周期频谱性质在线视频

我们一直在说

这个XN是周期频谱

它是周期性的

但是我们还没有证明

所以我们现在来看一下

它的周期性

刚才我们看到它的对称性

我们要推演一下它的周期

这个时候我们设L

为任意的正整数

这个是个

则如果XN(n±L)

就可以写成

按它的定义

可以写成是XN(k),ψ*N(n±L，k)

它的周期均积

这里k,L,n都是整数

那么这个周期均积是对k而言的

在这里这是离散傅里叶函数

是个相位函数

这个相位函数

这个自变量的加减

可以拆出来

但是拆完了以后

依然是k的函数

我们把它跟它k的函数

给它放在一起

那么再做一个ψ*N(±L，k)XN(k)

这边就剩下了

离散傅里叶函数的共轭

还是k的周期均积

是这样

下面我们来看

如果这个函数

这个相位函数

或者离散傅里叶函数

定值的离散傅里叶函数

它相对于k

对所有的k它都等于1的话

它就可以从这里边全部拿掉

最后就会换成这个形式

换成是XN(k)ψ*N(n，k)

可以写成它

写成它的条件是

ψ*N(±L，k)恒等于1

恒等于1

它相对于所有的k

相对所有的k

它恒等于1

这是它的条件

是这个式子

从这一步导到这一步的条件

如果这个条件成立

那么它就会等于XN(k)

最后当这个条件成立的时候

那么这个XN(n±L)

根据下面我们就可以直接

就写成了XN(n)

就可以直接写成XN(n)

这个条件

那么它这个成立的条件是

成立的条件是ψ*N(±L，k)

恒等于1

对于所有的k

它在k的整个整数

我们把它转换成纯相位函数

可以写成

因为共轭拿进来做负变成负正

它有2π

这里是负正L/NK是这样

它可以展成这个

如果像它恒等于1的话

注意这个纯普赛函数

它的ω等于1了

所以所有的相位

所有的相位角度展现到这

要让它等于1

就是说它这里边的相位角

应该等于是整倍数的2π

现在k已经是整数了

所以它这个成立的条件应该是

这一部分为一个整数就可以

相当于成立的条件是L/N等于是m

而m是一个正整数

因为L是正的 N是正的

这里我们刚才设的

L是一个正数

正整数

那么我们都得到了

因为这样的话上面会成立

上面成立我们就得到了周期

周期L是等于是mN的

m是一个正整数

所以周期有无穷多个

这个N是什么关系呢

N是什么关系呢

N就等于最小的L

所以我们平时说

他的周期就是N

这就回答了

我们为什么把这样变换出来的结果

称之为周期频谱

因为它具有周期性

它的周期为N

我们给它注在下标上了

这里我们就证明了

它的周期为N

是这样的

它是一个周期信号

前面我们看到了

周期频谱具有共轭对称性

也有周期性

那么就是具有共轭对称的

周期函数

它是具有双共轭对称中心的

我们来看一下它的双共轭对称中心

双共轭对称中心的表达形式

是这样的

就是XN

如果在整倍数的周期的地方

给它加一个n的话

它是共轭对称的

会是m2N再减去一个n

这是双共轭对称中心的表达形式

在这里

N m1 m2都是整数

都是整数

是这样

我们看一下图

它表达什么形式

大家来看这个图上下面

是这个周期频谱的

实部和虚部

大家看见

就是在一个整周期的位置

它左边的信号

我们比如说中间

就N这个位置

假设以这个

这是一个整周期的位置

它的右边

要加上一个N

就是相当于右边的信号

等于另外一个

比如说这个

这个整周期位置

等于它的左边的这个要减去

跟他是左边的这些信号

它是对称的

它说的是这个意思

就是说他这个

对称两边它所用的基准

是不一样的

整倍数的周期处

另外它还有共轭关系

就是说这个实部是偶的

虚部是奇的

是这样

这样一个对称关系

我们从图上还可以看到

它的对称中心

假设我们以这个正整数

和这个整数部分

它的对称中心就在这

就是它的中间的位置

m1要看m1和m2的具体取值

所以它的对称中心

应该是在m1和m2之间

那么就是说对称中心

我们称之为Nc的话

它应该是m1加上m2

除2乘N

因为这里要除2

所以就跟m1和m2的

那个奇偶性有关系

所以它会有两种取值的办法

k1正整数

这个时候k1是个整数

而m1加m2它是偶数

这个时候2可以除尽

因为它们都是整数

所以除尽完了依然是个整数

所以我们可以写成这个形式

另外一个k2

我们另外一个等于奇数的时候

我们可以写成k2

k2再减去2分之N

应该是这样

这个是k2也是一个整数

这个时候m1加上m2

它是奇数

是奇数的时候

所以它减去一个N/2

减去它的一半是这样

那么从这里我们可以看出来

这个k1就等于

k1实际上就等于m1加上m2除2

因为m1是整数

m2是个整数

因为它们俩是偶数

所以它依然是个整数

k2我们来导一导

k2来导一导是啥

就是说在这里我们来导一下

k2就是k2乘N减去2分之N

要等于是上面这个

是m1加上m2

m2是这个东西

要等于这个

等于这个东西N都消掉了

两边的乘2就是2k2减1

再等于是m1加上m2

加上m2

那么这个k2等于是

m1加上m2在加上1除2

因为这个时候

k2所出现的位置

是m1+m2等于基数

基数再加上一个1

就变成一个偶数

偶数再除2是个整数

所以k2会变成一个整数

所以这没问题

所以在这里这一块

这块就是说这个式子是成立的

就是对称中心

NC有两种形式

当m1加m2等于偶数的时候

他在整数倍的周期的地方

整周期位置

如果m1加m2等于奇数的时候

它是在半整周期的位置

就是在整周期的地方

你还可以错开一个

半整周期的位置

是这样的

我们可以得到了

从图上我们也可以看见

我们来看一下这个图

可以看到在这个整周期的位置

它的两边是对称的

实部是偶对称

虚部是奇对称

在半整个周期的地方

在半整周期的地方

它的也是偶对称的

实部是偶对称

虚部是奇对称

在半整周期的地方

所以它有两个对称中心

有双对称中心是这个

一个在整周期

一个在半整周期的位置

是这样

这是因为周期频谱它既是周期的

也是共轭对称的

它才具有这个特性