实际上它就会趋近于

原来的连续频率

那么反过来连续频率离散化

也是把它离散成了

n△f

是这样的

如果是这样的话

我们来看看这个

它就会变成什么呢

变成什么样

首先这个会趋向于一个连续信号

这个时续傅里叶函数

这个时续傅里叶函数

它会趋向于连续傅里叶函数

对吧

会趋向连续傅里叶函数

就是这样的

就像如果我们把这儿

再写一步的话

它就应该等于一个

连续傅里叶函数

是这样

那么如果这个时候

我们再把T乘过来

再把T乘过来

那么就是T和它相乘

T和它相乘

最后整个和这个T在一起

这一部分那么我们把它

重新来写一下

可以写成这样

Lim T→﹢∞

然后这个T乘以Xp(n)

然后这边呢也是

Lim T→﹢∞

然后这个是

< XT(t),ψT*(n,t) >

然后t [T/2]

就是一个周期的范围之内

这个二分之T表达的是

从负二分之T到正二分之T

根据刚才我们的分析

这个公式马上就可以变成了

就是它的右边

右边就变成了

XT(t)变成了Xc(t)

这个时续傅里叶函数

变成了连续傅里叶函数

而这个积分范围

由于T趋向了无穷大

变成了正负无穷

那这个左边呢

它依然是一个极限

依然是一个极限

那么这个极限我们把它

另外取一个名字

另外取一个名字

我们把它

认为这个极限取成一个名字

把它叫做是

Xc(f)

那么这个就是我们得到的

最终的结果

就是将原来的无理频谱的表达式

通过T它的周期趋向了无穷

因为无理频谱是处理周期信号的

当周期信号的周期

趋于无穷的时候

最后就变成了这个式子

这个式子呢我们称之为

连续傅里叶函数

叫做CFT

CFT 连续傅里叶变换

它称之为连续傅里叶变换

那么现在就是这个变换的结果

这个结果我们称之为

频谱密度函数

频谱密度函数

我们解释一下这个名词

首先我们看看

这个Xc(f)它的量纲

它的量纲

在前面的讲解的时候

我们曾经提到

对于信号来讲我统一的

把它的量纲称之为伏(V)

就是信号是电压来表示的

称之为伏

然后呢

连续傅里叶函数是没有量纲的

然后这里是一个连续内积

它相当于一个定积分

定积分呢

它这里还有一个微分dt

dt

这儿错了

它有一个微分dt

dt的量纲呢是秒s

那么所以整个它的量纲

整个它的量纲应该是Vs

V是伏 s是秒

那么但是呢对于这个结果

它不再有时间参数

因为时间在这个内积里边

已经内积掉了

只剩下频率参数

所以呢我们把它的量纲

稍微换成频率的量纲

我们知道频率的量纲是赫兹

赫兹是秒分之一

所以它的量纲最后我们

转换成V/Hz

赫兹分之伏

那么这就相当于

它是相当于信号

在频率上的一个分布

那么它的单位虽然说是单位赫兹

单位赫兹

叫做单位频率上面的电压

它是一个分布的概念

所以呢我们把它称之密度函数

把它称之为密度函数

就是这样

好 这就是连续傅里叶函数

它的一个来源

它的一个来源

是这样

那么我们就得到了它的结果

和其他的傅里叶变换是一样的

周期傅里叶变换

和离散傅里叶变换都是可逆

而且是唯一的

那么这里我们从连续信号

从连续信号可以变到

频谱密度函数

那么从频谱密度函数

也可以变回这个连续信号

它的变回方式是

Xc(t)等于是< Xc(f),ψc(f,t) >

这是连续信号

连续傅里叶函数

然后是对f [∞]

f求内积

在这里t和f都是实数

都是实数

所以这是一个连续的内积

那么这个式子的变化是指

我们称之为ICFT

就是说连续傅里叶逆变换

连续傅里叶逆变换

这是这两个公式

那么实际上这两个公式就意味着

连续信号Xc(t)

和它的频谱密度函数

Xc(f)之间

是可以进行相互的转换的

ICFT

将连续信号通过CFT变换

可以变到它的频谱密度函数

从它的频谱密度函数

通过连续傅里叶逆变换

可以变回原来的连续信号

这个式子表示这样

但是这个变换是可逆的

我们需要进行一个证明

需要进行一个证明