离散加窗频谱函数在线视频

那么这个式子从理论上来讲它是可积的

它是可积的

但是由于这个加窗信号呢

没有它的解析表达式

那么我们只能用离散积分的办法

离散积分的办法

下面我们把它进行离散化

离散化

首先这个f我们要用fn去替它

那么fn等于什么

是n除以大T

这个大T就是我们的积分的

总的范围 大T

另外一个这个里边的τ

我们是要τK去代替它

那么K△T

△T就是时间离散化

离散化的

就是信号我们要去采样

采样的间隔

也是采样频率的倒数

也采样频率的倒数

这里n是整数了

K也是整数

那么△T是等于是采样频率的倒数

我们离散化就在采样

采样频率的倒数 是这样

这样离散化呢 还会继续

这个T时间大T

我们这个积分的总宽度

它应该是N跟△T相乘

离散化以后

这里N是一个整数常数

然后这个里边还有一个窗宽Tw

窗宽TW也会离散化

Tw和T呢

它在这里不是一个相等的关系

那么我们这个T

我们刚才的图像上

我们再回到这个图上看一下

这个T 我们大T

要取得比这个窗宽

就整个这个窗宽

应该大于等于它

但是不能小于它

所以呢 这个T有一个关系

这个T要大于等于Tw

所以这两个是不一定会相等的

那么它们两个的离散化的

数就得分开

Nw来讲

那么Nw也是一个整常数

这是整常数集合 是这样

那么这样就把这些量都离散化了

还有量呢

还有就是函数的离散化

我们把这个函数也离散化了

这个连续傅里叶函数FTw的

我们写出它的表达式呢

应该是J2πf

然后是Tw除2

这个2呢 抵消掉了

2抵消掉了 是这样

然后我们把它离散化下来呢

应该是用这个来ejπ

fn用NT NT呢是大N△T

这是大T 大T

另外还有一个Tw

Tw是Nw乘以△T是这个

它的用这个的离散化函数去替它

替完了以后 △T除掉了

去掉了 另外我们可以得到一个

N与它的一个比值

因为这在分子上这个分母上

所以我们在这里令

令KT等于是大N除以Nw

KT 大Nw

我们最后就会得到

就会得到

这个就会等于是ejπn

除以KT

这个KT

KT呢 它应该是个整数

或者我们这么写下来的

应该是就是大N应该等于是

KT乘以Nw的

这里KT是一个整常数

也是一个整常数

我们不要那个小数了

比较麻烦 这是个整数

也是自己去定的

这样呢 就能

只要有了Nw就是

就是窗宽的离散数

我再确定一个整数值

我就可以得到这个大N

就把这个大T就出来了

就是整个的积分宽度就确定了

这里我们在做离散化

这是在变量的离散化

还有时间常数的离散化

下面我们是对函数的离散化

函数呢 这一个离散化以后

我们另外还有两个函数

我们看一下这个加窗函数

这个加窗信号

它呢是τ减去Tw除二是吧

我们要怎么来替它呢

我们要用τK再减去这个

NW△T除2来替换它

来替换它

这个τK呢

我们在那里刚才已经替换掉

它应该是K△T

K是个整数

那么这个它就会等于

Xw是吧 K减去二分之w△T

这么件事 这么件事来替换

那么这个我们

这里边其他都常数

它是一个变量

我们给它换一个名字

这样比较方便一些换成Xwd

它是个离散化的信号Xwd这样

另外还剩下一个函数

就是连续傅里叶函数普塞C

Fτ它的离散化

我们会用这个普塞C

fn和τK

来替换它的变量

那么我们可以把它直接展开呢

它应该是ej2π

这个F是N除以t

N除以大N△t

再乘上这个τK是Kt

这样呢 △T就消掉了

它就等于是ej2πnk除以大N

那么这个得到

就是离散傅里叶函数nk

这样我们就把刚才那个式子

就这个式子除了常数以外

全部 除了这个常数以外

其他的全部都离散化了

我们把它重新写一遍

我们把这个加窗频谱函数的

所有该离散的都离散了

我们把它重新写一下它的

离散结果

就是说Xwcf离散到fn

那么它等于的结果是

上面的第一个函数

刚才我们在第一个离散呢

应该是这个

这个是ejπn除以kT

然后除以这个窗面积Wc0

注意在离散化的时候

就这个式子在离散化的时候

这是一个定积分

这里有一个微分

微分理解成△τ △τ

在这里都是△τ和△T应该是同量级的

所以这是一个△T

那么这里的△T呢

正好是fs的倒数

所以这个出来了

再写上这个

这个加窗信号呢

我们给它重新命了个名

是Xwdk然后呢

那边那个连续傅里叶函数呢

被离散化成离散傅里叶函数

那么整个这个范围呢

被离散成了大N这么多格

那么所以它就是

这是就是K

你看K呢 的变化呢

就是从0到N减1

这个公式我们是见过的 见过的

就是在我们上一级的那个前面讲到

讲到快速傅里叶变换的时候

这正好是快速傅里叶变换的公式

快速傅里叶变换公式

所以呢 我们可以用

快速傅里叶变换来计算这个式子

那么最后写下来应该是这样

是ejπnkTWc0fs

那么这个是FFT

然后是Xwdk就这样

因为快速傅里叶变换FFT我们可以得到

得到一个

从工具软件里边都可以得到 这很

那么现在计算起来就比较容易

只是我们在计算之前要先做

把这个数据做出来

做出来了就可以了

这个数据怎么做呢

我们来看因为Xwdk在这里是等于这个的

应该是等于Xw角t减去

Tw除2对吧 应该是这样的

我们来看一下

看一下这个应该怎么来做

应该怎么来做

先看这个图 还是这个图

中间就是Xwt 那么我们呢

是要有一段采用一段数据

就采样加窗 然后呢

后面呢 把0

这是后面全是0得集到这

那么怎么来构成呢

我们看下一个图

大家看到我们先采样

采样完了

因为采样的时候

我们都把零点放到正中

两边都是 这是窗宽 左边

然后我们再把这个

左边的零点 左边的这一点

最左边的一点在1到0的位置

相当于向右移动半个窗宽

就是这个移动

先要移动半个窗宽

我们这里采样呢

前面采到的是nw这么多个

后面呢 要添零

添零呢 把它填满了大N个

那么所以这个添零的

关系我们就很清楚

就是N它应该是KTNw

这是你采样决定的

要采多少个数

然后这个呢 是你决定的

就是这个零要填多少倍

那这些也是要决定

决定完了他就知道了

N就知道

最后添零的个数

这是添零数

如果用 我们用N0来表示的话

它就应该是大N减去Nw

你把这个填满就行了

填满0就行了

填满了0 这个就做出来了

就做出来 它就有了是吧

就重复一下刚才的采样

加窗 挪半个窗宽是吧

实际上就是采样加窗

后面添0

因为它是数字量

你挪不挪问题都它都是一样的

采样加窗 后面添零

添零的个数这么计算

完了以后得到得到

得到这一个数据串

这个数据串就可以送到这个

函数里边去进行计算

计算完了结果

再把这些常数乘上去

就得到你的整个的加窗频谱函数

这样这个信号最原始的

这个加窗信号

不管你是什么信号

都可以进行计算

都可以进行计算

那么下面我们还用原来的

余弦信号来比较一下

大家看这幅图

这幅图呢

就是余弦信号的

加窗频谱函数的右函数

右函数 那这个

这里一共有三种

三种这个数据

那么宽的这个竖条

那么就是KT等于1

KT等于1的时候

Nw等于N

Nw等于N

那么这个时候它的

这个计算的结果呢

就相当于无理频谱

所以这是无理频谱的一部分

无理频谱刚才右函数

我们在已经黑板上已经给出过了

那么这个红线呢 就是理论公式

刚才我们也在黑板上

同时给出过它的理论的公式

那么这条黑线呢

就是我们用现在这种算法

这是快速算法 算出来的

算出来的 就余弦进行采样

加窗 然后添零

然后再进行计算

这个计算是很快的

这个计算很快计算出来的

大家可以看到红线

和黑线重叠的非常好

就说明我们这个计算

用这个计算完全能够代替

我们用理论公式得到的结果

理论公式得到结果

这样呢 我们无论什么样的

信号我们都可以进行

因为这个时候不再需要

用理论公式去进行计算了

完全就是从计算机进行纯的

数字计算就可以解决这个问题

我们就可以得到一般信号的

这个结果 这个结果

下面我们来看一下计算的结果

我们以这个窗为例

以余弦窗为例

我们来看一下结果

在254页有一张表就是表42

在表42 它是由五个余弦信号构成了

组成的一个连续的信号

我们对这个信号来进行处理

处理完了的结果呢 是这样的

这是处理的结果

我们对它那个信号呢

我们对它进行采样

加窗 加的是余弦窗

加的是余弦窗

加完了窗以后来进行添零

添完零了以后进行计算

计算就是这个结果

我们可以看到这五个信号

这五个余弦在这都体现的

非常的好 都体现得非常好

它有一个 有一个这个

它的实际上这是一个互补辛克函数

互补辛克函数

它是余弦窗的普密度型函数

都体现出来了

而且这个幅值

幅值呢 我们把它乘了一个二倍

就直接跟那个表4-2的那个幅值

就完全是一样的 完全是一样的

那就可以乘起来就是一样的了

乘了个二倍

因为本来它是一个二分之A

是半幅值

我们就直接乘了它一个二

那么下面就是它们的相位

相位都是平的

这实际数值计算

计算出来的

数字计算

计算出来的

可能同学们会问

这个计算这么宽

这么宽

那么频率多了以后

这互相不就交叠了吗

但是这个宽度就是这就是

这就是这应该

是窗谱密度型函数的宽度

对余弦窗来讲这个宽度呢

等于4比上窗宽 是这样

就是主瓣宽WML它是等于

对于余弦窗来讲是Tw分之4

那么它呢 它得有个有个要求

是Aw 它的Aw

这个是窗波幅应该大于0.75

在这样的条件下面

它的这个主瓣宽

主瓣宽

是窗宽的倒数的4倍

窗宽倒数的4倍

那想到这个主瓣的

宽度实际上是可以

用窗宽来控制的

那么如果把窗宽加长加宽

那么主瓣宽就会变窄

我们来看一下

下面这个处理的是同样的信号

只不过呢 是把这个窗宽呢

加宽了4倍

加宽了4倍

我们看一下前面那个图

先看一下前面那个图

前面那个采样频率是2400赫兹

它的采样数是1200

不对

它的采样频率是2400赫兹

它的采样数是120

那么我们把它变成4倍

下面这个 频率还是不变

还是2400赫兹

而它的采样数是480

就是它的窗宽是原来的4倍

那么这个时候可以看到

这个主瓣宽变得

已经变窄了

相当于变成原来的四分之一

如果你再继续增加窗宽

就是你采样数再继续增多

那么它的这个还会变得更窄

那么在整个这个频段范围

还可以容纳更多的频率

就这个意思

这个是你人为可以控制的

所以我们使用最后的这个公式

这就是加窗频谱函数的

快速算法

快速算法

那么它就是利用FFT作为工具

计算那个加窗频谱函数

算完了以后

可以直接看到它的

原始信号里边的余弦成分的

直接观察到这个余弦成份的

三个参数 幅值 频率和相位

是这样

但是呢这里还有一个问题

这里边这些常数都是知道

这个采样频率是自己决定的

这个这个添零的倍数

就是添零的倍数

这个KT也是自己决定的

自己决定

但是这个是窗面积

就是窗谱密度形函数的主瓣高

就是零点值

这个等于怎么来确定

我们是用余弦窗

我们先从理论上已经推导了

对余弦窗来讲

它是TW1加上AW

这余弦窗的

但是如果你想加别的窗

这个值怎么来确定呢

这个值怎么来确定呢

那么我们来看一下

如果我们加余弦窗怎么来确定

余弦窗怎么来确定

实际上我们要求的

这个这个窗谱密度函数

那么我们就可以确定它零点值了

那么窗密度函数

也可以借助这个式子来进行计算

我们来看一下怎么计算

加窗频谱函数的

原始定义是WC（f）等于是

Wc0t然后CFT【Xw（t）】

Xwt是这样的

那么我们的 我们要求的

这个加窗频谱函数呢

就是说WC它的定义呢

应该就是CFT

CFT

然后是这个

这是我们希望要求到的

而加窗频谱函数呢

是这么求到的

那么我们这么来求

如果我们令

我们令Xw等于窗函数

我们把这个代到这里边去

代到这里边去

就可以得到Xwc（f）等于是Wc0

然后是CFT 窗函数

实际上呢 就相当于

如果把这个乘到那边去

我们就已经得到这个了

得到这个了

因为这两个是一样的

实际上把这个乘过来就是说

Wc0 X Wc（f）乘完了

它就是等于是窗函数的

窗函数的频谱密度函数

就得到这个

如果我们把窗函数当作加窗信号

求它的加窗频谱函数

实际上加窗频谱函数

求出来 再乘一个它

就得到了我们想要的这个窗

这个窗的频谱密度函数

那么这个公式呢

我们有一个离散化的算法

我们把它乘过来

我们可以看到就是这个

用离散化的办法（fn）

那么就等于Wc0

等于是Xw（fn）是吧

是这个

那么把这个式子代进来

把这个式子代进来

最后就得到了

等于是ejπnkT

那么下面呢 这个被乘掉了

这个窗面积乘掉了

以后就得到fS

然后是FFT

那么这个就是由窗函数构成的

这个FFT

那么这个窗函数如何构成

跟用这个加窗信号的构成方法

是一样的

是一样的

这个构成办法是一样的

那么这个我们把它那个式子

抄一下就是Wwdk

就等于是W k△T减去Tw2

用这个公式就可以组成这个

然后呢 用这个计算

这个计算就可以得到窗的频谱

频谱密度函数 窗的频谱密度函数

然后再取它的零点值

因为你这个可以做得很密了

这个可以做得很密

做得很密

这个窗的频谱密度函数就出来了

所以我们就得到了这个

最后我们就得到这个值

就是wc0

就等于我们用离散办法做出来这个

Wc（fn）

然后是fn=0的位置

把它取出来就行

就得到而这个结果

这样呢

整个这个离散化呢

快速算法

所有的都是你自己可以把控的

你的信号是用离散化的方法做了

做出来

然后你要加的窗

你事先做好了以后

他的那个窗谱密度函数

也用离散化的办法给他做了

那么就可以完成整个的计算

所以所谓的计算

你只用这个公式

不需要用任何其他的理论公式

就可以完成对一个动态信号的分析

同学们 这一堂课呢

我们就是介绍了

我们怎么利用连续傅里叶函数

连续傅里叶变换

来完成对实际的动态信号的处理

这个处理呢

最后是利用快速算法

用fft的快速算法

我们可以算出来

动态信号里边所包含的这些

余弦成分

我们都可以分析得非常清楚

整个的计算

不需要其他的理论公式做基础

而完全由计算机的算法

计算机的计算公式来完成

这里边只需要有一个fft的计算函数

就可以了

好 这堂课的内容就到此结束

谢谢大家