加窗周期信号的均方值在线视频

我们上一节给大家介绍了

周期频谱它的物理意义

我们明白了

采样频率和采样数

它的一些作用的原理

这一节我们讨论另外一个问题

就是说加窗周期信号它的均方值

我们开始

加窗周期信号的均方值

其实如果我们只要采样

得到了一段信号

那么其实相当于我们手里

就有了周期信号

因为如果我们拿这一段信号

去做傅里叶分析

就是说我们借助于FFT这个工具

去做分析的话

相当于我们已经把它变成了

周期信号

而且拿到这段信号它都是加过窗

因为至少你截到一段信号

相当于加的是矩形窗

所以我们手里

应该是具有这个加窗的周期信号

那么加窗的周期信号

我们要看它的均方值

那么它的定义是这样

均方值的定义就是Swm

它等于是这个加窗的周期信号XwT(t)

它的周期均积

这时候t是实数

我们知道这是周期均积

这是它的均方值

当然我们需要平方

我们需要平方

这个时候我们还要定义

这个周期信号它是一个实信号

它是一个实信号

我们用平方就可以表达了

如果我们得到是离散的

那么就是说

我们有一个加窗的离散的周期信号

它是跟这个连续的加窗周期信号

是一个离散的关系

这个我们以前都讨论过很多了

这个k是属于整的

这个△t是一个周期等分

是这样的关系

离散化以后

我们直接可以通过

这个离散的周期信号来计算它

那么就是Swm

它就等于是XwN(k)2它的平方

它的周期均积

我们在讲内积的时候

曾经讲到如果是周期均积的话

它的连续周期均积

和离散的周期均积

它的形式是没有变化的

它形式是没有变化的

还是这样连续

这是离散的周期均积

这个N是周期

N是周期

在离散的周期

T是连续的周期

实际上我们就可以得到计算

这是一个可计算的

这是一个可计算的

因为它是离散的

取一个周期

然后我们把它的均值求出来

我们还有一个均方根值

就是σwm

再等于√Swm

等于它的开方

而这个是均方值

它们都是加窗周期信号的

等于它的开方

另外我们还可以看到

这个均方值它还有一个名称

叫做平均功率

为什么说它是这样的一个道理

如果这个周期信号

看成一个电压的话

加在这个电阻上

而这个电阻它是1Ω的电阻

这个时候我们就可以看到它的功率

这个电阻上的功率

它应该是XwT(t)的平方

根据欧姆定律的话

它的功率就是它的平方

所以我们把它

它的均值

这是功率

它的周期均值就是它的均值

周期均值也是它整个信号的均值

那么这个时候这个均方值

就相当于平均功率

所以它另外有一个名称

它就是平均功率

因为功率是平方

所以我们得到这一点

这是在时域的一些表示

另外我们到频域来看

我们来看这个均方值Swm

它是等于式加窗信号的

一个平方的一个均值

我们把它写成两个

XwT(t)

另外一个我们前面还知道

我们曾经有加窗无理频谱的

一个定义

我们原来曾经学到过的Wp0

那么这是PFT

XwT(t)

这是我们在前面已经学到过的

根据这个我们

可以从这里面逆变出一个周期

加窗周期信号来代替它其中的一个

那么逆变的结果

就是用它来进行逆变

这个逆变就是n,[∞]

然后它是时序傅里叶函数ΨT*(n,t)

这里n需要到无穷

另外t做均积

这里n是属于整数的

t是属于实数的

所以t这里是一个

它是周期信号

所以是一个周期均积

n是一个无穷和式

利用频域的表达

我们还可以再继续

这两个内积我们可以交换一下

交换一下

其中这是窗函数它的无理频谱

这是窗的均值

它是一个常数

与内积无关

我们把它提到内积外边

另外一个这个是无理频谱

它跟t无关

我们先把它保留下来

剩下的和t有关的都放在里边

就是XwT(t)

然后是ΨT*(n,t)

然后这是t的均积

然后做n的无穷离散内积

是这样的一个结果

这个我们把它稍微的改写一下

写的太挤了

不好看

这里我们把n写到这儿

n是整数

这个t是实数

然后这里我们就有空间来写了

这是n

这是t

这里t做均积

N做无穷离散内积

是这样子的

我们得到这么一个结果

就是这个上面转换成下面这个式子

那么我们可以看一下

这里我们在做时序反向的时候

这不应该有共轭

我们这里是做的逆变

逆变是没有共轭的

只有正变换才有共轭

所以这里是没有共轭的

到这个时候

我们可以给这个式子加上一个共轭

加上一个共轭

就是我们在外边

如果添上一个共轭的话

添上一个共轭的话

里边各添一个共轭

共轭就会抵消掉

但是这种情况

因为这是一个实的

所以这个共轭是加不上去的

所以最后

这个共轭最后是加不上去

最后加成这样

这个我们可以看到它就是一个

这就是在进行周期傅里叶变换

而且这用的是加窗周期信号

加窗周期信号

如果我们跟它除以一个Wp0

那么这里把这个Wp0添上一个平方

也能配上平衡

这就是刚才我们写的这个定义

就是它的这个定义

把这个展开就是这样

只是这里多了一个共轭

所以现在我们就可以得到

Wp02

然后是Xwp*(n)

n是无穷

那么最后我们就得到了

这个在频域它应该是Wp0平方

是无理频谱的模

我们以前给出了无理频谱

加窗无理频谱它的模平方Awp2(n)

n是无穷

最后得到这个公式

在频域

就是把加窗无理频谱

它的模平方全部加起来

因为这是一个离散的

n是整数

这是一个离散和式

全部加起来再乘以窗均值的平方

就可以得到这个

就是加窗周期信号的均方值

是这样的

咱们就是说在频域可以这么来做

我们在前面的课程内容里面

我们还学到了无理频谱

实际上当我们采样

满足采样定理的时候

就是说fs大于两倍的fh的时候

满足采样定理的时候

无理频谱可以从奈奎斯特的频谱

或者从奈奎斯特的频段频谱里边

来抽取

那么我们就来看

在这种情况下面

我们如何再来继续

它的这个均方值Swm

我们先还是用这个式子来看一下

我们把它展成三部分

因为要注意到这里这个XwT(t)

它是一个实信号

它是一个实信号

我们前面曾经学到

如果是实信号的话

它的加窗无理频谱

应该是一个共轭对称的

既然是共轭对称的

它的模就是偶对称的

所以在这里这是正负无穷的和式

那么它是偶对称的

除了零点以外

每一个如果我们光算正的

每一个都应该是2份

所以它可以写成是这样

Wp02

这里我们把它展开零点有一份

这一份先提出来

Awp(0)2

然后再加上

里面则是两份

2Awp2(n)

然后n就取一半就行了

从1

n从1到Np

我们就可以这样

这是利用了它的实信号这个关系

它是共轭对称的

模是偶对称的

我们就可以

这里还不是Np

这里我们是正无穷

这里是正无穷

1到正无穷

是这样的

但是由于采样定理是得到满足的

采样定理得到满足

我们这个就可以由

奈奎斯特频段频谱来替换它

是无穷

所以它的最高频率是存在的

而且它的最高频率

这个频率数Nh是小于Nq的

这两个是同等关系

所以说我们这个时候

它有一个最近数

叫做奈奎斯特的数是Np

所以我们在这个位置它加了Np

后面就可以忽略不计了

那么这个时候我们以前讲到过

因为周期频谱

是奈奎斯特频谱的周期重构

它是周期重构

这个时候

我们只用它的奈奎斯特频段频谱

就可以了

等于是Awb2(0)

这是频段频谱

再加上<2Aw2(n)>n,[1,Np]

我们就把它换过来了

这个n是1到Np就可以

因为有这样的关系

这个我们再给它变换一下

给它除以一个2

P0

这个除2

那么这个需要2Awb2(0)

再加上

这是4

4完了以后它就进去了

变成了<(2Awb(n))2>n,[1,Np]

平方

1到Np都是这样

最后成这样一个结果

当把奈奎斯特频段频谱

给它2倍以后

2倍以后这个时候

它会变成了我们以前学到的

复振幅谱

或者叫做单边谱

但是这里差一个0位

对于单边谱

就是复振幅谱来讲

在n等于0的地方是一倍

那么不等于0是2倍

那么这个时候这里有一个1倍的

所以把这个给它送进去

把它写成这样

Wp02/2

这里是Awb2(0)

留一个在这儿

另外一个拿进来

它做出来就是这样

做出来就是这样

是一倍

2-δu(n)

然后是Awb2(n)

然后是n

0到Np了

0到Np

是这样

这里我们来验证一下

当n等于0的时候

这个为1

这是2减1是1

那么有一个

n等于0的时候

n等于0的时候它有一个平方

这个平方和它组起来就是两个平方

那么n不等于0的时候

在其它的位置

这个为0

这个为0

那么就是两倍的它的平方

正好就是这个

合上了

所以得到这个结果

而这个结果就是以前我们定义的

复振幅谱

我们把它改写成Wp02

Wp02/2

这个就是Awb2(0)

再加上复振幅谱是Aws2(n)

然后是n

0到Np

就会成这样

这个复振幅谱

但是这个它正好

这个就是Awb(0)

这里多出来这个0

正好应该是它在0位的

也成了两个

实际上都成了两个

是这样

刚才我们说到这个位置

如果这里把它都看成

这个0跟它这个复振幅谱的0

是一样的

那么意思就是说当在这里

因为当这个n等于0的时候

这个复振幅谱会取两份

当n不等于0的时候

这个复振幅谱只取一份

所以说我们可以

把它这个重新写一下

这个Swm均方值

就等于是Wp02/2

那么最后把它里边的写成了

里边我们可以改写成

这样是1+δu(n)

再乘上Aws2(n)

然后是n是0到Np

这样我们来验证一下

当n等于0的时候

这是2

那么有两倍的

就是因为这个Awb(0)

应该等于是Aws(0)

是这样的

因为这两个是相等的

我们曾经说过

所以在0位它是两份

这里有一个

这里会出来一个

当不是0的时候只有一份

那么就是这个结果

那么这个就是均方值

就是我们利用复振幅谱

就可以直接求取均方值

由于它是一个谱的一个和式

来求均方值

我们在求之前的这部分

我们就可以把它称之为均方谱

均方谱是啥意思呢

它就是这个Swm(n)

它跟n有关

就是求和之前的

就是Wp02/2

1+δu(n)

然后是Aws2(n)

那么这个n是0到Np

这是均方谱

就是说如果我们把这个复振幅谱

求取得到以后

我们前面的章节里面讲了

复振幅谱是由奈奎斯特频谱

还有奈奎斯特频谱

缩短到奈奎斯特频段频谱

把它算出来的

奈奎斯特的频段频谱算出来的

有了它

我们就可以得到均方谱

为什么它叫均方谱

就是因为这个均方值Swm

可以等于它的一个直接的和

0到Np

是这样

这就是我们得到的均方谱

同样的我们还可以得到均方根谱

均方根谱就是均方谱的开方

均方根谱我们定义为

Σwm(n)=√Swm(n)

这是均方谱

开方得到它的均方谱

那个开方我们来看一下

开方实际上对它进行开方

对它进行开方

这几个都能开

关键是这个怎么开

这个的方怎么开

对它开方

所以这个开方√(1+δu(n))

我们先解决它

它开方

这个方应该是这么开

我们先写出来

它是1

我们只写正的这边

1 0 0 0...

我们少写一点

写三个

那么这个1可以看成

每个地方都有

是1 1 1 1...

它们加完了

它加起来

那么这个是2 1 1 1...

是这样的

然后对这个值进行开方

对它进行开方

开完了这是√2

其它的开方为1

是这样的

对它开方

开完了是这样

完了以后

我们把这个√2给它加一个1

再减一个1

减1再加1

所以它不变

那么其它的还会照写下来

写下来以后

这个序列我们就看成

前面是有√2-1

后面是0 0 0...

后面是0

前面还有1

那么就是1 1 1 1...

它是这两个相加的结果

有这个我们会看出来了

它是两个相加的结果

所以这个加起来

这个先加起来

它就会等于这个加起来就是等于是

这是一个1

1加上√2-1

乘上δu(n)

这是最后的开方的结果

所以我们就可以把它写出来了

最后我们写出来

∑wm(n)

就等于我们看这儿的开方结果

这个平方没了

这边是√2

这个我们刚才开出来照写就行了

这个平方没了

那么就是Wp0/√2

单位冲激函数构成的函数

开的结果是

1+(√2-1)δu(n)

然后是Aws(n)

就是这个

这就是均方根谱

就是加窗周期信号的均方根谱

最后就是这个结果

这里我们要强调一下

就是均方谱

所有的谱线加起来为均方值

但是均方根谱加起来不为均方根值

因为均方根值σwm

它是等于你加完了的√Swm

等于它的开方

所以说我们不能因为有了这个

就去写这个均方根值等于是

<∑ wm(n)>n,[0,Np]

这个n从0到Np

如果这样去求取均方根值就是错的

所以这个地方是不可以的

这个地方是不可以的

这个是不存在的

它为什么叫均方根值

因为它是均方值的开方

它并不是因为它能够求取均方根值

均方谱是可以直接求取均方值的

所以以此为命名

下面我们看一个图

我们看一个图

这个图就显示了

一个加窗周期信号它的这个

上面是复振幅谱

那么中间就是均方谱

均方谱就是按照这个公式

根据复振幅谱来求取的

而下面这个图就是它的均方根谱

均方根谱就是上面这个谱开方

或者直接由我们刚才给出的

那个公式

由上面的复振幅谱来得到

所以它有两个渠道

一个是中间用均方谱开方得到

另外就是从上面的复振幅谱

根据上面我们给的

那个公式直接求取

两个方向

求取的结果都是这样的

同学们这节给大家介绍了

加窗周期信号的均方值

跟我们刚才讲

加窗周期的均值

我们很容易从无理频谱里面

从它的零点无理频谱值

就可以得到它的均值

而它的均方值

我们在时域可以把它直接离散的

它的平方相加

而在频域

理论上

它是加窗无理频谱的

所有的平方和

所有它的模的平方和

如果我们用离散的算法来计算

就是说我们从复振幅谱里面

根据我们这一节给的公式

也可以直接求到均方谱

均方根谱

以至于求到均方值

还有均方根值

好这一节的内容就到这里