奈奎斯特频谱的快速变换在线视频

我们来看一下

奈奎斯特频谱的快速算法

快速算法是这样的

我们知道奈奎斯特频谱

它是取自于周期频谱

这个N是取它的

右项第一个周期

当然N都是整数

而周期频谱

我们是可以给它换出来

它是由原始的离散的周期信号

就是离散的周期信号

经过离散的傅里叶变换

从离散傅里叶函数

这么变过来的

这里是周期均积

k是整数

是离散的周期均积

这里n变量留下来了

这里的内积变量就是k

我们对于它这个周期均积

我们在中心周期

在这个离散周期

离散的周期信号的中心周期

就把这个周期均积打开

周期均积打开

它应该有个n分之一

这是我们用中心周期打开

这个离散傅里叶函数还照样存在

打开以后k的变化

因为它是中心周期

它是ks变到ke

我们想到如果要完成这个计算

我们可以利用快速傅里叶算法

而快速傅里叶算法

它的这个范围是0到N-1

所以我们这里要做个变量替换

这个变量替换

我们就是用m

等于是k减去ks来换

就是说当k为ks的时候

m为0

这一点我们可以得到

就是说它是ks的时候

它是0

当它是ke的时候

m是ke-ks

因为我们这是中心周期

这个中心周期

它所有的项数加起来是N

因为是一个周期的数

意思就是说啥意思呢

就是这个ke-ks+1=N

这里边包含的数就是这个数

它应该等于N

它是一个周期

这是一个周期

中心周期嘛

一个周期

意思是说ke-ks=N-1

就是ke-ks=N-1

这是这个

所以当它等于ke的时候

这个m就会等于是N-1

这样我们来这个变量替换

我们就可以进行了

这个XNC

k用这个变量替换

k就等于m+ks,ΨN*(n,m)

这里也是k要换成m+ks

这个变量换成M它的范围

就换过来了

这个就跟FFT的范围

是一样的了

我们把这个Xq(n)再写一下

再写一下

它在这里我们把它写一下

这个可以分解一个出来

Ψ*N(n,ks)/n

然后这边是XNC(m+ks)

就是m+ks

然后是Ψ*N(n,k)

然后m

可以已经变过了

然后m的范围是0到N-1

这里在做变量替换的时候

就是这个m它是整数的

m是整数的

是这样

这样这一部分

正好跟FFT的表达式

就是我们在前面的章节里边

所讲到的傅里叶谱

就是FFT的最原始公式是一样的

我们可以把它

转写成一个简约的表述

Ψ*N(n,ks)/N

这边是FFT,对象是它

是中心周期+ks

是这样

这里它的范围是

n是处于是0到N-1

当然m也是

而m和n它们都是整数

它们的范围都在这个范围之内

我们看到

当m在0到N-1之间变化的时候

还是回到这

m在0到N-1之间变化的时候

k是从ks变到ke的

我们把这个m可以换回

换回这个k

是不是我们就可以

再写成最后是Ψ*N(n,ks)/N*FFT[XNC(k)]

这是中心周期XNC

这是用了k

最后这个n的范围

这是N的范围是0到N-1

没变

而K的范围现在变了

它是从ks到ke

这样就是说

我们如果利用中心周期

来求奈奎斯特频谱的话

我们要注意

因为它的k的取值方式在这里

所以这里会出来一个相位

出来一个相位函数

就是这意思

那这样我们就可以得到一个

利用FFT来快速计算出

奈奎斯特频谱

有了奈奎斯特频谱

我们就可以得到

奈奎斯特频段频谱

如果你是满足它的条件的话

比如说实函数的条件

还有满足采样定理条件

就可以得到奈奎斯特频段频谱

从奈奎斯特频段频谱里边

就可以得到无理频谱等等

还可以得到

通过无理频谱

还可以得到它的原始的

离散周期信号

还可以得到原始的

连续周期信号

是这样

但是反过来我们还可以看到

反过来可以看到

如果我们手里已经得到了

奈奎斯特频谱的话

我们还可以通过快速算法

反算出这个中心

离散的中心周期