余弦信号的余弦窗无理频谱在线视频

同学们

上一节我们介绍了

余弦信号的矩形窗无理频谱

这一节我们将继续介绍

余弦信号的余弦窗无理频谱

好 让我们开始

余弦信号的余弦窗无理频谱

前面我们肯定给大家介绍过

采样定理

就是这个FS要大于2FH

这个它针对的对象是无理频谱

或者就是我们平时所说的

周期重构出来的周期信号

由于矩形窗

加矩形窗重构的周期信号

它的这个频率成分都比较高

因为它有阶跃

所以这个时候

采样定理在矩形窗的情况下

满足起来是比较困难的

所以这个时候我们需要考虑余弦窗

所以我们来分析一下

余弦窗当作用在余弦信号上面

它所形成的一些特点

我们来看一下

首先我们来看一下

余弦信号加余弦窗的情况

那么我们所说的

就是余弦信号加余弦窗

它就形成了C

加余弦窗是CT

形成了周期信号

我们周期信号可以看成是

矩形窗周期信号

再加上一个周期的

余弦窗相乘的结果

这是周期余弦窗

这是矩形窗余弦周期信号

我们来看一下它的图像

现在我们画面上看到的就是这样

上面这个图就是矩形窗余弦信号

是余弦信号加矩形窗

然后再进行周期构造

得到的这个周期信号

这个周期构造是一个等周期构造

完了以后再加上一个周期的余弦窗

就是余弦窗进行周期构造

得到的周期信号

就是周期余弦窗

加上以后

乘了以后

就得到下面的

余弦窗的余弦周期信号

就是余弦窗加到余弦信号上面

然后再周期构造

这个虽然说可以看成是

上下这两个相乘

但是它也可以看成是

中间一段的周期重构

所以这两个看法是一样的

但是我们今天为了讨论的方便

我们把这个余弦窗的余弦周期信号

我们把它看成是上面

这两个信号相乘的结果

那么在这个基础上

我们求它的加窗无理频谱

就是它的Ccp

就是它的加窗无理频谱

它的定义是要除以

这个余弦窗的窗均值

然后再对余弦窗信号

进行做它的周期傅里叶变换

PFT是CRT(t)

WCT(t)

是做这个

我们曾经讲过

它在时域 如果是乘积的话

它变到它的无理频谱

是它们两个无理频谱的卷积

所以我们可以继续写下来

它是WCP0

卷积我们可以直接表达

这是C

矩形窗余弦信号的无理频谱

它是N

我们要卷积的话

这个N留下了

我们要把它换成一个M的内积变量

来进行相卷

这个余弦窗的无理频谱是这样

我们以前也求过

所以它这个是N减去M

是卷积

由于无理频谱

是定义在整个无穷域上的

所以这个N是一个无穷域

在这里M和N都是整数

是这样的一个结果

是这样的一个卷积的结果

这个在我们前面都学到过

这个我们在上一节里面

已经得到过它的结果了

这是余弦信号的余弦窗无理频谱

这个我们在无理频谱那一节

就是第三章里面曾经得到过

余弦周期窗它的无理频谱

我们已经得到过

这两个都是已知的

所以我们可以对它进行卷积

我们先来看一下

由于加窗无理频谱

加窗无理频谱都可以写成

左函数和右函数的形式

那么对于这个余弦信号的

矩形窗无理频谱

我们也可以用它的

这个左函数和右函数来分析一下

它是它的左函数N

再加上右函数PRm

然后再与这个余弦周期窗的

它的无理频谱的一个卷积

我们继续把它展开

我们把它写到这边

就是CCPN

就会分解成了两个函数

就是WCP0

然后是CRP左函数的卷积

这是CPN减去M

M无穷

再加上一个余弦周期窗的窗均值

这个是右函数和它的一个卷积

这样我们就可以把它写成CPLN

加上CCPRN

因为我们在上一节曾经讲到过

任何一个加窗无理频谱都可以分解成

一个左函数和一个右函数相加

而左函数是右函数的共轭镜像

那么这样分它是不是具有

共轭镜像的关系

如果有

我们这么分是合理的

如果没有

就说明这样分会有问题

那么我们来看一下

把这个CCPR分成了这部分是WCP0

CRPRMWCPN减去M

M无穷的内积的话

因为它整个式子只有这些内容

把这部分分给了它

这部分只能分给它

所以CCPL就只能等于

CP0上面这个CPLN

后面照抄

CPN减去M

是等于这个

实际上这里就在问

目前这个CPRN

它的共轭镜像

是不是等于这个CPLN呢

就是要问这个东西到底成立

如果这个式子成立

那么这两个式子就是可行的

那么我们来看一下它是否成立

对于这个CCPR镜像共轭

我们可以写出来

从这里我们可以找到它的表达式

那么我们来写一下

相当于是WCP0

CRPR

这是共轭m

然后WCPN镜像

减去M

M跟我们无关

所以M不镜像

M是无穷

这样我们把它写过来

它的共轭镜像就是这样一种形式

我们看一下

因为这个周期余弦窗的无理频谱

它是一个偶函数

是一个实偶函数

所以共轭是加不上去的

现在我们看

我们来做一个变量替换

我们让K等于是负M

做一个变量替换

它就可以写成WCP0

CRPR

那么这是负K

这是共轭

那么这WCP负

这个N照抄

这就成了正K

负M就成了正K了

K是无穷的

因为K和M是异号的

离散内积的上下限也是会变

这个是正无穷的时候

它是负无穷

这是负无穷的时候

它是正无穷

但是它的这个步长也会正负

也会变

所以步长一变正了以后

它又会变回来

所以它这个内积范围还是不变的

这下我们就看到了

这个我们在上一节里面已经证明的

就是余弦信号的矩形窗无理频谱

右函数和左函数已经

具有了共轭镜像的关系

所以这个可以写成它的左函数了

CP0

CRPL是它的左函数

而这个由于WCP

这是周期余弦窗无理频谱

它是一个偶函数

所以可以写成它的N减K

K无穷

这正好是矩形窗无理频谱的

左函数和这个窗无理频谱的

一个卷积

跟这个式子是对应的

所以说它就等于了CRPLN

等于CRPLN

所以这件事情是成立的

就说明我们这种分法是分对了