采样定理原理在线视频

有了周期频谱和无理频谱的

这个周期构造关系

我们可以来解释一下

采样定理的原理

首先我们来看

我们来构造一个周期信号

周期信号叫高斯周期信号

我们是用一个例子来看一下

利用前面的原理来

看这个采样定理的原理

高斯周期信号

我们有个加窗周期信号

它是一个矩形窗函数

和一个高斯信号

e的负t/a的平方

这是个高斯函数

高斯函数加窗以后

我们得到一个加窗函数

然后进行周期构造

得到一个周期信号

得到一个周期信号

就是用这个XWT减去

减去LT

这个L是无穷

然后L是个整数

在这里T是实数是连续的

这样我们就得到一个周期信号

这个周期信号

我们可以把它画出来以后

我们可以看它是个什么形状的

现在画面上看到的

就是高斯周期信号

就是我们通过高斯函数

构造出了一个周期信号

上面这个图就是高斯周期信号

下面这个图是它的无理频谱

是这个形状

这个无理频谱怎么得来的

咱们待会再解释

我们先看一下

它的高斯无理频谱的一个特性

它有一个最大频率序数NH

或者叫做最高频率序数NH

意思是啥呢

就是说在这个

对于无理频谱

就是它对应的无理频谱XPN的话

它会约等于0

当这个N的绝对值大于NH之后

这个最高频率序数

它存在这么一个关系

存在这么一个关系

我们从图上也可以看到

现在图上可以大致地看到

过了这个NH以后

它的两边正负NH

最高频率序数再大的话

两边这些

它这个无理频谱

都可以近似地看成0了

这个近似程度怎么样呢

我们针对这一个具体的无理频谱

我们来看一下

就是说我们只利用

中间这一段来反求它的周期

周期信号

如果反求的周期信号

跟它原来周期信号吻合的很好

我们就认为这个最高频率序数

存在是合理的

我们来反求它的周期信号

它求出来是我们用XP

时续傅里叶函数NT

然后这个N

原则上它是要到无穷大

但是因为我们存在一个

最高频率序数

再往大它就为0了

说明我们就没有必要

再走到无穷大

我们只用到NH这一块

NH这一块就可以的话

那么我们来看

它是不是能够还回这个

原来的这个周期信号

能不能还回来

目前看到这个图

就是刚才在黑板上写的这个

利用最高频率序数

有限的一个离散内积

我们计算出来的周期频谱

周期频谱这里

上面那个图是把原来的

这个高斯周期信号

和现在计算出来的

通过逆变的周期信号

画在一起了

可以看到它们重叠得非常好

看不太出来

下面这个图是把它稍微错开一点

画的时候错开一点

并不是说它计算的错开了

是故意画的错开一点

这个时候可以看到

这两个它的形状

周期信号的形状非常一样的

这个时候就说明

我们只利用这个NH

这个一小段来进行变换

它可以还回原来的周期信号

在这里具体变换的时候

NH就这一个例子

取的是13

这对于我们原来要求的无穷计算

所以就缩短了很多

这是因为高斯周期信号

它得到的这个无理频谱

是非常有限的

是这样

它就存在一个最高频率序数

刚才我们已经通过计算

验证一下

它这个最高频率序数存在

最高频率序数存在

这个最高频率序数

它对应的频率

我们称之为最高频率成分

最高频率

就是说这个FH等于是

NH乘以△F

对于刚才我们这个例子

实际上我们要怎么来计算它呢

就是我们做它的周期频谱

假设我们先得到一个

离散化的周期信号

它是等于是XTKT

当然这个离散化

是要周期等分离散化的

这个K是整数

周期等分离散化以后

我们可以计算它的周期频谱

XNK普赛*nNK

这里NK都是整数

这是个周期均积

它是很容易计算的

我们针对刚才给出的这个

高斯周期信号

我们来计算一下

现在画面上看到

上面这个图就是离散化的

高斯周期信号

离散化的高斯周期信号

那么下面一个就是刚才黑板上

给出的那个公式

我们计算出来它的周期频谱

是中间那个图

周期频谱

由于我们刚才得到了一个结果

就是说周期频谱

是无理频谱的周期构造

就是它这里边每一个

都是无理频谱

就是它周期构造出来的

我们看到这个无理频谱这一段

我们都可以通过抽样来得到它

从里边把中间这个周期

给它抽样出来

抽样出来以后呢

就可以形成了无理频谱

这里我们就可以得到无理频谱

通过抽样

对XN用△U来抽

抽的时候

要把这个自变量换一下

因为它是内积变量

M是M-N

抽样的范围是M抽NP的范围

这里有个条件

就是说如果能够实现这样的抽样

从周期频谱里边抽出无理频谱来

它的条件是NH应该是小于NQ

这是奈奎斯特中心

我们上一节介绍过的

它是等于是N/2的

它可以是个实数

我们这个抽样的范围NP

是奈奎斯特数

就是奈奎斯特数

在这里奈奎斯特数

在这里奈奎斯特数

它是小于等于是NG的

而且是它的最近整数

它是它的最近整数

所以说是它是它的最近整数

就是说如果最高频率序数

满足这个条件

那么它一定会

也会小于等于它

可能会小于等于它

这样这个条件总是被满足的

所以我们就抽到这个位置

就把它所有有意义的频谱

全都抽出来了

是这样的

我们来看一下刚才的图像

下面这个图

就是从上面这个周期频谱里边

抽出来的无理频谱

我们知道抽样函数

在它的抽样范围之外

全部都会变成0

所以这就是

我们从这个周期频谱里边

可以抽出无理频谱

而这个依据就是因为

就是周期频谱

是无理频谱的周期构造

而且要满足

刚才我们在黑板上给的条件

满足给的条件

那么就可以抽出来

这个它对应的是最高频率FH

这个对应的是最高

是奈奎斯特频率FQ

实际上就要求FH小于FQ

我们来看图形

我们来看图像

图像就是

在给的这个例子

这个FH是小于FQ的

所以抽出来的无理频谱

是满足条件和要求的

这样我们出来无理频谱以后

我们就看看

我们来整理一下我们的条件

要想从离散计算的周期频谱里边

抽出无理频谱

它的条件

我们刚才已经给出来了

条件已经给出来

就是NH就是最高频率序数

应该小于奈奎斯特中心

而这个它对应的

我们两边每一个乘一个△F

它就变成了频率

这个频就变成了FH

这是最高频率

它应该小于这里

奈奎斯特频率

小于奈奎斯特频率

是这样

小于奈奎斯特频率

而奈奎斯特频率

它是等于采样频率的一半

我们在前面已经说过了

它是等于奈奎斯特频率一半

因为它是N/2跟△F相乘的结果

这样我们把这个式子倒一下

我们就可以得到一个

FS应该大于两倍的FH这个条件

所以这个条件

我们称之为采样定理

就是说当采样的时候

你的采样频率

比被采对象的

这个信号的最高频率大两倍

还要大的时候

你采下的样

然后拿来得到的这个周期频谱

离散计算以后

得到的周期频谱XN

可以从里边直接抽出来无理频谱

有了无理频谱以后

我们就可以恢复原来的周期信号

它就可以恢复原来的周期信号

是这个意思

原来周期信号

我们是这个XP N

然后是普赛TNT

然后这里N就变成有限的了

变成NH

如果你是抽样的是NP呢

那么NH由于不是太确定

所以在NP这也可以

所以可以得到这么一个式子

可以恢复到原来的

其中条件就是这个条件

而这个条件它会衍生出来

就是采样定理

这种采样定理的原理就是这样

在图上

每一个由无理频谱构成的

周期频谱

它们是相互分开的

没有交叠在一起