时变相关滤波（2）在线视频

那么找到了以后我们就来看

这个时候我们得到这个

这是理想的带通滤波器

我们前面已经讲到过了

我们要利用前面的

有了这个理想的带通滤波器

我们就可以得到

理想的带通的这个冲激响应函数

带通的冲激响应函数

这个冲激响应函数我们是给过的

它是这样

是2FH(τ)sinc(2FH(τ)t)

这是一个sinc函数

也是2FH(τ)t

是这样的

然后它需要减去一个

两倍的低边频率

也是一个sinc函数

两倍的低边频率

这就是它的冲激响应函数

由于这个

由于它跟时间τ是有关系的

所以我们在写的时候

最好把时间τ也给它写出来

这个我们就写成是Hb(τ,t)

这样它的理想的冲激响应函数

跟时间τ有关系

也跟时间t有关系

跟时间t有关系

我们通过加窗

得到它的滤波的小波函数

就是hWB(τ,t)

就等于是W(t)hB(τ,t)

这个是它的滤波用的小波函数了

滤波用的小波函数了

在这里我们首先要决定这个窗

一个是要决定窗的选型

这个我们可以选余弦窗

但是还要决定窗宽

我们在前面的课程里边

提到了这个窗宽TW

它是等于是这个过渡带宽

过渡带宽倒数的两倍

过渡带宽倒数的两倍

这个过渡带怎么来设计

那么我们来看图

在这幅图上

我们可以利用

这个色谱图的它的数据

做一个纵向的切片

比如说像这样的一幅图上

我们利用这样一个纵向切片

我们来看它的这个窗宽

应该是怎么来确定的

实际上就是这个图了

就是这个图

这个相当于刚才这样的某一个切片

这个是在4.0秒

就是4秒钟的时候一个切片

而这个是在4.7秒

稍微离它有一点位置

这个没关系

通过这个我们可以知道

它的这个通带宽度Wd

我们可以把它确定下来

就是说我们在通带宽这个范围之内

它除了我们自己要滤的

这个波的频率之外

它没有别的频率在这儿了

在这个宽度

另外一个我们要确定

一个过渡带的宽度

过渡带的宽度现在是WT,2Hz

这个通带宽度是8Hz

这个过渡带宽是2Hz

那就是在这个过渡带宽的范围之内

也没有其它的频率

或者说其它频率的成分

它的成分量很小

这样我们通过这样的一个传递函数

这样的一个传递函数

进行相关滤波的话

就可以把这一个频率的信号

单独的滤出来

那么这个传递函数我们是通过了一种

跟前面有关的一种算法

我们是直接计算出来的

这个传递函数

我们看黑板

就是说我们这个传递函数HWB(f)

这个传递函数

它理论上应该是这个

这是冲激响应函数的

这是我们实际使用的

冲激响应函数的连续傅里叶变换

就是CFT[hWB(τ,t)]t

应该是hWB(τ,t)

因为这个变换是对t进行的

我们打一个小符号

它是对t进行的

所以τ会保留下来

这个时候这个传递函数

实际的这个传递函数

也是τ和频率的关系

τ和频率的关系

这个变换

把这个时间t这一部分

变换到对应的频率

而τ依然保留了它

τ依然保留了它

是这样

而这个算法

我们以前是有快速算法的

大家还记得

我们在前面课程里边

曾经讲到了这个加窗频谱函数

它等于是一个窗面积

加窗频谱函数

对一个加窗的信号进行的变换

这个它的快速算法依然可以使用

它的快速算法依然可以使用上面

大家可以看它跟上面

实际上就差了一个常数

只不过我们在进行快速算法

来计算它的时候

依然可以使用它

用的时候

我们不用去除这个常数就行了

就可以了

所以这个是可以通过一个快速算法

把它算出来的

这个大家可以查前面的

课程里面有的

另外还有书上也有这样的

我们在讲到加窗频谱函数

加窗频谱函数

这样可以查阅到这个快速算法

我们把它算出来

我们在实际设计

这种时变滤波器的时候

可以拿出来做这样一些分析

通过这样我们就确定了这几个参数

一个是过渡带宽

另外一个是通带宽度

这个中心频率我们在刚才讲的

利用这个色谱图早就定下来的

定下来以后

它就可以确定了

它的这个冲激响应函数

就是那个h的

就确定了这个

因为这个hB(τ,t)是一个理论公式

窗就确定下来了

窗就确定下来了

因为有了这个

窗就确定下来了

窗宽就决定下来了

我们整个滤波公式

就是说我们需要的这个

这个小波函数

或者叫实际的冲激响应函数

它就可以使用了

这个冲激响应函数

大家看看它是随着时间τ变化的

我们来看一看它的大致的形状

这就是我们相当于

给出的时变滤波的冲激响应函数

它不同的时间τ就有不同的形状

大家看看

这是τ=2秒的时候

它是这么一个形状

大家看看它里边的变化的频率

比较低一些

这是τ=8秒的时候

相当于将来要滤波的

那个中间的位置了

它里边的这个变化或者叫做周期

或者叫做尺度

或者叫做频率

都会比这边有相应的变化

这边变得更密了

这是在16秒的时候

当然它还有中间的一些形态

只不过我们就不能一一列出来了

大家体会一下

就是说这个滤波用的

系统的冲激响应函数

它是一个时变的

随着输出τ的时间来进行变化

是这个意思

这样我们就可以得到

输出的滤波方程

我们可以写Yc(τ)

那么就等于是Xc(t)

跟这个冲激响应函数hWB(τ,t-τ)

这样一个连续的内积

这里是对t做无穷

t是实数

由于这个hWB(τ,t-τ)它是加了窗的

它是有限的宽度

这里有一个相关

这相当于一个相关变换

虽然说这是卷积关系

大家知道

从这里来讲这个输出

应该是输入

和冲激响应函数之间的卷积关系

但是由于我们

已经把理想的冲激响应函数

已经设计成了一个实偶的函数

一个实偶函数

就是相当于这边曾经配了这边的

配了它的负频率方向

这是一个实偶函数

因为它是一个偶函数

它的卷积和相关是一样的

我们在前面讲相关变换的时候

曾经讲到了它的这个时间

连续内积的内积范围

应该是怎么变化的

我们来复习一下

这就是一个相关变换的

它的时间系统

我们可以看到这是一个小波函数

相当于我们这个冲激响应函数

它也是一个小波函数

这个小波函数

它是在这个时间轴上它是移动的

它是移动的

到τ的这个位置

我们的内积的范围

就是相当于从它的左端

积到它的右端

它的左端是τ-Tw/2

它的右端是τ+Tw/2

这样我们就是确定了它的这个内积范围

这样我们这个内积范围

就可以稍微改写一下

改写成

t,[τ-Tw/2,τ+Tw/2]

t是从τ-Tw/2

τ+Tw/2

这样的一个范围

我们把它做一个变量替换

做一个变量替换

g等于是t-τ

我们就可以得到dg就等于dt

因为t是内积变量

然后当t处于上面给定的

这个范围的时候

τ+Tw/2

它就可以导致这个g的范围

就是在-Tw/2

-Tw/2到正的Tw/2

这样我们完成这个变量替换

就可以得到Yc(τ)就等于是g,[Tw/2]

这个t就变成了g+τ

然后这边就会变成了hWB(τ,g)

然后g的变化范围

就是±Tw/2

就是这样

这个式子

我们就可以拿去进行数字计算

注意这个数字计算

由于这个函数随着时间是变化的

我们只能进行逐点的计算

而不能使用快速算法

不能使用快速算法

我们快速算法

它是固定不变的沿着时间

可以通过三次FFT去完成

由于相关变换的小波函数

它是随时间变化的

随时间τ变化的

所以这个只能进行逐点的计算

这个逐点的计算

我们在本教材上已经给过了

在教材上已经给过了