非周期信号的周期化分析在线视频

同学们

我们上一节介绍完了

周期频谱和无理频谱的关系

也介绍了周期频谱

它一个周期

就是它的奈奎斯特频谱

它的快速算法

有了这些基础以后

今天我们从这一节开始

要介绍非周期信号的

周期化分析原理

让我们开始吧

非周期信号的周期化分析原理

首先我们来看一下信号

我们来看一下信号的图像

现在画面上显示的

就是一个非周期的信号

对于一个自然存在的

非周期信号的话

我们是不知道它的时间零点的

所以我们从TA开始

假设从某一个时刻TA开始

我们取出一段来

我们把这一段称之为截断信号

截断的信号段

截断信号段

我们给它截断了

我们叫XCS

它是时间段

它是从自然的信号里边取出来的

T1加上TA再加上TW除2

是这么取出来的

这个T的取值范围

就是从负的二分之TW

到正的二分之TW这块

这个时候T是实数

它是一个连续的

这样我们可以看到

当T等于-2分之TW的时候

它等于负的这个

这个就等于TA

相当于从TA开始的

从TA开始的

当T等于正的二分之TW时候

它等于T加上TW

就正好取了TW这么宽的一个宽度

就像图上所显示的这样

取了以后

下面这个中间这个图

就是我们看到的这个截断的信号段

这个信号段

它只是在正负2分之TW之间

有定义

它跟原始信号是相同的

在其他地方是不知道

是未知的

是不确定的可以说

那么取完了以后

我们可以给它加一个矩形窗

那么在它整个的时间域上

实数域上都会有定义了

所以我们就得到一个

加矩形窗的信号

XRWT它是等于是矩形窗

和XCS相乘

因为XCS它的定义域

只有这个范围

到了这个范围

这个T就是在全范围了

T是在全范围

它的定义就看到

在中间这一段

是跟最原始的信号相等

那么这两边都是0了

都是0

是这样

我们再把得到的这个加矩形窗的

就是这个

加矩形窗的

这个加窗信号进行周期构造

我们就可以得到一个矩形窗的

周期信号

它是由XRW等于T

这是周期构造LT

这是我们都很熟悉了

前面用过很多

L是无穷的域

L是一个整数

这是个合式

这样就可以构造出来一个

严格的周期信号

就像现在我们画面上

所看到的上图一样

这是矩形窗的周期信号

这里要做一个等周期构造

就是说T等于是TW

等周期构造

啥意思呢

就是这里这个周期T

也要跟着一个矩形窗的窗宽

TW相等

TW周期构造恩

得到了这个矩形窗周期信号

矩形窗周期信号

我们再给它加一个

再加一个周期窗

我们就得到一个加窗的周期信号

就是再得到一个加窗的周期信号

它是一个周期窗

和矩形窗周期信号相乘的结果

这是T

也是在整个域里边

整个域里边

它是一个周期信号

我们来看一下图像

现在中间这个图就是周期窗

我们知道周期窗是由窗函数

经过等周期构造得到的周期窗信号

二者相乘就得到下面的加窗周期信号

是这样的

这是加窗周期信号

就像我们刚才黑板上写的这个公式

我们继续看这个画面上这个图

我们得到的那个周期信号

我们看到它的中心周期

就是在0

0两边各半个周期的地方

这段信号我们称之为中心周期

在周期信号里边

在这里

因为它是加窗过来的

所以我们把这一段信号

称之为加窗信号段

所以我们有加窗信号段

就是XWST

它的定义是从这个周期信号里边

取一段出来

取的范围是X是负TW2

TW除2

是这样一个范围

这样我们把这些稍微给它

在这里写一下

这个是加窗信号段

它实际上是相当于中心周期

这个就是加窗周期信号

加窗周期信号是这么来的

我们一步一步过来的

我们来看

这个就是叫做矩形窗周期信号

这个叫矩形窗信号

这个截断信号段

我们这么得到了

最后我们就得到了

这个加窗周期信号

和这个它的中心周期

我们称之为加窗信号段

加窗信号段

我们看出来

它是周期信号的一个中心周期

是它的中心周期

但是实际上

我们如果在没有得到

这个加窗周期信号的时候

我们可以从这个截断信号段里边

直接来得到它

看这个图

如果我们得到了

这个阶段的信号段

就从原始的非周期信号

截了一段信号以后

我们给它直接加一个窗

也可以得到这个加窗信号段

实际上就是可以怎么写呢

这个XWST它也可以等于是

就是窗函数和截断信号段的

一个积

是这样

在那个T的定义范围也是在负

也可以得到它

是这样的

有了这个加窗的周期信号

下面我们就可以来得到

加窗的无理频谱

首先它的定义

它的定义跟无理频谱是非常类似的

但是它稍微有一个修正

就是说当XWP是加窗无理频谱

它是等于是PFT

就是周期傅里叶变换

对这个加窗周期信号

只是变完了

我们需要有窗均值的一个修正

这个WP是等于

这是在我们以前讲那个WP0

讲窗函数

窗函数的无理频谱的时候讲到了

这个WP0等于是WP在0的取值

而这个WPN呢

它是等于是PFT窗函数

对窗函数的周期傅里叶变换

是这么一个结果

我们在讲周期傅里叶变换

曾经提到过

窗函数的无理频谱是这样的

那么我们要用它的0点值

窗函数的0点值来做一个修正

0点值相当于窗的均值

因为这个它的变化的对象

是加个窗的

我们取的是它的加窗的对象

从这里可以看到

这个加窗无理频谱

是通过加窗周期信号里面得来的

它们因为这里边有一个

周期傅里叶变换

所以它还是个成对的

这是一个可逆的

所以它这两个是一对

但是中间有一个修正系数

最后我们写成一个互逆对

互逆变换对的话

它是这个窗均值

窗均值与这个加窗频谱

和这个X加窗的周期信号

XWTT之间形成一个傅里叶的变换对

这边是IPFT

这边是PFT

是这样的

加窗的变换对

它变换的结果

这个N是整数域了

T是实数域了

从这个变换的过程

我们还可以看到

这个加窗周期信号

是两个周期信号相乘

两个周期信号相乘

然后再做的PFT

就是周期傅里叶变换

那么这个时候我们可以

就直接写出来

我们在前面的章节里边

介绍周期傅里叶变换的时候

就是这是乘积信号的PFT

它应该是它们的

无理频谱的卷积

所以我们可以写出它的卷积形式

就是说这个加窗的无理频谱

它可以用卷积来表示

因为它是两个乘积的

它是两个周期信号相乘的一个结果

来做的周期傅里叶变换

这个修正系数还放在这

WPO

它里边卷积的对象

这是矩形窗周期信号

这是M

然后是矩形窗周期信号的

这个无理频谱和周期窗的无理频谱

之间的一个卷积

N-M

这个M是无穷的

M是整数

因为无理频谱

它都是定义在无穷域上的

所以这是一个无穷的离散卷积

是一个无穷的离散卷积

是这样

这里这个XRPN

它就等于是PFT

这是XRTT

矩形窗周期信号

这个WPN等于是PFT

周期窗信号

它们的互逆变换

是这样的两个关系

其实这个前面X它是一个加窗

这是一个加窗无理频谱

加窗无理频谱

我们直接这里用了PFT

是因为它是一个矩形窗

对于矩形窗函数

它的均值是等于1的

所以这个系数为1

所以虽然我们看见直接是做的PFT

其实这也满足

这个加窗无理频谱的定义的

所以这个是满足加窗频谱无理定义的

就是说加窗的无理频谱

我们给出直接的定义

它是一个对于加窗周期信号的

周期傅里叶变换

而由于它是周期窗

和矩形窗周期信号的一个乘积

所以它还可以表示成

矩形窗周期信号的无理频谱

和周期窗无理频谱之间的

一个卷积关系

前面我们给出了

加窗无理频谱的定义

和它的卷积关系

实际上还有一个直接计算关系

因为它是从这个窗

它是从由这个加窗周期信号

计算出来的

我们可以提出它的直接计算式

就是加窗无理频谱

它的直接计算式

就是XWPN等于是WP0

这是修正系数

然后是它的PFT我们可以写出来

它原来的是

周期信号T和持续傅里叶函数

因为这是周期傅里叶变换的表达式

N留下来做了变量

T是变量

T是那个内积变量

所以T是在实数域的

这是个周期均积

我们在这个周期均积里边

把它在中心周期打开

那么就会出来一个周期

作为分母上

那么这里用中心周期代替

我们在加窗信号里边

这个中心周期

我们这里前面已经给出了

叫加窗信号段

就是XWS就是WS

这是加窗信号段

它和这个持续傅里叶函数

做一个连续内积

那么这个内积的范围是

T是正负2分之TW窗宽的范围

因为这T是一个实数

这次得到它的连续计算式

这个式子是可计算的

这个式子是可以计算的

是这样

我们就得到这个无理频谱

它的直接计算就是这样表达式