独立频谱成分在线视频

奈奎斯特频段频谱

奈奎斯特频段

其实是0到奈奎斯特频率

这个范围

就是奈奎斯特频段频谱

那么这个频谱

我们把它称之为X

用两个q下标来表示

它可以从奈奎斯特频率里边取

也可以从

因为奈奎斯特频谱

是从周期频谱里边取出来的

取的范围是

n处于是0到Np的范围

奈奎斯特频段频谱

和奈奎斯特频谱

和这个周期频谱一样的

它们都是复函数

所以根据复函数的关系

我们可以把它写成是实部

Rqq(n)再加上虚部Iqq(n)

还可以写成是模Aqq(n)

Aqq(n)

再加上ejΦqq(n)

是这样的

这是奈奎斯特频段频谱

如果我们有了

奈奎斯特频段频谱

我们其实就可以很容易得到

奈奎斯特频谱

所以我们从Xqq(n)

这是奈奎斯特频段频谱

我们可以抽取奈奎斯特频谱

我们看这个抽法

就是Xq(n)

它可以是Xqq(m)δu(m-n)

这是这个为了抽取

我们要换成m

这边也是m-n

这个是m是从0到Np

就是把它这一段拿来做它了

另外还要加上

它另外一段是Xqq(n-m)

要抽取它的话是n-m

另外要抽取共轭δu(m-n)

然后是m减n

m这是从这个抽取

因为是配比

应该抽到Np+1

一直到N-1

这是奈奎斯特频段

是这样

这个式子就是说

如果我们有了奈奎斯特频段频谱

自然就有了奈奎斯特频谱

当然这里需要有一个条件

就是说奈奎斯特频谱

得到的最原始的

这个离散周期信号

它应该是一个实函数

是这个条件

我们来证明一下这件事情

它是成立的

我们令Yn等于是右边

我们可以写出右边来

Yn等于右边

它就可以写成了

Xqq(m)δu(m-n)

m是0到Np

这是0到Np的范围

还有第二部分把它接着写下来是

Xqq共轭

然后是n减去m

δu(M-N)

然后m的范围是Np加1

一直到n减1

这个范围它是续上的

实际上整个范围是从0到N-1

根据这个

奈奎斯特频段频谱的定义的时候

在这个范围

在0到Np的这个范围

在0到Np的这个范围

还有如果我们把它

把这个代进来

把这个代进来

它也是在这个范围里边变化的

也是在这个范围里边变化的

它是跟那个周期频谱

它是相等的

我们可以直接把它换成周期频谱

我们把它再写一下n

它换成周期频谱

应该是XN(m)δu(m-n)

m-n

然后是m是0到Np

是这个范围

这里我们给的这个m是整数

所以它这个是和适

然后还得加上XN*(N-m)

δu(m-n)

m这个是Np加1

一直到N减1

对于周期频谱来讲

因为它周期为N

所以这个N可以去掉

去掉以后

它的这个

另外由于我们这个XN(k)

我们使用这个原始的

离散周期信号

它是个实函数

它是实的

所以它是实的的话

这个得到的周期频谱

应该是共轭对称的

这个我们在前面的章节里边

已经介绍了它的这个特性

共轭对称

就是这个N拿掉以后

它这个负号和这个共轭

可以相互抵消掉

可以相互抵消掉

所以我们可以再继续写一步

上面这个是

第一个

它的第一项是不变的

我们把它抄下来

δu(m-n)

这个是m从0到Np

然后加上这个

这个就变成了XN

这个周期没了

负号和共轭也没了

所以就写成了δu(m-n)

m是Np加1一直到N-1

由于在它们这个内积里边的

内积函数是一样的

然后这个范围

正好是一个接续的过程

这是一个和式

两个和式之和

可以把它写成一个离散的内积

就可以写成了XN(m)δu(m-n)

然后这个m就应该是从0到N-1

这相当是从周期频谱里边

抽取0到N-1这一部分

0到N-1

正好是它的右项第一个周期

这给我们的奈奎斯特频谱

给出的定义是一样的

所以抽出来这一部分

它是右项第一周期

是这个范围

它正好就是奈奎斯特频谱

当然由于是抽取信号

我们要限制这个N的范围

它是0到N-1

在这一段是跟奈奎斯特频谱

是一样的

这样我们就证明了

我们刚开始给的这个公式

就是说从奈奎斯特频段频谱里边

抽取这个

奈奎斯特频谱

通过这个方法是正确的

所以这个公式成立

由于这个公式成立的话

所以我们可以直接

通过这个公式直接写出这个

奈奎斯特频段频谱

和奈奎斯特频谱的关系

这里我们可以直接写出Xq(n)

这是奈奎斯特频谱

它跟奈奎斯特频谱

第一段n

在n到0到Np这个范围

它是跟奈奎斯特频段频谱

是一样的,相等的

那是从那边的最左边的

第一个公式得到的

从第二个公式

我们还可以得到另外一段

n-m

就是n处于是Np+1

一直到N-1

是这个范围

所有的N都是整数

这是从最左边的公式

第二个公式里边

最左边的第二个公式里面

得到这个结果

这样我们可以直接

用奈奎斯特频段频谱来得到

奈奎斯特频谱

所以说在这个

我们在这个条件

就是我们最早

这个离散周期信号

它这个实函数的情况下面

我们可以是这么做的

所以这个条件

还是需要代到这儿的

意思就是说啥

当原始

这个离散周期信号是实的时候

它的独立的信息

是奈奎斯特频段频谱

因为它可以拼成奈奎斯特频谱

有了奈奎斯特频谱

它是周期频谱的一个周期

从而你还可以拼出

整个周期频谱

所以这是一个独立的信息

但是要强调一下

这个条件是必须需要满足的

必须要满足的

当这个条件不满足的时候

就是说现在这个条件满足的时候

这个奈奎斯特频谱

它是独立

它是独立的成分

但是当这个条件不满足的时候

它这个Xq(n)

奈奎斯特频谱

它会变成独立的

在什么情况下呢

就是说XN(k)

它不属于一个实数的时候

就是它是一个复函数的时候

它是独立的

它是独立的

它是周期频谱的一个周期

它是周期频谱的一个周期

它是独立的

当这个条件满足的时候

就是我们给的这个离散周期信号

它是实的时候

奈奎斯特频段频谱它是独立的

下面我们再来看

刚才我们从

奈奎斯特频段频谱里边

抽取得到了这个奈奎斯特频谱

奈奎斯特频段频谱

还可以直接抽取得到无理频谱

就是从奈奎斯特频段频谱

这一段可以抽取无理频谱

可以抽取无理频谱

我们来看一下

它的抽取过程是这样的

首先我们要得到它的右边的

这是无理频谱右抽样

我们现在可以

从奈奎斯特频段频谱里边来抽

这是m

然后抽样是用δu(m-n)

它的抽样

这个抽跟刚才是类似的

从0到Np

这个时候来抽样

另外可以抽到

左抽样无理频谱

是从奈奎斯特频段频谱里边

它是负的共轭

然后再抽m-n

这个抽样是从-Np抽到-1

要想得到

这个结果要想正确

我们必须还有两个条件

当然这里M是整数

另外两个附加条件

一个就是说还是这样

这个XN(k)它是实的

另外一个必须满足采样定理

就是Nh应该小于Nq

这是两个条件

是这样

这两个条件成立

我们就说明它会成立

我们来证一下

我们首先令Y(n)等于第一式

右边

等于第一式的右边

这个Y(n)我们就可以写出来

它是等于是Xqq(m)δu(m-n)

δu(m-n)

然后是m是0到Np

这个范围

原来我们说过

在这个范围

就是奈奎斯特频段频谱

它和周期频谱是一样的

所以我们可以把它换成周期频谱

0到Np

我们曾经知道

这个周期频谱

它是无理频谱的周期构造

当采样定理满足的时候

它的中间这一段

它是中间这一段的右边

中间这一段

就跟无理频谱是相等的

因为它满足采样定理

它在构造的时候

它不会重叠

所以是和无理频谱这块是对应的

这样我们再把这个Y(n)

在这边再写一下

把它换成无理频谱

δu(m-n)

然后m是0到Np是无理频谱

这里边有个要求

就是Nh应该小于Nq

这是抽的这一半

另外这个时候我们看到

由于Nh的存在

Nh也是小于等于Np的

所以我们在大于Np的范围

这个Xp它就会是0

就是无理频谱会是0

所以我们可以把这个范围

一直扩到正无穷

Xp(m)δu(m-n)

m是0到正无穷

能够扩大正无穷的范围

而这个正好就是无理频谱的

右抽样

右抽样无理频谱的定义

所以它等于XpR(n)

这样我们就证明了

第一个式子它是成立的

我们下来再令Z(n)

等于第二式的右边

就是这个式子

等于这个式子

所以我们可以写出来

这个Z(n)应该等于是

Xqq(-m)*δu(m-n)

这个m是-Np到-1

同样在这个范围

因为它的范围取值是负的

这里又做了负

所以正好它的范围

应该是在正的1到Np之间

这个Xqq它和XN

就是跟周期频谱是相等的

所以我们把它换成了周期频谱

-Np到-1

是这样的

由于刚才我们在讨论

这个事的时候

这还有一个条件

就是它是实的

如果离散的周期信号是实的话

它由此得到的周期频谱

它就应该是共轭对称的

所以这个负号和这个共轭号

是相互抵消掉的

它是共轭对称的

这个时候我们就可以把它

再写一遍

这个共轭没了,这个负也没了

是这样

δUM-N

是m-Np一直到-1

是这样

就得到这个结果

同样的根据刚才我们讨论过的

由于周期频谱

是无理频谱的周期构造

而又满足采样定理

采样定理

这个时候

所以它这个时候

在它的这个范围

就是负边的

就是正中的负边

它是跟无理频谱是相等的

在这一段

无理频谱是相等的

所以这个时候

可以直接把它换成无理频谱

我们把这个Z(n)再写一遍

这个就换成了无理频谱Xp(m)

然后是δu(m-n)

范围是M的范围是-Np到-1

这个是需要有个条件

就是说Nh小于Nq

这个就可以换过来

由于Nh的存在

所以当这个m取值

如果它比负Np还要小

就是往负的方向

再继续取下去的话

它的值就会为0

由于它的存在

所以这个我们可以直接换一下

它的内积

m-n

就是它这个m

就可以换到负无穷去

在整个负无穷

那么这个正好就是无理频谱的

左抽样频谱的定义

是XpL(n)是它的定义

这样我们就证明了

刚才的第二式也成立

就是这个式子也成立

这个式子也成立

从这里我们就看到

我们利用这个奈奎斯特频段频谱

还可以获得最后的这个无理频谱

还可以获得无理频谱

因为有了左抽样和右抽样

我们相加就可以了

就得到Xp(n)

就等于XpL(n)再加上XpR(n)

就可以得到无理频谱

有了无理频谱

我们就可以直接去恢复

原始的周期信号

连续周期信号就可以得到

这个时候

有刚才这个

我们可以直接写出XpN

和这个奈奎斯特频段频谱的关系

就是Xqq(n)

用第一个式子写

刚才的第一个式子写

它的这个N的范围

是0到Np

然后第二个式子再写这一部分

它的反方向这一部分

Xqq(-n)

这里我们是直接使用了

变成n了

n的范围是-Np一直到-1

其它地方为0

就是else在这里n是整数

另外刚才有两个条件

我们把它复写到这儿

就是k

原始的离散周期信号是实的

另外一个Nh要小于Nq

这是满足采样定理

就是在原始离散的周期信号

是实的情况下

满足采样定理

它满足采样定理的情况下面

那么无理频谱

就是连续周期信号的无理频谱

可以用离散周期信号的

奈奎斯特频段频谱来获取

这样就反映了

就是奈奎斯特频段频谱

它是一个独立的频谱成分

它里边包含了

原始周期信号的所有的信息

我们还记得

这个无理频谱它的物理意义

当n等于0的时候

n为0的时候

它是原始周期信号的均值

当n不为0的时候

无理频谱

它是原始连续周期信号的半复振幅

这样如果我们把它的

这个0的地方维持不变

把它其它地方都二倍

实际上就可以得到

它的复振幅

就可以得到原始周期信号的

复振幅

所以我们根据这样的一个定义

这样的一个关系式

我们就可以来得到

一个复振幅谱