加窗余弦频谱函数在线视频

我们首先来看一下这个

余弦类加窗频谱函数

它最后结果不是等于这个吗

等于这个

这是余弦的加窗频谱函数

我们来看一下它的图像

好 现在我们在画面上

看到的这就是余弦的

加窗频谱函数的图像

它是有一个

这是由右函数为主的

这是这是一个它的一个峰值

实际上我们可以看到

它是由这个

右边是由这个右函数

这是余弦窗

这是余弦窗的频谱密度形函数

余弦窗的频谱密度形函数

和它的半幅值相乘

那么我们在这个图像

就看的是这一部分

这一部分

就可以看出来

由于它这个右函数

我们看前面的这已经倒出来了

右函数在这里

它这里呢

是一个互补辛克函数

有一个偏移量

偏移量

偏移到截断周期数这

偏移到截断周期数这

实际上就是说当它偏移到f

偏到哪个位置呢

就偏移到F等于小F

等于大F的位置

大F的位置

因为这个aT是等于它的

当大F

小F等于大F的时候

这个里边的自变量部分

全部为零 全部为零

它就正好是它的峰值位置

正好它的峰值位置

所以我们刚才在图上看见

大F的位置就是它的峰值位置

另外呢 由于它跟那个复振幅

这个半复振幅有一相乘

这个半复振幅等于是A/2ejφ

由于在主瓣的范围

这个函数

互补辛克函数总是为正的

总是为正的

所以它的模应该是二分之A

和它相乘

这是它的模

而它的相位就是φ

就是φ

就是余弦信号的初相位是吧

就是它的一个频谱函数的相位

就是余弦信号的初相位

而它的这个顶点

因为互补辛克函数函数顶点为1

所以乘二分一A以后

依然为二分之A

这样我们在余弦信号的右函数

余弦信号的频谱函数的右函数上

我们就可以直接观察到

余弦信号的频率 幅值和相位

我们来看一下

大家看

如果这是这是余弦信号的频谱函数

那么这个峰值所处的位置

就是它的频率 大F

那么这个峰值的高度

就是它幅值的一半

就是半幅值

那么直接对应下面这个相位

它是一个水平值

因为在主瓣范围它这个

它的那个相位它的相位

都是余弦信号的初相位

所以这是一个

是有一个水平段存在

可以从我们从

余弦信号的加窗频谱函数的

右函数上可以直接地观察到

余弦信号的三个参数

幅值 频率和相位就是这样

那么我们来看它原来和

无理频谱的关系

这是无理频谱的右函数

我们把这两个函数画在一起

因为它们这是非常相近的

现在我们画面上看到的

就是余弦信号的加的余弦窗

它的频谱函数

就是这个连续曲线

还有它的无理频谱

就是这个棒状谱线

就这样 由于这个无理频谱

它是这个频谱函数的一个离散化

一个离散化 取整数值的位置

那么所以看呢

它在这个主瓣上呢

它只取了 只有四条谱线

主瓣上只有四条谱线

这样呢

我们就可以看到

它们之间的关系

由于我们原来在

无理频谱里面讲到 讲到过

你需要从频侧谱线才能计算出

余弦信号的三个参数

幅值 频率 相位

而我们如果是从

加窗频谱函数里边

就是这个连续曲线上

是可以直接观察到这三个参数的

这是它们二者之间的不同

而相同的

它们都是互补辛克函数

和余弦信号的半复振幅之积

只不过一个是连续的

另外一个呢 是离散的 是离散的

那么就是这个结果

我们再回到这个余弦信号的

加窗频谱函数这个图上

我们看一下

余弦信号加窗频谱函数

它是由左函数和右函数来构成的

那么它的当这个频率

余弦信号的频率下降的时候

这两个函数会往一起靠

会往一起靠

当它们靠到一起的

时候就会互相的影响

那么它一定有一个极限

就是不能再往一起靠了

那么这个呢

就由这个图

我们就可以看得很清楚

下一个图

这个图上可以看出来了

这是它们靠到的极限位置

就是极限位置

那么意思就是说

这我们能分析的余弦信号的

最低频率是有限制的

下面我们来看一下

用加窗频谱函数

来分析余弦信号它低频限制

从这个图上我们可以看到

两个左函数

和右函数实际上一起靠的极限

大概是这种情况

那么这就是这是频率轴

那么这是最低频的位置

Fmin

那么怎么决定呢

我们知道

如果我们以余弦窗为例

这是余弦窗的为例

余弦窗的谱密度形函数

它的这个宽度呢

应该是TW分之4

我们在上一堂课里边

就给大家提出来这个宽度

这个宽度是TW分之4

就是窗宽倒数的四倍

窗宽倒数的四倍

那么当它们靠在一起的时候

如果再往一起靠

那么这边的左函数这边

就会影响到右函数的监控位置

就影响到监控位置

那么所以说这是它们最靠的极限

就是左函数

左函数的右零点应该正好处于

右函数的监控点底下

这样我们看出来它最好

正好是四分之一

最好是F等于四分之一

所以我们可以得到F最小

应该等于4

四分之一的它的宽度

那么正好就是TW分之一

所以我们能够分析的

最小频率是窗宽分之一

当然如果你要想频率

分析的频率更低一些

更低一些

那么它就

你就得加大这个窗宽

加大这个窗宽

因为窗宽是你自己定的

你可以加大窗宽

就可以得到更低的频率

这是它的限制

而这个限制我们也称之为截断定理

就是说我要从原始信号里面

截多长的信号下来做分析呢

就由低频限制所决定

我要分析的最低频来决定

这是截断定理

我们还记得我们的采样定理

实际上是限制高频

而我们的截断定理是限制低频

所以我们要注意我们的分析

低频是有限制的

不可能无限制地往零这边靠

因为这边还有一个左函数

它会影响你右函数这边的结果

是这样

这是就是低频的限制

另外我们再来看一下刚才这个图

现在我们看到的是余弦信号的

加窗频谱函数

如果这两个左函数

和右函数硬往一起靠

靠到正中的位置

当余弦信号的频率等于0

相位 初相位也等于零的情况下面

那么这个时候这个余弦信号

余弦信号就会变成了Ctt

就会变成一个直流

就会直流

所以这是A 这是直流量就是A

这是余弦就变成这个信号

这时间T

就会变成这个信号

那么它分析出来呢

就是这两个靠在一起了

因为这里是二分之A

这里是二分之A

这个时候由于频率为0

左函数和右函数会靠在一起

叠在一起

那么就会变成频率A的地方

频率A的地方

但是呢 它的宽度呢

是两个宽 两个宽度

这是频率为A的地方

我们在这个图上再叠加一个图

假设我们它有均值

它有均值

那么这叠在一起以后

它们跨4 这边跨2

就会是这样

它就会形成这样 那么这是A

所以这就是均值问题

我们来讨论均值问题

当出现这个余弦信号

变成了它的时候 我们

它就会在这两个就会叠在一起

而这里要高度

这样呢 它会

如果你还存在着其他的

余弦信号

比如低频的

它就会严重的影响这个

它的会叠加在这上面

那么这个就不是二分之A了

那么就是说这个最低频率

在有均值存在的情况下面

是无法进行分析的

这边会影响它 影响它

对吧 这个均值如果不是A

它可能也是别的其他的0

比如说是一个A弯弯的话

那么它也会影响它

不管它这个值高还是低

都会影响到这个值

因为它的这个跨度这里是

跟这个跨度是一样的

这个跨度是一样的

所以这里呢

只有你这里还会跨过来

这里就会影响到它

影响到它

那么为了解决这个问题

我们在处理一个信号的时候

所以一定要把均值给去掉

我们才能保证这个最小频率

能够分析到这儿

所以一定要去均值

去均值以后

说明在零频率这个地方

就没有这一个图

那么我们这个最低频率

才能够被保证

才能保证

否则你即使加宽了这个

你即使你的窗宽定了以后

这个最低频率

还是会被均值所影响

你不能读到正确的值

所以一定要注意要去均值

在分析的时候

在前面我们介绍的

都是分析的理论上一个

余弦信号它的结果

如果你加余弦窗的话

它的这个右函数

加窗频谱函数是一个互补辛克函数

我们可以直接从它的

加窗频谱函数上面

直接观察到余弦信号的

幅值频率和相位和初相位

对 这样

但是对于一般的信号来讲

我们通常得到信号来讲

我们不知道

它是一个什么样的信号

我们怎么来进行处理呢

我怎么来利用这个

加窗频谱函数

它有这么好的可观测性

怎么来得到实际信号的

加窗频谱函数呢

这是我们要来处理的

下一个问题

下面我们来看对于实际的信号

我们怎么来计算它的

加窗频谱函数

而且要快速地计算

那么首先我们从加窗频谱函数

开始定义开始

来做

这个加窗频谱函数

它的初始定义是Wc0

这是窗面积

然后呢 是CFT 加窗信号

加窗信号

把它的原始公式写出来

应该是Wc0 然后是

这个是这个是加窗信号

连续傅里叶函数F T

然后是T无穷

是这样 是这样 加窗信号

那么我们如何来完成这个计算

而且要用快速的办法来计算它呢

我们来先看一下

我们要先看一下这个

加窗信号是怎么构成的

我们来看一下图

那么我们现在看这个图呢

上面这个曲线就是一般的信号

一般的信号

那么我们不知道它的成分含量

那么我们从上面截一断下来的

加个窗 就得到加窗信号

就是下面这一这一段

那么我们要对这个加窗信号

在整个范围里边进行

进行这个做这个内积的话

从理论上讲它是要做无穷内积

但是由于加窗信号

它整个的除了窗宽范围有之外

别的范围都为零

那么我们可以积到这个位置

就是从左边

左边窗宽的左边界一直积到右边这个

T减去二分之窗宽的地方

那么整个的积分范围呢 是大T

我们这么来记

我们把它写下来

就应该是这样

XWT普塞*FT

然后T呢 是从负的Tw除2

一直到T1减去Tw除2

这个范围来做积分 来做积分

这个积分积完了

跟上面的结果是一样的

因为在这个范围之外

全都为零 全都为零

所以是这样

那么我们这个积分

要想进行下去呢

我们先做一个变量替换

变量替换

那么就是说我们可以令

我们可以令τ

等于是T加上Tw除2

那么所以呢 我们就得到了

所以可以得到dτ

就会等于是dt

这儿没有问题

当T处于负二分之W

到T减二分之Tw

这个位置的话

会导致τ的范围

τ的范围会处于0到T的范围

这是令的这个

我们就得到这个

我们这样来做变量替换的话

那么上面这个式子

就会变成下面这种情况

那么就是说Xwcf就会等于

Wc0然后是Xw

T呢 用τ减二分W代替

τ减二分之Tw

然后呢 普塞C的里面的T呢

也需要做相同的替换

相同的替换

τ减去TW除二

是这样

那么整个这个范围

因为这里还有一个微分

这个微分是不变的

所以这个微分不用管

然后这个T呢

因为由τ来替换了

T的范围就由τ的范围替换

所以这个τ是0到大T的位置

是这样 最后得到这个式子

从这个式子上看

从这个式子上看

那么这个函数是可以出来的

因为这是一个指数函数

指数函数这一部分可以直接提出来

它与这个τ无关

就是F普塞C*F负Tw2可以出来的

我们在这边再写一下

那么Xwc（f）要等于

那么这个函数会出去一部分

出去的部分是普塞Cf

然后是Tw除二

然后下面呢 是这个Wc这是窗的面积

那么里面剩下的还是这个

Xw这个是τ减去Tw除二

然后是普塞*fτ

然后τ呢 是0到T 0到T

所以这里τ是

清楚了这个τ是个实数

这个τ是个实数

那么就这样

这个式子