加窗频谱函数在线视频

好 同学们

我们上一堂课呢

给大家介绍了连续傅里叶变换

而且呢

给了大家关于这个窗函数的

频谱密度函数

我们在这个基础上呢

我们这堂课要解决就是说

我们怎么样

利用这种连续傅里叶变换

它是一个无穷的内积

我们怎么样利用它

来处理我们的动态信号

好 那我们开始吧

在前面我们介绍了

这个

连续傅里叶变换

就是CFT的公式

我们把它在这再写一下

CFT的公式呢 它是这样

频谱密度函数它等于一个

连续信号

和连续傅里叶函数的共轭

做一个无穷内积

做一个无穷内积

那么在这里呢

F和T都是实数 是连续的

那么我们怎么样利用它

来完成我们动态信号的分析呢

关键这里有一个无穷内积

那么对于一般的信号来讲

我们很难拿到一个无穷的信号

我们要取到的信号呢

都是我们在一定的时间内

观测

然后通过采样来取得的

所以我们手里呢

一定就只有加窗信号

只有加窗信号

假定我们现在有一个加窗信号

XWT它是窗函数和连续信号的乘积

那么我们就可以求它的

加窗频谱函数

加窗频谱函数呢

它的定义是这样的

加窗频谱函数

那么它是这样XWC（f）等于是Wc0

Wc0呢 我们上一节课介绍过了

它应该是窗

窗的频谱密度函数的

频谱密度函数的主瓣高

也是窗的面积

也是窗的面积

所以呢 它是这个

然后对CFT【XW（t）】是这样的

是这样的形式

那么由于这个加窗信号

它是

两个

两个函数的乘积

或者是一个窗函数

一个信号的乘积

那么我们根据我们前面

前面的这个它的这个方法

我们可以知道在时域

如果是乘积的话

在频域它就会是卷积

在频域就会是卷积

如果它的CFT结果是WC（f）

而它的CFT结果是XC（f）

就是它的频谱密度函数

如果知道的话

那么这个加窗频谱函数

这是加窗频谱函数

那么它呢 可以写成是Wc0

它们二者的卷积应该是WC（g）

然后是XCF减g

然后g是个无穷的这是内积变量

g呢 是一个实数

这是一个连续的

连续的卷积

连续的卷积

它是个无穷的

在这种情况下呢

我们就可以用两个

就是窗的频谱密度函数

和信号的频谱密度函数

的卷积

来得到加窗频谱函数

而加窗频谱函数的定义

是这个

我们把这个窗的

就是窗的频谱密度函数

主瓣高除过去

我们上堂课已经介绍过了

除完了它是一个归一化的函数

那么我们称之为窗谱密度形函数

所以它等于是Swc（g）Xc

f减g 然后g的无穷大

g的无穷 无穷范围

这样就变成加窗频谱函数实际上

是窗谱密度形函数与信号的

频谱密度函数的卷积

这样的卷积的结果

有了这个结果

我们可以来分析一些简单的例子

比如说余弦信号

我们来看一下

我们上堂课已经得到了

余弦信号的频谱密度函数

我们把它写出来

对于余弦信号来讲

它的频谱密度函数是Cc（f）

等于是Ach一个无限冲激

它这个是频率这个要

移动到这个它的余弦频率的地方

然后再加上Ach 它的共轭

这是无限冲激f加

是这样两个函数

就是余弦信号的

频谱密度函数是两个脉冲

我们上堂课都给出来

也看过它的图像

我们把这个函数来替换它

把它来替换这个函数

替换的时候要注意

f要变成f减g

f变成f减g

那么我们替换完了

可以得到

这个重新写一下余弦的

这个Wc（f）就是余弦的频谱函数

余弦的频谱函数是这样子的

这个为什么叫做频谱函数呢

因为这个结果

这个结果我们叫频谱密度

我们上堂课介绍过了

这叫频谱密度

频谱密度呢

它的单位是每伏赫兹

每伏赫兹

而这个呢 是窗

是窗的面积 窗的面积

因为窗的高度

窗的高度是

这是窗面积

窗的高度是没有量纲的

窗的高度是没有量纲的

我们是这样的

它是时间t 这是窗函数对吧

这是窗函数

所以呢 它这个面积

面积面积这个量纲呢

实际上就是秒 实际上都是秒对吧

这个是TW

实际上就是这个

只有它的横坐标有量纲

纵坐标没有量纲

所以它的面积呢

就是它的横坐标的面积

这是秒 是这样的

那么这个秒跟这里成了

这个频谱密度

它的量纲实际上也可以写成伏秒

伏秒 然后这个分母上它的量纲

它的量纲现在是秒

那么这个项一乘了

所以整个它这个加窗频谱函数

它的量纲就是伏 就是伏

和这个的信号量纲是一样的

所以我们就不再称之为频谱密度了

频谱密度就变成了频谱函数

所以它是加窗频谱函数

这里没有密度

又回到这来

这对余弦来讲 它的频谱函数

那么是

用余弦的频谱密度函数

来跟这个窗的谱密度形函数做卷积

那么我们可以写下来

第一项给它做卷积

得到一个卷积公式是g

然后是 这里是Ach

然后是δ无穷

这个f要变成f减g然后减f

然后g是无穷

然后还有第二项

那么就是Ach共轭δ无穷

f变成f减g 这是加f

这是g无穷

是这样

这两个式子

这样我们看一下 还注意一下这个

无限冲激函数它是一个偶函数

所以呢 这一部分

这一部分我们可以把它变成了

g减去f加f那么这一部分

可以变成g减去f减f

因为它是偶函数

偶函数呢 我们可以

所有的都给一个负号

所有的都给一个负号

就会变成这样两个

这样就形成窗谱密度形函数

和无限冲激的一个相关

这次变成了一个相关是吧

因为这是

这是内积变量

内积变量 这有个相关量

这个相关量是f加F

这个相关量是f减F

我们在无限冲激这个前面的

章节里边

关于无限冲激的性质

我们介绍过了

它和一个信号

或者一个函数做相关的话

这个直接就是这个函数

只是把函数的内积变量

变为相关变量就可以了

那么我们这样就得到这个式子

这个AcAg是常数

从内积里边出来 直接出来

那么这里和无限冲激做相关

就是这个原函数

那是f减F 然后这边是类似的

我们写下来是Ach

共轭然后是Swc做f加F

f加F

那么这就是余弦的加窗频谱函数

这个余弦的加窗频谱函数

加窗频谱函数

这是余弦

余弦的加窗频谱函数

这样我们就得到

得到这个结果

那么这个我们可以把它

分成两个函数之和

这个函数称之为CwcR（f）

加上CwcL（f）这个称之为余弦

加窗余弦频谱函数的右函数

这是右函数

我们可以看到这个右函数的表达式

从上面直接写下来

应该是AchSwc（f-F）

然后SwcR

SwcL这是左函数

它就等于Ach共轭

然后Swc这是f加F

就这样

这样两个右函数和左函数

可以看出来 它们是互为

互为共轭 互为共轭镜像关系

意思就是说啥呢

如果求右函数的镜像函数

那么它应该是左函数的共轭

反过来如果求左函数的镜像函数

它应该是右函数的共轭

这点我们怎么来看

比如说我们要求这个

这是右函数 要求它的

求它的那个镜像函数

就是让它自变量变负

自变量变负以后

由于这个 这是窗谱密度形函数

我们知道窗函数呢

是一个实偶函数

所以它的谱密度

谱密度形函数呢

也是一个实偶的

它是个实偶的 那么这个

这个时候如果这边添负以后

这个负号可以拿走

这里变成了加

这里变成加 那就

那就相当于这里没有共轭

这里变成加

就相当于左函数做为一个共轭

就得到了共轭

因为它是实的

所以这个共轭不要

这个共轭去掉就等于它

反过来如果把这个左函数求它的

镜像函数 自变量变负

那么这里变负

这里变负 由于它是个偶函数

可以变成了f减

所以相当于是A*SWZ

这是f减F

小f减大F 那么这个呢

它就会得到这个

得到这个 我们来大致写一下

我们就可以 来 大致写一下

可以看得见

WcR负f就等于是

AchSwc负f 负大F对吧

负大F 由于它是实偶的

这是实偶

所以它等于AchSwc f加F

所以它是等于

就等于是SwcLf求一个共轭

我们也可以看到

那么另外一个式子是一样的

我们这里就不再

不再书写了

那大家可以自己写一下就知道

这个公式它是成立的

它是成立的

这样我们就得到右函数和左函数

右函数和左函数

所以呢

而且它们是镜像共轭关系

镜像共轭关系

在这里我们呢

就要来具体再看一下

我们用

用一个具体的窗函数来做个例子

具体的窗函数再做个例子

比如说我们加余弦窗

余弦窗 我们上堂课

已经把它的谱密度形函数

已经求出来了

对于余弦窗是Scc（f）

它的它的密度形函数呢

是 谱密度形函数

是一个互补辛克函数

然后呢是 窗宽乘以f

是这样的

是窗宽乘以f

是窗宽乘以f

是这个

我们把这个

这是余弦窗

余弦窗的谱密度形函数

余弦窗的谱密度形函数

那么这个可以代进去以后呢

我们可以得到这个

这个就是余弦窗的

余弦窗的频谱函数的右函数

把它代到 代到这个

代到这个公式里边去

代到这个公式里边去

可以得到这个右函数

得到这个右函数

那么这个右函数呢

我们就可以写出来

余弦窗W 窗变成了CccR（f）

那么等于Ach这是半复振幅

余弦的半复振幅

那么用这个函数代替这个函数

对吧

用这个函数代替这个函数

注意这是小写的S

这是小写的S

这是 把它写的小一点

这是互补辛克函数

这是个互补辛克函数

我们在前面已经给过详细的讨论

给过详细的讨论 互补辛克函数

那么它呢 应该写成是Scc

Scc那么代进去呢 这个频率

频率变量要变成f减F

f减F呢 这里要乘一个Tw

所以呢 应该是Twf减去aT

注意这里aT是等于是Tw乘F

就是我们在前面的课程里边

介绍到截断 这是截断周期数

截断周期数

就是说这个窗宽一共对这个

余弦信号就频率为F的

余弦信号截了多少个周期

当然它是一个实数

它是个实数

因为周期可能不是截的整周期

所以它是个实数

是这样的 实数

当然它是一个

这两个都是对于我们的分析来讲

它是实的常数

我们用一个C表示这是

实常数集合 是这样

那么它就得到 得到这样

同时我们回忆一下

我们在第四章里边

曾经我们讲到了加窗无理频谱

它的公式呢

它的右函数是这样的

加窗无理频谱的公式是cpR

等于是Ach

也是互补辛克函数

只不过呢 在这里TwF的地方

它是一个整数n减去aT

减去aT 是这个样子

这里对于加窗无理频谱右函数来讲

它是以n为变量的

以n为变量的 就是这样

所以这个我们可以看看

这两个非常相似

这是余弦信号的

这是加窗频谱函数

这个是加窗无理频谱

都是余弦信号的

加窗无理频谱是离散的

实际上我们就可以看出来

加窗无理频谱

这是我们在第四章里边

现在我们已经是第五章的内容了

那么在第四章里边介绍的

那么它呢 是

也是互补辛克函数

它只是说 看 在原来

在加窗频谱函数里边

这里是一个实数

这是个实数

而这里n是个整数

n是个整数

这样的话相当于加窗无理频谱

是对加窗频谱函数的一个离散采样

这个离散采样 是这样

这样我们就解释了

原来我们的加窗无理频谱

在第四章里边为什么会是这种形式

这是只是它的一个采样而已

只是它的一个采样而已

或者说它的一个离散化