低通相关滤波方程在线视频

我们来看这个式子

理想的低通冲激响应函数

因为它的理想的低通传递函数

我们已经给它配好了

那么通过这个它是一个可分析的

我们可以得到它的解析结果

那么这个HLT就等于是

这是一个傅里叶逆变换

它就等于是这个HLF普赛CFT

然后对F又无穷内积

然后FT都是实的

这是一个连续内积

因为这个大HLF已经在这儿给定了

我们把它放进去

它是有限范围

我们就限制这个内积的范围

它的值全为1

所以可以写成是普赛CFT

然后F是FC

就是正负FC之间

做一个连续的内积

这是连续傅里叶函数的对称内积

连续傅里叶函数对称内积

我们在连续傅里叶函数那一章

我们就曾经给出了

它应该是一个sinc函数

而且sinc函数

它的函数有一个系数

它的自变量也有一个系数

这个系数就是这个对称宽度

所以我们就可以直接写出来了

这个对称宽度是2FC

这是函数的系数

函数是sinc函数

自变量也有一个系数

一样的

就得到这个结果

最后我们代进去

代进去以后就可以得到这个

就是这个情况

这样我们就可以把

加窗的冲激响应函数

就可以求出来

但是要确定窗函数

当然窗函数可以选型

但是在窗函数选定之后

我们还要决定一个窗宽

我们来看窗宽如何决定

还要决定窗宽

这个是怎么定下来的

窗宽是怎么定下来的

在窗宽的情况下

我们首先要来分析

就是说我们现在是以加窗的

冲激响应函数作为一个系统

我们来得到它

就是啥呢

目前的情况是HWT

把XC送进去

最后得到YCτ

是这个

由它决定的传递函数

就不是原来的理想传递函数

因为它出来以后加了一个窗

所以它所决定的传递函数是HWF

等于是CFTHWT

是这个

是这个

我们可以看到

实际上如果这个窗定了

我们也可以把它计算出来

当然我们也可以

把它再做进一步的分析

这个放进去以后是CFT

这是两个的乘积

现在如果我们都以低通为例

我们低通已经得到了

我们以低通为例

我们都给它加一个L表示低通

那么这个低通也是在这里

这里也得到一个低通

低通滤波器

这个低通滤波器的情况代进来以后

这是窗函数

然后是它的理想的

低通冲激响应函数

就得到这个

这两个我们看到

这个在时域是乘积

如果换到频域里去看

它就是一个卷积

就是一个卷积

这里我们可以看到

它的这个加窗冲激响应函数

对应的传递函数

它这个是两个函数构成的

有一个窗函数

有一个理想的低通函数

它是两个乘积的关系

我们把它的频域写出来

它应该是一个卷积的关系

所以我们直接在频域里面

给它写出来

HWLF

理想的低通传递函数

我们换一个

因为要做内积

换一个变量

然后是这个窗函数的频谱密度函数

它应该是F减G

这是一个卷积

就应该是这样

然后G是无穷的

我们新增加的这个G变量

也是一个实数

也是一个实数

而这个WCF

实际上它是CFT

窗函数的这个频谱密度函数

它的连续傅里叶变换

连续傅里叶变换

因为我们曾经说

这个是一个实偶函数

所以它也应该是一个实偶函数

一个实偶函数

这个就可以翻一个个

它的内积

另外我们可以看到

刚才我们给出了这个低通的

理想低通是这种情况

它的高度为1

然后它有一个有限的范围

我们这个就可以重新写一下了

HWLF

就等于

那么这个全是1

所以它不再出现了

这个窗的谱密度函数

就可以变成一个相关的变换

然后这个G的范围就是正负FC

G的范围就是正负FC

是这种情况

从这个地方我们还可以看到

由于这个HWL

我们在这里实际上已经求出来了

已经求出来了

HL再乘上一个窗函数

乘上一个窗函数

那么实际上我们还可以直接的

得到它这个结果

我们来看就是说HWLF

应该等于是连续傅里叶变换

我们可以把它写出来

HWT普赛

这是带星号的

是FT做一个内积

T做的是连续内积

这里T和F都是实数

这是一个连续内积

这个连续内积

实际上我们以前

曾经做了一个加窗频谱函数

跟这个非常类似

加窗频谱函数只是这里

这里没有那个系数

没有那个系数

现在这里没有系数

它也是可以通过一个快速算法

来完成的

那么这个快速算法是这样的

就是说HLFN

等于是

我们来看一下它的快速算法

它的快速算法

可以就是有一个EjπKS

然后是KT

然后下面除一个FS

用一个FFT就可以完成

这个FFT是HW

一个添0的结果

它是一个离散的

这个HW0K等于是HW0

然后是对它的采样

它的采样跟刚才在这边

曾经写过那个采样是类似的

在这个窗宽范围内对它进行采样

直接写出来是KSΔT加上KΔT

然后K的范围0到NW减1

NW减1

然后后面要添0

我们得到一个几乎连续的曲线的话

添0的长度就从NW开始

一直到N减1

在这里N等于是KT乘以NW

就是加密的倍数

加密的倍数

是这样的

如果是这样的话

我们就可以把它

用一次FFT快速的完成这个

我们先看一下

它这个是什么样一个形状

看一下是一个什么样的形状

现在画面上显示的就是这个HWL

中间这个图

我们可以看到这个红色的

就是理想的低通的传递特性曲线

它在这儿是一个

当我们对它进行加窗

进行加窗

反过来就是这个式子

加窗冲激这个

就是这个HWL

这里还有一个L

表示它是低通

低通这个时候它是一个sinc函数

sinc函数在它做一个移动

然后求它曲线下的面积

求出来以后它就会出现这种情况

这就是我们这个课很早期的

第三章末的时候

跟大家介绍了吉布斯现象

这里出现了吉布斯现象

是这个

那么这个吉布斯现象它的最关键

我们关心就是它在这个位置

就是它在这个阶跃的位置

出现了这个变化

出现这个变化

我们画一个图来看一下大概的情况

这是负FC

这是FC

这是H

这是窗的谱密度函数

这个时候主要是要求在这个范围下

它的这个面积

要求它的这个面积

当然这个后面它要减一个G

它会挪动

挪动的情况就是完了以后它会在

我们就画一半它对应的HWL

HWLF

这是它理想的

这个虚线是理想的

那么当这个挪到这儿来的时候

我们用一个尖角

来反应它主瓣的情况

当主瓣挪到这个位置的时候

主瓣挪到这个位置的时候

它这个积分面积是这么宽

所以它最大的这个旁瓣就出去了

所以它这个面积

曲线下的面积达到一个最大

达到一个最大

所以它这儿对应的

这个就是最大的地方

同样的当它挪到这儿的时候

挪到这儿的时候

这个主瓣挪到这儿的时候

它这个所有的最大的正面积

全部都挪出去了

所以它达到一个最小的状态

就是到这个对应下来

它达到一个最小的状态

假设在这儿

这是频率轴

达到最小的状态

这样它这个变化就是这样

就成这样一个变化

因为两边是对称的

所以这个地方是中点

这个地方是1

这个中点对过来是二分之一

它就形成了这样一个

吉布斯现象的波纹激变

是这么形成的

现在我们知道这个宽度

我们称之为滤波的过渡带

就是最大和最小的这个的横向距离

我们叫WT

我们以前分析过这个sinc函数

这个sinc函数它这个主瓣宽

主瓣宽等于是2除以TW

这是它的主瓣的宽度

现在这儿正好就是一个主瓣宽

正好就是主瓣宽

所以这里它的过渡带宽是TW

是2除以TW

是这样

那么就是说

窗宽和这个过渡带宽

形成了一个一一对应的关系

当你窗宽比较宽的时候

这个过渡带宽就比较窄

当窗宽比较窄的时候

这个过渡带宽就比较宽

它们两个正好是一个反向关系

如果我们确定了过渡带的宽度

那么就可以定出窗宽来

就可以定出窗宽来

所以这个窗宽就是这么来确定的

我们刚才提出来窗宽是怎么确定的

就是这么确定的

当然如果你不是矩形窗

如果不是矩形窗

那么它这个波纹就会小

这个主瓣就不会是这样

这个我们是说

这是矩形窗的情况下面

矩形窗的情况下面它是这个样子

就是这个矩形窗的情况下面

就是它的窗波幅AW等于0

你要是说是余弦窗

它就是AW等于0的余弦窗

实际上相当于一个矩形窗

它就是这种情况

当然如果当把它变成余弦窗

就是当AW大于0.75的时候

它就是真正的余弦窗

而这个主瓣会变宽

这个地方就会宽

但是它宽了以后

因为它的旁瓣很窄

我们看不到它一个过渡的现象

我们还是以这个过渡带宽

称之为标称过渡带宽

就是说不管你余弦窗

你的窗波幅AW选多少

它的宽度我们都是以矩形窗

这个宽度

因为它有一个比较突出的

最高点和最低点

它有这些特征的点

那么我们可以取到它这个宽度

表示的很清楚

我们看一下那个余弦窗

和矩形窗它的图像关系

我们都看两个图的中间这幅图

左边是矩形窗

可以看到明显的吉布斯波纹

这有两个高点和低点

我们可以找到它之间的距离

而这个余弦窗因为它的旁瓣比较小

所以我们看不见

这种典型的高点和低点

所以我们还是沿用

这个矩形窗的这个过渡带宽

来作为标称的过渡带宽

来表示这个过渡带

这样它实际上把变化比较大的部分

基本上还是被包括下来了

剩下它还有一点

小一点的尾巴还露在外边

实际上我们在滤波的时候

要尽量避开这个过渡带

就是我们感兴趣的频率

最好让它出现在这些平直的部分

过渡带宽已经是处于

我们不感兴趣的频率了

是这个意思

滤波的时候要设定这个频率的位置

就这么来考虑

当我们把这个窗宽确定了以后

就是刚才我们的算法

滤波的算法

就完全就可以进行下去了

就可以完全进行下去了

我们来看一下它不同的过渡带宽

我们返回来这个传递函数

它的变化情况

我们现在图像上显示的

它是带通滤波器的一个传递函数

就是一个实际的

加窗传递函数的情况

这个我们只看它的右边

因为它的右边

跟一个低通滤波器的

传递函数的右边基本上是一样的

待会儿我们还会解释到

它为什么这一边

它跟低通的是一样的

现在我们就先假定

它跟低通是一样的

我们看看它的变化

这个我们看到

这个设定的过渡带是10赫兹

它的宽度

我们就可以看到

它这个过渡带比较宽

这个是5赫兹

过渡带就变窄了

这个是2赫兹

过渡带就更窄了

其它的没有变

就是这样

这样我们就可以通过

这个过渡带宽度

来控制它这个传递函数的陡峭程度

当然如果这个过渡带太窄了

就必然导致窗宽会变宽

窗宽变宽

我们就是说我们的窗宽变宽

我们的计算量就大了

计算量大的话

那么它就计算时间就会过长

所以最后要综合考虑

你没有必要弄得很窄的时候

你可以把它变得窄一点

变得宽一点

减少它这个计算量

减少窗宽

能够减少计算量

只有在有些特殊的情况下面

我非得很窄

把这个区别开来

那才要加长

你才可以把它设计的

这个过渡带可以把它设计的窄一点

但是同时窗宽就会变宽

数据就会

窗宽每次计算的数据就会加长

而且损失掉的数据

因为这两个数据它是要损失掉的

是这个意思

这个T原来我们在这儿

假设我们这儿有一段这个

采到的一段数据

这是XCTK

我们采到了

开始这是TA

结束是TB

我们对应的这个τ

YCτ

它就只有它的一段

因为下面的开始有一个这个

我们在对它做滤波

是一个相关变换

就是一个小波函数

小波函数这里会过来一个

二分之TW

所以这里开始

这里是τ0

τ开始的地方我们称之为τA

这边同样的到这边跟它对齐

也是小波函数移动到最后的位置

这个位置是τB

那么我们在这里

这个T如果它是在TA到TB之间

那么这个τ就会处于

τA到τB之间

这是T的范围

这是τ的范围

显然这个τ的范围比T的范围

要窄一个窗宽

因为每边要减去半个窗宽

这也是半个窗宽

所以当你的窗宽很宽了

你损失掉的

最后损失掉的数据也就会加宽

所以这个过渡带宽的选择

它是一个综合考虑的结果

是一个综合考虑的结果

是这样的

这是它的宽度

看到左边这是不同的过渡带宽

右侧就是窗的宽度

我们这是用带通滤波器的情况

来观察

但是它的窗的宽度

跟低通滤波器是一样的

所以我们只考察窗的这个宽度

窗的这个宽度

又可以看到了

刚才我们讲的就可以体会到了

下面我们用低通

我们得到这个低通滤波

来做一个例子

因为我们把这几件事确定了

你的窗一旦决定了

窗宽决定了

那么实际上整个我们刚开始

给的那个快速算法就可以进行下去

就可以进行滤波

那么我们来看一个例子

现在画面显示的

是一段采集到的信号

就是上面这个图采集到的信号

就是我们所说的输入信号

就是XCT

是这个情况

HWT

然后经过它

这是输入

这是输出YC

这个是τM了

当然我们刚开始表示也不用这个

表示一下就行了

就是这个

它是一个相关

我们前面已经给出了

这个相关的计算方式

现在假设这个已经得到了

就是图上的

上面这个图

要观察我们怎么去设计

这个冲激响应函数

就是这个滤波用的冲激响应函数

或者它是一个滤波用的小波函数呢

我们就要先把整个它的频域的情况

给大家看一下

看了以后发现

它一共有四个余弦组成

因为这是典型的

余弦在频域的表现形式

这里只画出了它的模

当然这是一个幅值谱

就是在原来加窗频谱函数上面

乘了一个2

就是这个顶点

每一个尖峰的极值点

就可以找到它的频率和它的幅值

这个时候我们只看它的频率

假设我们要设计一个低通滤波器

数字滤波器

把这上面三个

高频的三个全部滤掉

只剩下低频的这一个

那么我们来如何来进行设计

看一下

如何进行设计呢

我们就对着这个频率

我们设计它的这个截止频率FC

也叫截止频率

也叫中心频率

在这儿

中心频率就要保证

我们要滤的这个频率

就是F1这个位置

应该处于你的这个水平段上

注意这儿有一个过渡带

有一个过渡带

另外注意我们的带宽

它这儿稍微有一点过渡的变化

我们最好躲过这段进入这个水平段

另外一个我们要顾及这个过渡带宽

前面我们讲到了

过渡带宽在可能的情况下

你可以尽量的宽一点

这样使你的每一次计算的数据比较少

因为这个后面的东西比较少

所以我们就设计了一个比较宽的

过渡带宽我们设计了20赫兹

这样我们就得到

它的这个加窗的低通滤波

加窗冲激响应函数

通过这个我们就可以去实现

这是低通的相关滤波

所谓的滤波

从表现形式上看就是说

你这儿有一个滤波的小波函数

然后你就从这里

让它逐渐往这边挪动

每一个固定的位置

你就计算一下它们的内积

实际上整个的挪动一下

再计算一下

用三个FFT一次性的完成

把整个结果一次计算出来

就是这个下面

三个FFT的公式

我们刚才在黑板上已经给过了

已经给过了

现在我们看到这个黑色的

下面这个图

这个黑色的曲线

就是我们通过这个低通滤波

滤出来的这个曲线

因为它是一个单频的余弦波

这很清楚

而这个红线就是理论上

就是构成这个原始信号的

理论上的那个频率的余弦信号

所以我们看到这两个信号

已经重叠的非常好

就是我们把它很好的滤出来了

而且它大小也没有差

它的初相位也是一样的

就是我们说的

我们是零延迟的一个滤波

因为我们没有给传递函数的

这个相位

就相当于它的传递函数相位为0

它的延迟就为0

这样我们就看到

这个红线和黑线

它的初相位完全是一样的

我们就实现了这样的一个低通滤波