一般小波变换（1）在线视频

我们整个把这个重新写一遍

重新写一遍

我们就可以写成一个一般的形式

一般的一个形式

整个这个范围由于它自带窗的限制

这是一个自带窗的

这个窗宽限制都可以变得宽了

我们把它去到无穷里去

另外一个

我们的分析对象原来是频率

是频率

现在我们把频率给它换一下

频率换成了一个尺度

它跟尺度是一个倒数的关系

以前我们就曾经提到过尺度的问题

提到过尺度问题

这样这个函数

实际上我们就可以重新写一下

写成了Xrm

那么就是a分之一

然后是t

然后这里等于是

这个变成尺度以后

尺度到底下来

1/a根号2π

然后是Xc(t)

这里我们是从

我们这里是从莫莱特的小波基来的

在这种推广的情况下面

我们完全可以用别的小波基

不一定要用小波基以后

我们先给它写起来

这个就变成了(t-τ)/a

然后是t趋于无穷

趋于无穷

实际上我们可以看到

刚才我们解释到的

如果这个莫莱特小波基

我们把它变成别的小波基函数

这就成了一个一般变换的关系

成为一般的一个变换关系

另外在这个式子里面

我们还可以看到

还会看到这个变换的结果

这个变换的结果

跟这个尺度存在着一个反比关系

这个尺度的反比关系

有时候会使得我们的结果

离我们的期望

能够观察到的东西可能会难以控制

因为它实际受这个变量的限制

所以我们在保持它的这个基础上

我们可以给它增加一个系数

这里增加一个系数是什么呢

就保持这个

就把这一块a分之一

把它换成了amin

用它的最小值的p减1次方

然后再跟a的p次方

这样来换

用这个比值来替换这个a分之一

它保持这个a分之一这个值的关系

指数级别关系

而这个通过p

我们可以适当的调节这个系数

能使我们这个结果

跟这个的连接关系

能够给它稍微的松散一些

可以通过p来调节

最后我们希望观察到的内容

通过这样一个

我们就可以把整个重新写一遍

重新再写一遍

写上来以后

那么最后就形成我们的

小波变换公式

我们这里是如果a做变量

这里是以a分之一为变量

它跟上面是对应的

如果我们以尺度a为变量的话

那么这个函数名我们应该换一下了

我们换成Xv(a,τ)

就等于是a最小的p减1

然后是ap次方

ap次方

这是一个

下面还有一个根号2π

然后再写出来这是Xc(t)

Vb换成一般的小波基

那么就等于是(t-τ)/A

然后是t无穷

在这里t a τ都是实数

这样形成了一个变换的

内积变换关系

我们就把这个变换

这个变换称之为小波变换

这个就是我们想得到的小波变换

在这里边我们刚才得到了

这个莫莱特的小波基

莫莱特的小波基

我们还可以有别的小波基

比如说马尔小波基

马尔小波基

我们刚才得到的

这个莫莱特的小波基

我们可以看到这个莫莱特的小波基

它是由两个函数构成的

而这个函数

这个高斯函数

实际上构成它的是外波形

而这个函数是原来的

连续傅里叶函数的缩写

这个是它的内波形

我们来看一下它的构型

实际上我们把它写过来

对于莫莱特它的这个Vbm(r)

它的这个小波

可以写成是一个外波形函数

和一个内波形函数相乘

而这个外波形函数

等于是e负二分之一r平方

那么这个内波形函数

等于是e负j2πr

这是构成莫莱特的小波基的

一个构成

莫莱特小波基的构成

我们来看一下这个小波基函数

现在这个画面上显示的

就是小波基函数

是莫莱特小波基

那么莫莱特小波基

它是一个复函数

它有实部

上面是实部

下面是它的虚部

用莫莱特小波基

我们就可以描述它整个

用这个式子来讲

可以描述这个小波基的话

可以描述它整个的变换情况

包括所有的尺度

而这个尺度

刚才我们是用频率过来的

刚才我们是用频率过来的

也包括它以前的

包括所有的频率

那么就不像以前

我们在用连续傅里叶函数

和加窗来构成的小波函数那样

我们需要去记录它

大量的小波函数频率的变化关系

它这里就从里面

抽象出了一个小波基函数

非常的简洁明了

那么就用这样我们画面上所看到的

这个小波基函数

就把这个莫莱特小波函数

完全的确定了

包括它所有频率下的形式

对应的还有一种函数

是马尔小波函数

我们翻译成马尔

马尔小波函数

它的这个外波形函数是一样的

也是e负二分之一r平方

而它的内波形函数给了一个实函数

它是等于e减去r平方

r平方

r平方实际上是一个啥呢

实际上这是一个倒的抛物线

倒的抛物线这一部分

然后再往上提一个单位高度

它是这么一个形式

倒抛物线

这里是1

这个高度是1

是一个倒抛物线

这样构成了马尔小波

从刚才这边

对于莫莱特小波基的分析

和这边对莫莱特小波基的分析

我们得到一般的小波基函数的构造

应该等于是一个外波形函数

和一个内波形函数之积

内波形函数之积

这个r是一个实的

r是一个实的

是这样的之积

这个称之为外波形基函数

简称外波形基

这个是内波形基

内波形基

它是由这么来构成的

它是由这么来构成的

那么这里我们可以得到

对莫莱特小波函数

这是莫莱特小波函数

莫莱特小波函数

它的外波形

是e的负二分之一r平方

它的内波形是e负j2πr

是这个

那么对于马尔小波函数

它的外波形跟莫莱特小波函数

是一样的

都是一样的

是一个高斯函数

而它的这个内波形函数

是一个倒抛物线

是这个意思

那么还有一种小波函数

比如说还有一种小波函数

还有一个函数叫DOG

DOG函数

它叫高斯差的一个小波基

它的外波形函数

跟这两个外波形函数是一样的

都是等于一个高斯函数

二分之一r平方

而它的内波形呢

内波形基

它是一个2减去1的

八分之三r平方

是这样的一个结果

如果把它两个乘起来

这两个乘起来

就得到这个DOG的小波基

乘起来我们可以看到

它乘起来的结果应该是什么

就是Vb(r)等于是

这个乘上来以后是2倍的

e负二分之一r平方

这个跟这个相乘了

应该等于减去1的负

这个二分之一相当于八分之四

跟八分之三抵消掉

还剩八分之一的r平方

是这个

这样对于DOG这个小波基

它实际上是两个高斯函数之差

最后的结果是两个高斯函数之差

所以把它称之为高斯差函数

那么我们来看一下这两个

我最后给出的这两个小波基函数

我们现在画面上看到的

是马尔小波基函数

它有一个向上突起

两边有向下的

向下的各有一个突起

是这个

实际上它就相当于一个高斯函数

就是这个

高斯函数和它相乘的结果

这个高斯函数

实际上是这样的一个东西

跟这儿来相乘

是这样

另外还有一个高斯差小波基

实际上高斯差小波基

它跟马尔小波基非常类似

我们可以放到一起看一下

只不过它带的窗宽会宽一些

它的这个主瓣稍微也是要胖一些

相当于也是宽了一些

也是宽了一些

是这个

所以通常在进行分析的时候

选这个马尔小波基的

可能是稍微的多一些

马尔小波基的稍微多一些

当然你也根据自己的需要

可以构造更多像这样的小波基

小波基函数

可以自己去构造

因为它这个其实都非常简单

比如说你保留这个外波形

这个内波形

你就有很多可以发挥的余地

可以发挥的余地

是这个意思

根据这个内波形函数