离散相关变换快速算法原理在线视频

在这个式子的基础上

我们可以继续往下

继续往下走

这是一个周期信号

我们先看这个VNK

VN大NK

这是一个周期信号

它的频谱函数DFT

我们就把它描述成DFTVNK

VNK

这个信号就是从反向

它是IDFT

是可以回来的

回来的结果就是VNK

这样一个函数

应该等于是DFTVN大NK

VN大NK

普赛 这是离散傅里叶函数

我们跟它做的时候

我们这个用L

因为N

这个N已经在这里用掉了

我们不能再用以前的N了

我们用一个L来表示

那么它等于是K

这个L是0到NS减1

这里L是整数

这是我们在前面讲

DFT和IDF的时候

得到的这个表达式

就是说这是它的周期频谱

DFT完了以后是它的周期频谱

周期频谱完了就可以是它的结果

它的这么一个结果

可以这么来表示

那么再继续

再继续

这个DFT完了以后它的变化量

我们把它是L

是L的变化量

如果这个L在这里只取

这个L只需要它的一个周期

从0到NS减1这个周期

因为NS这里等于是N的

只要0到N减1的这个周期

这个周期我们在前面

叫奈奎斯特频谱

奈奎斯特频谱正好

如果是只需要它的奈奎斯特频谱

那么我们就可以用FFT来计算它

所以这个换成FFT的公式

我们以前也讲过

它应该等于是NS分之一FFTVNK

然后是离散傅里叶函数

L等于是0到NS减1

它可以得到这么一个结果

而这个FFT变换完了的结果

它是一个范围

结果的L范围是0到NS减1

下面我们得到这么两个表达式

我们先把这个表达式

可以代到这里边

我们就可以换掉

这一个小波函数构成的周期信号

我们写到这边来

这个相关频谱函数τm等于

前面有一个系数

系数我们照写

这是窗面积

采样频率

采样长度

都在这儿了

然后里边这个原始信号

构成的周期信号我们不动

然后把那个小波函数

构成的周期信号

我们用下面那个周期信号代

这个NS已经放到这儿了

那么它就是一个

它自己是一个内积变换FFT

然后是VWNK

这儿写错了

它有一个N的变化量在这儿

然后这个变化它的范围是

L处于是0到NS减1的范围

它再跟这个离散傅里叶函数做内积

形成一个IDFT

L是0到NS减1

那个公式现在就变成这个

这个完了以后我们完成这个内积

K是0到NS减1

形成这么一个式子

这个式子我们看到有两个内积

一个是对L进行内积

一个是对K进行内积

注意 这都是离散的

因为L和K都是整数

这是离散的内积

相当于和式

这样我们可以交换一下

这个内外层的内积

先做K

先做K

注意我们在这里边

我们在替换K的时候

替换这个K的时候

那个VN这里

应该是K减M

来替换它这个自变量

所以我们这里不应该单写K

应该写K减M

是这样一个结果

这里是两个内积

一个对L

一个对K

这个函数

这个周期信号跟K有关

这里表面出现了一个K

但实际上它和K无关

因为FFT完了以后它的变量是L

而这里边有一半跟K有关

有一半无关

因为离散傅里叶函数

是一个指数函数

我们在前面已经介绍过了

它可以拆开

它可以拆开的

这样拆分的结果

就可以写成是

这个系数还照样在

FSNS

然后先做这个K

这个跟K有关的

DNK

然后这边拆出来一个普赛大NLK

然后这些都是跟K有关的

我们先把它做完

剩下的是这一个

还有这个的一半

那么就是FFTVN大NK

然后是普赛NLM

这个负拿到上面共轭

所以这个负就没了

剩下这个

最后再做这个L的0到NS减1

因为这个做完了是L的变量

这个做完了是L的变量

所以这是L的变量

这个也是L的变量

我们把它写到这儿

L它的变量是0到NS减1

这是L变量

这是L变量

这也是L变量

最后做一次L的和式

就算结束了

这个式子我们给它添一个共轭

这儿添一个共轭

这儿添一个共轭

然后在总的外面添一个共轭

实际上这几个共轭约掉以后

等于没有添

但是我们给它添上

添上以后我们再看这个形式

这个形式

就是我们以前见到的

FFT的表达式

包括这个

它的这个范围是0到NS减1

这个就是原来FFT的表示式

所以这个式子

相当于对这个周期信号

加新的这个信号进行FFT变换

我们再把它写一下

前面的系数不变FSNS

那么这里是一个FFTXDN*K

然后外边完了以后

这儿还要取一个*

就是这样

这个完了以后

FFT完了以后

因为它是一个L变量

我们把L变到这儿

因为FFT它的原始的长度

和它的结果长度是一样的

所以它的这个长度

也是0到NS减1

然后把这个FFT写过来

VN大NK

L也是0到NS减1

这是它的长度

我们把它写到右上角

把它们变量和长度都写到右上角

然后这个普赛N*LM

L现在等于是0到NS减1

最后就得到这么一个内积

这个内积我们如果把最前面

这两个FFT相乘的结果

看成一个整体的话

它也是一个FFT

因为这个它是一个

离散傅里叶函数的共轭

然后这边也是它

跟这个周期一样的

因为现在一定要注意到

这个N等于S的

N等于NS

所以它现在又是一个FFT

最后我们把它写成了

一共就是三个FFT

前面的系数不变

FSNSFFT

然后是这两个东西

FFT共轭

这是原始信号构成的周期信号

然后是第二个FFT

这是小波函数构成的周期信号

L0到NS减1

它的长度是

这里可以不写了

因为我们待会儿统一的说长度的事

用它变化出来它的长度是相等的

然后再变化回去

是这样的一个结果

这样的结果

这个L在这里被变化掉了

这里剩下是M

M是变化结果剩下的变量

就是这个FFT

所以它的结果变量是M

它的范围是0到NS减1

0到NS减1

是这个范围

这个就得到了

所有的M都计算出来了

这里几点要注意

第一个这个共轭

平时我们得到的信号

我们采样得到的信号它都是实的

所以这个共轭可以

它有和没有

对我们平时的物理信号来讲

是一样的

是一样的

另外一个要注意

我们的M的取值范围

我们前面已经说出来了

已经给了

这个M取值范围

应该是0到NS减去NW

而这个范围

因为NW肯定比1要大

所以这个长度一定比这个长度短

它是在这个长度里边的

0到NS减1

在这个长度里边取

取这一段

取下来就是M的变量

整个最后我们得到的结果

这就是我们最后得到的这个公式

我们用三个FFT

完成了这个相关运算

完成了这个相关运算

最后完成是什么情况呢

就是我们给定一个FN

就可以获得一个小波函数的

周期信号

包括原来的

和原来的这个采样得到的

离散信号一起完成三个FFT

最后把整个M所需要的结果

全部都一次性的求出来了

那么我们来看

这两个信号它们的长度都是

这两个信号K的长度

K的长度是0到NS减1

如何来准备这一段信号

虽然这两个都是周期信号

我们先看一下这两个周期信号

我们需要这么长

现在图上我们还可以看到

这个周期信号

上面这个XDN这个周期信号

我们如果只取它一个周期信号

0到NS减1

实际上就是它的全部的采样信号

就是说我们把全部的采样信号

都给这个信号的话

它就会得到这个信号

这个我们把它再写一下

是怎么得到的呢

就是XDN

我们需要的这一块

它就等于是XCTK

就是这个

我们原来写了

Tk等于是Ta加上KΔT

现在这个K的变化范围

是0到NS减1

这个就得到了它

这就是所有的采样

全部都拿来做这个信号了

另外要准备这个小波函数

我们来看小波函数

它在开始阶段

是这个小波函数的一个离散值

而后面整个到NS减1这一段

都是0

都补齐了0

我们也是用它的一个周期

来进行计算的

那么这一个周期我们首先看

取的这个小波函数

取的这个小波函数

这个小波函数我们从它最开始取

我们用另外一个图

看起来可能就比较更容易一些

我们拿这个图来看

实际上就是我们要把它取下来

这个小波函数取下来

后面给它添0

添0的长度跟上面对齐就行了

从这个图上

我们借用这个图可以说明它

我们先取这个小波函数

我们再来看这个它的取值

刚才我们说了

它是取小波函数第一段

然后里面取0

我们看看这个V小n大N

然后K

它是等于第一段是小波函数VW

如果N确定了

FN就确定了

然后小波函数它是KS

是第一点

然后再加上KΔT

在这里这一块K的范围是

0到NW减1

是这样

然后其它的

这有一个括号

其它的都取0添0

这个0是从哪儿呢

就是从K处于是

NW一直到NS减1

全取0

这样就把这个函数也给它凑齐了

凑齐的整个长度

K的变化长度也是NS的长度

从0到NS减1

这样取了两个长度

都是一样长的

都是一样长的

完了以后就可以完成这个计算

就是说我们给定一个N

在频域给定一个N

那么这个N

FN就能确定了

然后我们从小波函数上

就可以采到这个值

然后跟我们采集到的

原始信号一起

送入这个公式里面计算

就得到这个相关频谱函数

这个相关频谱函数得完了以后

我们就

M的变量

M表示τM的变化

最后我们是这样的

我们拿这个画一个小方块图

来描述一下

横坐标是τM

纵轴标是FN

当然它们都是被离散化了的

离散化了的

都离散化了

都离散了

那么这是τA

这是F1

这是F2

然后这是τB

然后这个离散的范围

这个的离散的结果

这个是按照采样频率来离散的

这是ΔT

F的离散范围

这是ΔF

这是人为决定的

这样 如果我们确定一个N值

这是N的变化

确定一个N值

根据我们刚才所说的确定这个

确定这个

然后再用这个公式计算

计算完了就把这些值全部都会

一次性的全部都会计算出来

这个M的值

M的值是一次性的全部计算

这是三次FFT完成这一列的计算

如果我们再换一个

我们再换一个

它就可以再计算上面这一列

这一行

就是这一行一行的计算

所以这个FFT出来

三次FFT出来以后

实际上它是一个时域的数据

就是这么一行一行的求出来

所以这每一点都是我们得到的

就是这个相关频谱函数FNτM

这样我们就可以全部把它求出来了

求出来以后你送到这个

它就可以给你画出等值线

画出等值线

把相同的点连起来

等值线图

或者是色谱图都可以画出来了

是这样的

我们就可以得到了

到此为止

就是说一个小波函数

你随便用一个小波函数

要想做它的相关

那么就是这个

就可以用这样的一套方法来完成

我再写一下这个小波函数

它最原始表达式是XRFτ

等于是WC0

然后是XCT

小波函数VWF

T减去τ

这个T无穷

这里FTτ都是实的

就是这样一个式子

要想计算的话

你只要给定了小波函数

就可以按照这一套离散的办法

用三次FFT完成

这里要注意对这个小波函数

并没有加以任何限制

没有加以任何限制

你只要确定了以后

都可以用三个FFT来完成

当然从理论上

你如果选择傅里叶小波函数

用这样也是可以完成的

但是如果选择傅里叶函数的话

如果选择傅里叶小波函数的话

我们通常不走这一条路

这一条路只是留给非傅里叶

就是这一条路是留给非傅里叶的

非傅里叶的小波函数

要想计算这个相关频谱函数

可以用这一套

三个FFT