相似性分析（2）在线视频

下面我们把这个

就是这个相似性变换

这是一个相似性变换

就是这个分析

我们也可以把它叫做相似性变换的

我们再用一个具体的函数来看一下

假设我们这个Xc(t)

我们是用一个余弦信号来替它

用一个余弦信号来替它

而这个小波函数

我们就使用傅里叶小波函数

加余弦窗的傅里叶小波函数

我们来看它的这个结果

这个时候我们就可以得到这个

相似性内积函数

相似性内积函数

它应该是CT(t)再乘上这个Vc(f,t)

这个余弦信号

我们用欧拉公式的指数形式来表示

那么它就应该等于

A/2 ej(2πFt+φ)

这是余弦信号的频率

这是它的初相位

这是它的幅值A

再加上

然后是e-j(2πFt+φ)

这是余弦信号

另外还有这个

余弦窗的傅里叶小波函数

在这里我们已经给出来了

在这里余弦窗的傅里叶小波函数

我们已经给出来了

它实际上是由一个余弦窗给出来的

这个时候虽然是余弦窗

我们这个余弦窗

如果把它设成它的Aw

就是窗波幅

Aw如果等于0的话

这个时候它就变成了一个矩形窗

这项就没有了

就是1

这个就剩下矩形窗

和这个连续傅里叶函数它的共轭

写成是ej2πfT是这个意思

ej2πfT

这个时候我们可以看到

因为有矩形窗的作用

所以我们这个内积的范围

内积的范围

如果我们可以把它变换

因为这个窗

我们的小波函数都是有矩形窗的

所以这个内积的范围

实际上它就不到无穷也可以

因为矩形窗两边都是0

这个时候这个范围

实际上应该是这个范围

如果我们把这个范围改到这儿

这个内积范围改成这样的话

这个矩形窗实际上就可以不要了

因为它是1

在时间t的这个变化范围内

它是等于1

所以这个变化范围

只剩这个函数了

所以这里窗波幅给了0

这里把内积范围变一下

那么这个变成了1

这个变成1

只剩下这个函数

所以对于在这种情况下的

余弦的傅里叶小波函数

就只剩下了e-j2πft

就剩下这个

我们把这两个加一下

这个一乘

先是指数相加

那么就等于是

这个乘过来是负的

是A/2 ej(2π(F-f)t+φ）

然后再加上

e-j(2π(F+f)t+φ）

e-j(2π(F+f)t+φ）

是这种情况

这么就给它加起来了

加起来的时候

这个时候我们再把它打开

利用欧拉公式把它打开

因为它的实部是余弦

虚部是正弦

它就可以写成是二分之A

余弦这个是2π

(F-f)tφ

这是初相位

这是它的第一个的实部

再加上它的虚部

是sin(2π(F-f)t+φ)

这是它的虚部

再把这个再打开

那么就加上cos(2π(F+f)t+φ)

因为这是共轭

这是负的

再减

jcos(2π(F+f)t+φ)

是这样

我们就得到了这个式子

最后它框起来

这样我们就把这个式子

把它展开成三角函数了

三角函数可以看出来

它有实部和虚部

所以我们就把它命名为实部Rvc(f,t)

这是实部

它跟频率和时间有关

再加上一个虚部jIvc(f,t)

是这样的

实部 虚部

那样我们可以把实部虚部

分开写出来

这样我们就把这个

相似性内积函数

我们用它的实部和虚部可以表示

而从上面的式子

我们可以得到

这个实部和虚部的具体表达式

Rvc(f,t)

这是实部

实部我们可以看到

是从这里和这里取

是两个余弦之和

那么是二分之A

这是第一个是两个频率相减

cos(2π(F-f)t+φ）

这是一个

然后再加上

cos(2π(F+f)t+φ）

这是这样

同样的我们可以得到

虚部等于是二分之A

这里虚部是两个正弦之差

这儿是一个负的

两个正弦之差

所以我们可以看到

sin(2π(F-f)t+φ）

减去

sin(2π(F+f)t+φ）

这样就是实部和虚部

我们就可以写出来了

我们都可以写出来了

可以看到当F和f

不相等的时候

那么这个频率是比较低的

而这个两个之和

这个频率是比较高的

这样一个高频的正弦或者余弦

两个相叠加的话

它形成一种调制的效果

那么最后这个效果我们可以看出

是这样的

这是比较低的这个

这是比较低的这个信号

如果在上面再叠加一个

比较高频的信号的话

就会成这样

再叠加一个高频信号就是这样

最后如果要算这个曲线下的面积

那么你看有正的有负的

所以这个整个的结果

这个面积它就大不了

就是这个公式

它是计算的这个

它是计算的它的面积

这个实部和虚部的面积都不会大

但是如果这个F跟f相等了

那么我们看到这个式子

这一项就没有了

只剩下了这个φ

这里面2倍变成了4倍

所以我们把它在这边再写一下

那么就是这个Rvc(F,t)

这里就不是f了

f跟F相等

它就变成了Rvc(F,t)

就等于是二分之A

cos(4πFt+φ）

再加上cosφ

是这样的

虚部大就等于是二分之A

sin(4πFt+φ）

再减去sinφ

这个式子我们可以看到

它整个是一个余弦上抬

相当于这个余弦有一部分上去了

整个的正面积它就会大

整个正面积就会大

那么整个下来的结果

就会有一个比较大的面积的结果

就是这个积分

这个积分就会得到一个

比较大的面积

这样就是说它同频了

它就会得到一个比较大的结果

当频率不相同

就会得到一个比较小的结果

就这个道理

那么同频是啥意思呢

同频我们看

这是一个频率的信号

这是一个频率的信号

那么给它一个同频率的

可能就是这么一个信号

这个信号

这两个信号同频的

当然相位可能不一样

它的相位可能错开一些

我只是为了划了一下好比较

它可能会错开

但是它频率是相同的

那么这个时候它们就称之为相似

这是在相似

相似的结果

所以我们说这个和这个

它是相似的

它会得到这样的结果

最后积分下来面积就大

而这个它的频率不相同

它的频率不相同是啥意思呢

就是说它的这个频率

如果有一个是这样的话

那么另外有一个频率

可能是这样的

这样的一个频率

这样的两个波形

由于它的频率不一样

我们可以就是说

它不怎么相似或者叫做相似度低

是这个样子的

最后再来看一下这个图

这个图现在就更清楚了

这个就是频率相等的时候

它是整个余弦频率翻倍以后

再往上提

包括正弦也是这样

再往上提一个余弦的φ

或者是一个正弦的φ

如果不提了

它就是一个调制

调制上下都有作用

有这个理论分析以后

它这个变化我们就看的更清楚了

那么就是这样的结果

这个是因为包括这个相似度低

还有这个相似度高

我们现在是用两个频率来表达

这个时候

因为我们采用的是

矩形窗傅里叶小波函数

它都是余弦和正弦

但如果我们稍微变一下

变成是一个余弦窗的小波函数呢

我们还能看见频率吗

我们来看一下

我们看到如果我们采用的是

余弦窗傅里叶小波函数

就是这样的了

它不再能看见是一个正弦和余弦了

它是已经变了形的

所以我们这个时候

再用正弦和余弦的概念

它就显得有点牵强

这个时候我们以前

还给出了一个概念

就是尺度

尺度就是一个波动的长度

一个波动的长度

在这里它跟那个

原始的余弦信号的周期是一样的

所以这个时候

我们可以看这是尺度

所以我们说相似性高

或者说相似度高 相似度低

我们开始是用频率来表示

实际上它的尺度

应该是用它的尺度来比较

所以我们说这个相似度高

那么实际上

就这两个东西它的尺度接近

对吧

它的尺度接近

尺度接近在这样的波形情况下

它的尺度就是它的这个频率的倒数

实际上就是a

是这个

它的尺度接近

我们再来看这个相似度低

实际上就是它的频率离得远

就是周期

我们用周期来做尺度

所以说它的这个

实际上是尺度相差较大

那么它的相似度低

所以最后我们说到

这个相似性分析就是这个道理

实际上它尺度

我用一个已知尺度的函数

跟你去做比较

可以去做对比

或者说我们可以给你做比对

所以说我们这个相似性分析

最后这个相似性的分析

最后实际上

相当于一个尺度的分析

就是把原来的频率的概念

把它转换成了尺度的概念

来思考的话

可能更容易理解这个相似性问题

所以它就变成了一个尺度分析

是这样子的