当前课程知识点：动态测试与分析（下） > 第6章 时变分析原理 > 第十二周 > 小波变换的快速算法
我们来看一下
这个相关尺度函数的计算
这个相关尺度函数的计算
如果就是给定一个a
给定一个尺度
给定一个相关时间
那么这个就可以计算出来一个结果
实际上你完全可以用离散积分的办法
完成这个计算
因为这个内积变量是一个实数
它是相当于一个连续内积
连续内积相当于一个定积分
所以使用定积分你完全可以
离散的办法
完全可以把它一个一个计算出来
但是这样计算的结果的话
计算量非常大
那么我们来看一下
能不能用快速的办法
来完成这个计算
其实小波变换
跟这个小波函数的相关变换
跟这个相关变换
这两个式子
我们可以看起来它是非常类似的
只不过它们都是对原来的动态信号
进行变换
这个有一个系数
这边也有一个系数
而这里变换用的是小波函数
这里用的是小波基函数
我们来看一下
首先我们来回顾一下
我们上堂课给大家介绍的
这个相关变换
它有三个FFT的快速算法
我们来回顾一下
我们来看一下
我们回顾一下它的这个快速算法
首先我们是要把这个相关频谱函数
理解成fn和τm
这边的结果
因为这儿有点短
我们在这儿写它的快速算法
这是窗的面积可以写在这儿
另外它会出来一个fs ns
它可以有三个FFT来完成
第一个FFT是共轭
它是有这个
我们的分析对象
这个动态信号所构成的一个周期
离散的周期信号
它是这个
然后和一个FFT相乘
它是由这个小波函数
构成的周期信号
VnN(k)
它是这么来完成的
其中我们要注意这个
XdN(k)它的构成就是Xc(tk)
是这个意思
那么这里tk等于是ta加上kΔt
这个原来我们都给过了
这是一个
另外一个
VnN(k)
这个n实际上就是这儿
给定的一个fn的n
给定一个n
我们就可以得到这个
它是等于
小波函数构成的是Vw(fn,tk-τm)
然后是tk-τm
τm
实际上这个是m
我们来构成它的时候
以前我们给的是τm等于0的时候
它这里m要等于0
然后是k等于是0到Nw减1
是一个窗的宽度
其它的都为0
就是这个k在Nw
一直到Ns减1
是这个
上面这个长度
这个长度是k在0到Ns减1
大家都是Ns减1
所以这两个构成的长度是一样长的
只不过这边k在0到Nw减1
它利用的是小波函数
而在后面是添上了0来构成的
所以这个我们就知道怎么去取
这里我们需要知道
τm等于τa再加上mΔt
是这个
我们这里解释一下
tk-τm
当m等于0的时候
它应该等于一个什么样的结果
首先是得到一个τm以后
我们得到
我们这里把它写过来
τm等于是τa加上mΔt
这里τa是以前我们给过的
它应该是ta再减去ksΔt
这都是我们上堂课
都给过的一些计算的公式
由于这样
我们就可以得到tk减去τ0
因为m是0
所以我们就得到什么
tk在那边写过了
我们把它写过来
tk在那边我们写过了
tk它等于是ta加上kΔt
是这个
kΔt
然后又减去τ0
这个是0
这一项没有了
实际上就相当于减去τa
就减去这个
就减去ta
再加上ksΔt
所以最后它就等于是ks
ksΔt
再加上kΔt
就等于这个
它的k的变化范围
在那边已经写过了
所以这个式子
完全可以把这个相关频谱函数
它可以用三个FFT快速的计算出来
而小波变换
其实就是从这个相关变换里面
演变过去的
演变过去的
那么我们可以给它对应的来看一下
就是这个
Xv(an,τm)
(an,τm)
这个把它离散化
写出来应该等于什么
我们跟那个一样也写到这儿
等号
首先是它的系数
把它的系数全部放到这儿
那么系数是aminp减1
然后是ap根号2π
然后这里附加出来一个
采样频率和采样长度
那就是fsNs
回头就是这个里面的计算
这个里面的计算一个内积
这个内积的计算
它使用了三个FFT
那么这样也是三个FFT
实际上是一样的
所以这一块应该完全是一样的
所以我们就不用再抄写了
直接把它引过来就可以
直接引过来就可以
在这里
只是说我们要决定这个怎么着
实际上就是Xdn(k)
在这里
因为它是由这个
我们分析的对象来的
这个分析对象在这里是一样的
所以它也应该是一样
它也应该是一样
等于我们也不用抄写了
就是这一部分
就是这一部分
我们刚才写过的这一部分
就是它
只是说现在我们这个小波函数
在这里是小波函数构成的
这一个离散的周期函数
我们是用它来构成
我们来写一下这个
它应该是不一样的了
就是VnN(k)
它是由这个小波基函数来的
是Vb
应该是tk减去τ0
然后是an
是这么来的
我们根据这个
m等于0
我们就不再写m等于0了
直接写τ0
因为我们已经给出了τ0
这里面k跟它一样是Nw减1
那么在窗宽的范围它是这么取的
有小波基函数取
其它的后面添0
这个0添的位置是
等于Nw一直到Ns减1
由于这个的长度
这个的长度
最后也是k在0到Ns减1
这里我们可以看到它是这个
所以这个最后做出来的长度
是一样长的
我们就可以参与这个计算
三个FFT的计算
所以说这里最后加进来
是三个FFT的计算
就可以完成整个这个算法
这里边要注意的是
如果这是一个实函数
这里没有
如果这是一个复函数的话
这里是有共轭的
这里是有共轭的
完成了这个东西
这样就是说小波变换
虽然它可以与傅里叶函数无关
因为这个小波基
刚才我们已经给定了几个
它完全跟傅里叶函数无关了
但是它还可以用三个FFT
来完成它的快速计算
那么我们这里具体给出的
这三个FFT
依据前面的这个结果
就是我们在做
相关变换的时候的结果
我们上一课把这个过程
进行了一个严格的证明和推导
所以它还可以继续在那儿沿用
就是这个意思
-第一周
--周期信号离散化
--周期频谱定义
--周期频谱性质
--奈奎斯特频谱
--奈奎斯特频段频谱
--逆变周期离散信号
-第4章 周期化分析原理--第一周作业
-第二周
--采样定理原理
--频率混淆原理
-第4章 周期化分析原理--第二周作业
-第三周
--独立频谱成分
--复振幅谱
--加窗奈奎斯特频谱
-第4章 周期化分析原理--第三周作业
-第四周
--加窗频谱
--加窗无理频谱
--采样逻辑对象
-第4章 周期化分析原理--第四周作业
-第五周
--左函数的尾迹干扰
--多余弦的余弦结构
-第4章 周期化分析原理--第五周作业
-第六周
--采样数的作用
-第4章 周期化分析原理--第六周作业
-第七周
-第5章 连续分析原理--第七周作业
-第八周
--加窗频谱函数
--加窗余弦频谱函数
--离散加窗频谱函数
-第5章 连续分析原理--第八周作业
-第九周
--单频激励（1）
--单频激励（2）
--类脉冲激励（1）
--类脉冲激励（2）
-第5章 连续分析原理--第九周作业
-第十周
--时变分析原理
--相似性分析（1）
--相似性分析（2）
--相关分析
-第6章 时变分析原理--第十周作业
-第十一周
-第6章 时变分析原理--第十一周作业
-第十二周
--时变分析
-第6章 时变分析原理--第十二周作业
-第十三周
--低通相关滤波方程
--带通相关滤波方程
--高通相关滤波方程
-第6章 时变分析原理--第十三周作业
-第十四周
