连续分析原理（2）在线视频

现在我们来证明一下

这个式子的成立

就是说若CFT成立

那么首先我们假定

这个式子是成立的

然后我们来证

这个式子就必然成立

那么我们首先

则我们来令

Y(t)等于是< Xc(f),ψc(f,t) >

然后这里是对

f [∞]

就是说这个式子的右边变完了

能不能得到原来的连续信号

我们不清楚

目前我们不清楚

我们就任设一个Y(t)

如果通过我们的推导

它最后能够得到

Y(t)等于Xc(t)

那就说明我们这个式子是成立的

就这个式子是成立的

那么首先我们来看

由于我们已经假定

由于我们已经假定CFT成立

就是说这个式子成立

那么我们可以把这个

Xc(f)用那个公式代替

我们重新写一下

就是Y(t)就等于是

< Xc(τ ),ψc*(f,τ) >

τ [∞]

我们把这个内积变量用τ

做了一下替换

不改变它本身的特点

那么最后还有一个

连续傅里叶函数的对频率的

无穷内积

继续下来

这是一个双重内积

我们看到这两个连续傅立叶函数

跟f有关

而这个信号跟f无关

我们先做跟频率f的内积

然后后做跟时间τ的内积

那么这个公式可以写成是

这里边的三个函数

都是相乘的关系

而我们知道这个连续傅里叶函数

它是个指数函数

它乘的时候

把它们的自变量相加就可以

这个共轭它是

我们可以拿到τ前面来做负

就是放到这可以添一个负号在这

把共轭就变成这的负号

然后和它相乘

乘完了

相当于这两个自变量相加

最后我们得到

ψc(f,t-τ)

这个就是对频率的无穷内积

然后把τ的无穷内积

放到外面最后来做

最后得到这个公式

在连续傅里叶函数的那一节里边

我们曾经提到了它的

连续傅里叶函数它的无穷内积

应该是一个无限冲激函数

所以我们这里整个这个

它的无穷内积我们可以

用一个无限冲激函数来替换

最后得到

这个T应该是τ

所以我们把它改一下

这是τ

那么这里也是τ

得到一个无限冲激函数

它是t-τ

最后得到τ的无穷

τ的无穷

这个无限冲激函数实际上

它是一个偶函数

偶函数的话里边的自变量

可以变一个倒一个个儿

从t减τ可以变成τ减t

那么这就看到

这是一个函数和无限冲激函数

做的一个相关

相关

在无限冲激函数那一节里边

我们曾经介绍过

当无限冲激函数和一个信号

做相关的时候

这个信号是最后是不变的

这个信号是不变的

而它的自变量就换成了

这个相关变量

最后的结果应该就

等于Xc(t)

所以说不管怎么样

当这个CFT存在的时候

只要你进行了这样一个运算

它的结果就是Xc(t)

就是它这里边的

原来是信号

那么这个里边我们就证明了

最后一个Y(t)

跟Xc(t)相等

就证明了这一点

所以有了CFT

有了CFT我们可以证明

这条路是通的

但是反过来

如果这个成立

这件事是不是也成立的呢

而且成立是不是唯一的呢

我们来看一下

好 下面我们来看

如果这个ICFT成立

就是逆变换成立

这个正变换是不是也可以成立

那么就是说若ICFT成立

则我们令Y(f)

等于是CFT右边

CFT的右边

它应该是< Xc(t),ψc(f,t) >

然后是t [∞]

因为这个内积

虽然它的这几个都是连续变量

我们在前面已经写了

我们就每一次就不用写了

就省了

都是连续变量

这表示是一个连续内积

连续内积

这个相当于一个上下限范围

为正负无穷的定积分

那么相当于一个广义积分

那现在我们来看

由于ICFT成立

就是说这个公式是成立的

既然这个公式成立

那个连续信号就可以

用右边的变换来替换

那么它就等于是变换是

我们把f因为要做内积

我们把它用g替换

ψc (g,t)

g [∞]

这就是原来的Xc(t)

好 这个函数继续写下来

是这样

跟刚才一样

我们先做跟t有关的内积

就是这两个连续傅里叶函数

跟时间t有关

我们让它先做

那么这个跟t无关

我们把它拿出来

这两个会合起来

这个式子呢

这里需要有一个共轭

这里也需要有一个共轭

需要有一个共轭

在这里我们在这个

这两个相乘之前

我们跟上次一样

把这个共轭也做一个处理

把它拿到前面来做负

拿到前面来做负

那么做负以后这两个就会相加

这两个相加

最后是

ψc(g-f,t)

然后这是先对t求连续内积

然后再对

然后再对g求连续内积

这跟刚才一样

连续傅里叶函数的连续无限内积

这个是

它应该等于一个无限冲激函数

这是在我们前面章节里边

都已经讲到过的

那么结果就是g-f

t被内积掉了

然后就剩下了g的无限冲激

这跟刚才一样

这又是一个

一个任意一个函数

和无限冲激函数做一个相关

做这个相关呢

由于相关是一个无穷

相关是无穷

那么这个时候

它应该是原来这个函数不变

而它的自变量变成了

这个相关变量

最后就等于Xc(f)

所以通过这一段证明

我们就知道了

这个变换它只能唯一的

得到Xc(f)

前提是ICFT成立

这样我们就证明了这个式子

它确确实实是成立

那就说明这两个连续信号

和它的频谱密度函数之间

可以进行互逆的变换

而且是唯一的变换

是这样

所以这个式子将来我们就

对我们来说就很有用

我们知道了一边

从这边如果能到这边

那么从这边就一定能够到这一边

如果你要证明一个什么式子

那么就说你证明了一个方向

那么另外一个方向就会自然成立

这就是关于连续傅里叶变换

和连续傅里叶逆变换

它们之间这个互逆和唯一的

一种变换关系