余弦信号的矩形窗的无理频谱右函数在线视频

好 同学们

我们上一节介绍到矩形窗无理频谱

我们得到了它的无理频谱的右函数

我们今天来继续分析

看看我们能从它的右函数里

得到一些什么样的信息

好 让我们开始吧

今天我们开始讨论

余弦信号的矩形窗

无理频谱右函数

无理频谱的右函数

我们上一节已经得到了它的右函数

我们把它写出来

它的右函数叫做CRPRN

它是等于ACH

然后是一个sinc函数

是N-AT

就是余弦信号的半复振幅

与一个sinc函数

偏移的sinc函数相乘

是一个离散的

在这里N是属于整数的范围

然后AT是截断周期率

它可以分解成MT加上DT

可以分解成这样

然后这是它的实数范围

当然它是一个正实数

所以MT就会成了一个正整数

当然它也可以为0

这个DT是0到1的一个半开区间

它是实数的

是这样的一个结果

我们在这个结果的基础上

继续来分析

我们首先来看一下它的图像

现在我们画面上看到的

就是余弦信号的

矩形窗无理频谱的右函数

它的上面是实部

下面是虚部

我们可以看到

这个红色的曲线就是sinc函数

它是一个向右偏移到AT的这个位置

就是它的顶点的位置就是AT

AT是截断周期率

它表示在这个前面的计算无理频谱

是推导加窗无理频谱的时候

用的重构周期信号

它的这个截断的周期数

截断余弦信号的周期数

我们可以看到

在AT左边的这条谱线

黑色的就是无理频谱的谱线

左边这条谱线和右边也有一条谱线

这是两条最高的谱线

在它们的中间是AT所在的位置

在这个AT两边的各一根谱线

我们称之为频侧谱线

频侧谱线就是MT+1

N等于这个的时候的这个曲线

称之为频侧曲线

因为AT实际上反映的是频率

因为AT等于是余弦信号的频率

与窗宽的乘积

窗宽就是我们截断的宽度

如果窗宽是一个常数的话

我们截断是常数的话

那么这个AT就反映了它这个频率

所以AT是频率

所以我们称之为频侧频率

这个sinc函数的顶点在实部

是半幅值和余弦信号初相位的

余弦值相乘

它的虚部是半幅值

与余弦信号初相位的正弦值相乘

反映的是它的半复振幅

分成实部和虚部以后

变成余弦值和正弦值

是这样子的

下面为了更清楚的看到这个

我们需要画出它的模和相位

在画出模和相位之前

我们需要把它的右函数

需要把它推导成

它的模和相位的表达式

我们来看一下

我们来写一下CRPRN

它是等于ACH

我们过来的时候

由于sinc函数是一个偶函数

偶函数我们可以把它里面的自变量

翻一个个

可以写成sincAT减N

下面我们把这个sinc函数给它展开

ACH

它展开是sinπAT减N

下面是πAT减N

这是sin函数

我们用相位函数来换正弦函数

可以写成H

相位函数写成普赛AT减N

换sinc是减去一个它的共轭

AT减N

然后在分母上要添上J2π

还包括原来的分母AT减N

可以换成这样的形式

刚才我们已经写出了

AT是截断周期率

它可以分解成一个整数和一个小数

那么我们把这个整数和小数换进去

我们看看ACH等于普赛

这里是MT+DT-N

再减去普赛*MT加DT减N

那么分母把它写下来

j2πAT减N

是这样的形式

这个相位函数它有一个常数Ω

因为这里是sinπ和相位

所以它的Ω是等于π的

它的相位常数的常数是这样

这个相位常数

我们可以把它的整数部分分解出来

可以写成是普赛MT减N

然后普赛dt

再减去普赛*MT减N

这是它的整数部分

然后把小数部分单独留下来

这个写成j2πAT减N

相位函数我们知道

当相位函数的常数是π的时候

Ω等于π的时候

它是到整半周期的相位函数

它是一个偶函数

它是一个偶函数

所以这两个是相等的

共轭就无关了

因为共轭可以拿到分母

不是分母

共轭可以拿到自变量上去做负

因为它是偶函数

所以这个负就加不上去

所以它是可以提出来的

这个偶函数

我们把它提出来

我们再写到那边

可以看到它会变化成这样

CRPRN

就会等于是ACH普赛

这边是MT减N

分母写成是

把π写过来

πAT减N

这边还剩下普赛DT减去普赛共轭dt

然后除以j2

正好根据这个相位函数

和三角函数的关系

这是一个sin函数

是一个正弦函数

我们把正弦函数可以把它还回去

可以把这里都展开

我们来看一下

展开以后会写成这个是半复振幅

应该是二分之A

ejφ

这个相位函数是ejπmt

因为它的常数Ω等于π

我们这儿已经给出来了

所以我们减去N

这是这个相位函数

它的分母我们还给它留着

分母是πAT减N

那么这里是变成了一个sin函数

sinπDT

因为这个相位函数它的常数为π

我们变成sin函数的时候

这个π出来

我们看到这是sin下面有一个π

我们分子分母

跟它共同乘以一个DT

乘以一个DT

这个π跟这个DT

和这个sin就构成了一个sinc函数

所以我们可以把它最后写成是

二分之A

二分之A

然后是DTsincDT

就是这个sinc还留下来了

在这儿

下面这个π没有了

成了AT减去N

AT减N是这样

最后这是相位角

是φ加上πMT减N

最后是这样的结果

因为我们是否把它分解成了

模相式

我们要看这个模这部分是不是为正

这是相位的形式已经出来了

这是正的正的

那就看sinc

sincDT它是小于1的

所以这个sinc函数它是取正的

下面是分母

可以看得出来

当N是小于AT的时候

它模是正的

所以它的模相式有一个条件

是N小于AT

那么当N大于AT的时候怎么办呢

我们把这个翻一个个

就会出来一个负号

所以它会出来一个A2DTsinc

sinc函数DT

然后是N减去AT

它会出来一个负号

这个负号我们用ejπ来表示

用ejπ来表示负号

这个时候π就会上到这上面去

是ejφ加上π

这是MT加1再减N

就这样

那么这个是指当N大于AT的时候

大于AT的时候

除了N小于AT

N大于AT

另外还有一种情况

就是N等于AT的时候

N等于AT的时候

我们直接从它最原始式开始看

那么就看到这儿

N要等于AT呢

实际上还意味着

AT本身就是一个整数

所以它的值是等于MT的

这样的话N才能等于这个AT

就是说这个时候

截到的周期数是一个整数

称之为整周期截取

就是这个DT要为零了

DT为零了

就是这里面小数

但是我们从它最原始式子来看

所以当这个AT等于整数的时候

我们在sinc函数那一节里面

曾经给大家讨论过

当sinc函数的自变量为整数的时候

它会蜕变成一个单位冲激函数

这里我们就可以直接写出它的结果

它是单位冲激函数

所以这个时候是A二分之

是一个单位冲激函数

△u AT就会变成MT

AT就会变成MT

而它还是一个偶函数

我们给它翻译一下

就是N减去MT

得一个单位冲激函数

那么它的相位等于ejφ

然后是它的相位

这是一个半幅振幅

与一个单位冲激函数相乘

那么这个时候

AT等于整周期的时候是这种情况

N才有可能去跟它相等

那么这个时候我们得到三个式子

我们得到它的模和相位

我们可以看到当这个模它总是正的

那就说明这个相位就是这样

包括这个

这里面没有负的

这也没有负的

这个就没有负的

这是它的相位

所以我们来看一下它的图像

下面这个画面上看到的图像

就是余弦信号

余弦窗无理频谱右函数的模和相位图

这个时候我们来看一下

这个模它的频侧谱线

两根频侧谱线是正的

那么频侧谱线的取值

我们来看一下

频侧谱线的取值我们来看一下

一个是CRP

MT这一根频侧谱线

那么它的取值我们来看

因为这个时候相当于N等于MT

N等于MT

我们从图像上看

当N等于MT的时候

它是处于AT的左边

所以它是小于AT的

我们来看刚才得到的公式

当N小于AT的时候

应该取上面这个式子

这个时候由于N还等于MT

所以这个相位

和π有关的相位就为零了

另外一个

AT里面有MT和DT

就是MT加DT

这等于MT的话只剩下了DT

DT和DT就消掉了

所以最后会剩下这一部分

还有这一部分

我们把它写下来

它就应该等于是A二分之一

A二分之一

DT没有了

就是sincDT

然后是ejφ

然后我们再看另外一根谱线MT+1

我们再来看一下这个图像

画面上我们看到MT+1

它正好比AT要大

所以这个属于N是大于AT的

我们使用刚才使用的第二个公式

我们来看这里

现在N等于MT+1

MT+1它是大于AT的

我们走这个公式

这个时候N等于MT+1

正好还是被消掉了

这一项没有了

那么这里等于MT

这里有一个MT

还会剩下一个1减去AT

这里有一个MT+1

这里有一个MT+DT

所以MT和MT抵消了

剩下了1+DT

这个剩下了

这个剩下了

这个剩下了

这个变成了1减去DT

我们把它写下来

它就等于是二分之一A

然后是DT

1减DT

然后有一个sincDTejφ

所以我们这里看到

它们两个的相位是相同的

就是这个频侧谱线的相位是相同的

就是余弦信号的初相位

这个时候我们来看一下图像

频侧谱线这两个相位

这两个初相位它们两个是相等的

正好等于原始信号

原始余弦信号的初相位φ

这里是相同的

就是在AT两边的两条各自的

一条谱线

一共是两条谱线

它的相位是相等的

而其它的相位相互之间都会差一个π

我们从刚才推出的公式就可以看到

只要M增加一个

它的相位就会增加一个π

减少一个也会减少一个π

所以很明显只有这里

在频侧谱线

它两个相位是相同的

紧邻的两个相位是相同的

从这样我们就可以通过

紧邻的两个相同相位

找到这个频侧谱线

假设我们如果计算出来

这些辅助线都没有的话

我们从两个相同相位上

就可以找到这两根频侧谱线

找到这两根频侧谱线

左边这根就是它的

位置就是MT

左边这根就是MT

MT我们就可以读出来

它具体是处于哪个位置

MT就可以找到了

另外我们还可以看一下

我们来看一下频侧谱线的比值

频侧谱线的比值我们来看一下

CRPRNMT+1比上CRPRMT

其实就是这个式子比这个式子

这个式子比这个式子

这些相同的都没有了

只剩下这个不相同的

所以等于是DT比上1减去DT

所以这两根频侧谱线

模的这两根频侧谱线

可以看到这个频侧谱线

它是以AT为中心

因为这是AT为中心的一个比例分配

所以形成一个杠杆比

从图上也可以看到这个频侧谱线

这两个高的

这个地方就短

就是矮的这个地方就长

结果它们的乘积应该是相等的

这个交叉的乘积应该是相等的

所以它形成一个杠杆比

在这里我们就知道了

如果我们可以通过

两个相同的相位

找到这两根频侧谱线

频侧谱线找到了以后

如果这个都是已知的

那么这个就可以求出

DT就可以得到了

DT就可以得到了

同时我们找到了频侧谱线

MT就会知道

当MT和DT都知道了

这个AT就知道了

AT是等于MT加上DT的

可以找到AT

那么AT找到了

因为AT等于是F窗宽的

窗宽是我们自己加上去的

我们知道了

所以AT知道了

这个频率也就知道了

是这样的

那么从上面的式子

我们还可以看出来

当DT知道

这个φ也是知道的

我们找到这个频侧谱线

这个初相位φ是知道的

φ也知道了

那么这个时候从这个式子

因为这个知道

这个也知道了

那么最后A也会知道

所以从这里我们就可以知道了

这些相位

初相位可以知道

A是可以知道的

还有频率可以知道的

那么余弦信号的三个参数

我们就从它的这个

这个两条频侧谱线里边

都可以得到了

那么我们再从这个图像上来看

实际上意思就是说对于无理频谱

它上面的一个频谱结构

这个频谱结构

有比较典型的

它就是有两个相同的相位

对应的这个

上面有两个比较高的谱线相邻的

然后其它是比较矮的谱线

这样一个结构反映了就是说

余弦信号在加矩形窗的时候

它在无理频谱上面的一个反映

它反映实际上是以这个

sinc函数的采样值

形成的一个频谱结构

而对于每一条谱线

实际上我们的解释

以前我们也解释过

无理频谱每一条谱线

是它的无理频谱周期信号的

余弦成分

所以每一根谱线是周期信号的

它的余弦成分

它的半复振幅是这样的

而这个频谱结构表示的是原始信号

就是你在构成这个周期信号

去截下来一段信号

这个原始信号的信息

原始信号的信息

就是这个余弦信号它的幅值

初相位

还有频率

是截下来的

所以这一点

我们一定要注意

它的每一根谱线的解释

是无理频谱

它相对的周期信号的半复振幅

而通过这两个频侧谱线

两条频侧谱线

还有两个相同相位的这个频谱结构

我们从里面可以找到

原始信号的参数

就是原始信号的复振幅

是可以从这里面找到的