逆变周期离散信号在线视频

同学们

上一节我们介绍了

周期频谱和它的一些性质

从这节开始

我们要介绍周期频谱

它的一个反向运算

就是周期频谱的逆变

周期频谱

是从实域的离散周期信号

变到了周期频谱

而周期频谱的逆变

我们是要利用周期频谱

再变回原来的实域的

离散周期信号

我们来看

我们这一节要讲的内容

是周期频谱的逆变

是这样

就是如果我们已经得到了

周期频谱

是这个意思

就是说周期频谱已经有了

它是由离散的周期信号

通过DFT过来的

有了这个

我们就可以得到一个

它的一个逆变的结果

是N乘以XN（n）

然后是ψ(n,k)

这是周期均积

那个n,k都属于整数

在这里由于周期频谱

和离散傅里叶函数

都是以N为周期的

周期信号或者周期函数

所以我们省略下标

表示它是一个周期均积

当然前面其实成了一个N

表示整个它的结果

并非周期均积

它是一个周期积

是一个周期积

我们写周期均积

是为了简化书写的方式

因为前面乘了一个N

把这个均值给去掉

是这个意思

有了这个就会有这个

为什么呢

所以我们需要来证明一下

我们需要来证明一下

我们令y（k）等于这个右边

就是你右边

你做一个

实际上做了一个

用周期频谱来做了一个变换

那么这个变换的结果

到底是什么样的

到底是不是呢

我们来看一下

是不是我们所期望的

这个XN(k)

我们需要来证明一下这件事情

我们利用周期频谱的定义

把它代进去

那么这个y(k)

就可以写成

这个周期频谱

它的是xN(m),ψ*N(n,m)

这是n

然后是m

然后这是对m求均积

然后把这个ψ*N(n,k)

就是ψ*N(n,k)

这是对n求均积

这里面看到自变量k留下了

所以它是对n求均极

这个也是对n求均极

所以它最后也是对n求均极

n求周期均极

是这样的

这里是对m这里是对n

我们可以交换一下内积

我们用内积的(规则)来推演

就是这样一些方便

我们可以来交换它的

这个XN(m)与n无关

我们把它保留下来

另外这两个离散傅里叶函数

它是相位函数

我们把它合并起来

那么合并的结果是这样的

两个都用n留下来

这个共轭拿到m上去做负

那么是k-m是这样的

然后这个是

n求均积

这个n我们是

跟n有关的就是这个

离散傅里叶函数

n求均积

然后再对m求均积

是这样

在这里

这是离散傅里叶函数

它的周期均积

离散傅里叶函数的周期均积

它正好应该是一个梳状函数

这个我们在离散傅里叶函数里边

已经证明过了

它应该是梳状函数

所以我们把它写成

梳状函数δN(k-m)

变量是k-m

是这样梳状函数

对m求这个均积

梳状函数是由哪来的呢

是由单位冲激函数

进行周期构造来的

我们在单位冲激函数那一节里边

曾经讲到了

所以我们用单位冲激函数

来构造它

构造完了的结果

是y(k)就会等于是

我们用一个周期构造来构造它

是单位冲激函数

它的自变量是k-m

我们要构造它的话

还要减去一个LN

这个时候

L是无穷

完了以后

再对这个m求内积

新产生出来的L是个整数

刚才在这一节里边

我们用到的这个m

变换出的这个m也是整数

是这样的

那么是这样

这次双重内积

我们再交换一下

它的内外的顺序

在交换内外顺序的同时

我们可以把它展开

就是把这个

这里有一个周期均积

就是外层是一个周期均积

我们在交换的时候把它展开

展开了就可以写成是

另外这个δU

就是δU是单位冲激函数

它是一个偶函数

我们可以提一个负号出去

它变成m-(K-LN)

所以这里相对m求

因为是我们把它展开了

我们在哪里展开了

我们在ks到ke这个位置展开

就是在中心周期展开

这是中心周期的展开以后

然后再对L做无穷内积

是这样

这是单位冲激函数

一个典型的抽样变换

它是一个抽象变换

抽样完了以后

它会得到一个抽样信号Xsd

然后是k-LN

这个我们在讲当单位冲激函数

那一节里边

曾经讲到了

这样一个抽样变换

这个Xsd的定义

因为它是整个这一个

k减LN

整个它的一个变量

它的一个自变量

所以它这个自变量的范围

这个自变量的范围

就是说k减去LN

在ks这个范围之内

它会取这个被抽样信号值

被抽样信号值是

也是XN(k-LN)

在其他地方它会取0

这个函数我们换一个变量

来写的话

换一个变量来写的话

因为这实际上是个整数

不管怎么变

这里边都是个整数

所以我们换一个写法

它应该是i等于是XN(i)

然后i处于是ks到ke

然后是else

应该是可以写成这样一个函数

这个可以直接变过来

这里i是一个整数了

i是一个整数

从这里我们就可以看出来

这个函数是啥

这个抽样函数

实际上它抽出来的

就是有不为0的地方

就是这个

原来那个离散周期信号的

中心周期

正好是中心周期的范围

然后在中心周期之外

它全为0了

这样一个信号

这样一个信号再去做周期构造

我们就知道了

它周期构造的周期

正好是这一段

有值的这个值是一样的

有值的是一样的

那是啥意思呢

就是说这个信号

我们可以看成一个加窗信号

就是Xsd(i)

可以看成我们加了一个

矩形的离散窗

i加了矩形离散窗

是在这个周期信号的

基础上面加的

周期信号里面加的

加的这个离散窗

这个窗是啥定义呢

这个Wrd(i)

它是等于1

在什么地方等于1呢

当i在这个中心周期的地方

它是等于1的

别的地方它是等于0

是这么一个加窗信号

所以这里头的窗宽

我们刚才说了

这里边这个数

正好等于有N个数

这里一共有N个数

这里一共有N个数

就是说我们这个ke-ks+1

这是这里边所含有的量

它是一个周期的量

一个周期的量

它的等于1的宽度

相当于周期量

相当于我们对这个周期信号

取了一个周期

取了一个周期来进行周期构造

就取了一个整周期

正好是一个整周期的取值

所以这是整周期截取

对加窗是一个整周期截取

那么我们在讲周期构造

一节里边曾经讲到

如果一个周期信号

进行整周期截取

就是整周期加窗

就窗的宽度正好是整周期的话

那么再去做等周期构造

构造出来就是原来的周期信号

这里边

因为在这里做构造的时候

这里又做了一个构造

这是一个等周期构造

因为也是N

所以这里形成了一个等周期构造

而这个被构造的函数Xd

可以说它的本底

原来就是一个以N为周期的

周期信号

而取的是一个整周期

所以再进行等周期构造

构造出来就应该是原来的

周期信号

这个是我们在周期构造

那一节里边

把这个已经解释得非常的清楚了

大家只要翻一下书

或者看一看前面的课程

就可以更清楚这个道理

最后我们就可以得到了

这个等周期构造出来的结果

就是说这里最后得到结果

是y(k)就会等于是XN(k)

就是等周期构造

因为有这个前提

整周期截取这个前提

是这样

所以可以得到这个结果

这样就意味着

我们的这个逆变是成立的

我们证明了这个逆变是成立的

确确实实逆变出来

用这样的逆变换出来

这个就是原来的离散周期信号

那么这个变换称之为

离散傅里叶逆变换

所以这个变化称之为

离散傅里叶逆变换

叫IDFT

是这样子的

最后我们就可以写出来了

就是说最后写出来

我们还可以这么写

XN（k）就等于是IDFT

对应谁呢

对这个周期频谱做逆变换

符号这么写

它实际的表达式就是这个

这是它的表达式

由于它是由它做DFT过来的

所以它们两个是可逆的

那么也就是说

XN(k)跟周期频谱XN(n)

就是离散周期信号

跟那个周期频谱

形成了DFT和IDFT的

这么一个可逆变换对

刚才我们已经证明了

刚才我们证明了

这个变化是可逆的

是这个意思

另外我们还可以看到

这个IDFT

实际上它在这个周期均积

周期均积

我们在任何一个周期展开

都可以做它

这个是一个周期函数

我们展开的这个周期

我们在哪儿展开是最合适呢

前面我们曾经把它的第一周期

右向第一周期分离出来

作为奈奎斯特频谱

实际上奈奎斯特频谱

拿来算它就足够了

最后我们可以写成

它的计算式

最后我们可以用奈奎斯特逆变

就来完成它的计算

实际上是它的一个计算

就是说这个XN（k）

可以写成是

我们把这个在奈奎斯特频段

在它右向第一周期展开

因为它是一个周期均积

ψN（n,k）

n的展开范围是0到N-1

这正好是第一个周期

周期均积需要除以一个N

这个N跟前面这个N

最后是消掉的

由于n只在0到N-1方向取值

在0到N-1方向取值

我们这个时候

只给它奈奎斯特频谱就可以了

所以给奈奎斯特频谱就可以了

这个时候它是n的0到N-1

所以这样我们就可以看到

这个奈奎斯特逆变

实际上是这个周期频谱逆变的

一个具体的计算形式

它只需要一个周期

我们就给它奈奎斯特周期

奈奎斯特频段

这个周期给它

正好就可以完成它的这个逆变

是这样的

是这样子的

可以看

同学们

这一节我们主要是介绍了

周期频谱的逆变

周期频谱的逆变

实际上它就是要从

我们已经得到的周期频谱里边

逆变出他原来的离散周期信号

而它实际的计算

是从周期频谱里边

取出的那一段奈奎斯特频谱

就可以完成它的整个逆变过程

好了 这一节的内容就到这