傅里叶相关频谱函数快速算法在线视频

那么这个我们如何来计算呢

我们再回顾一下

这个加窗频谱函数它的快速算法

如果我们把这个加窗频谱函数

离散化了以后

它的快速算法

可以写成EjπN除以KT

然后是窗面积

采样频率

然后是FFT

然后是这个加窗的离散信号

然后这个离散的加窗信号

它是需要添0进行计算的

那么在不添0的这一段

它就是原来那个窗宽范围那一段

那就是说WTK

然后是这个XC

也是TK

也是TK

然后这个是到哪个范围呢

K是在0到NW减1这个范围

这个TK应该就等于是这个

因为我们原来这个信号

我大概画一下

它是这样的

然后这是窗

这是窗

这是窗

大家都一样宽的

TW除2

负的TW除2

我们是这么相乘的

这是XC TK

那么这个就是WTK

这是TK

TK

原来我们是这么着的

采下来

采下来

离散化

这儿有一段

这一点称之为KS 对吧

最后这里有一点

这里有一点离散化

最后这里有一点

这个是下面的

这儿有一点

这是Ke

Ke

那么这个时间

这个的时间自然就是离散化完了

这里的时间是KSΔT

这是它的第一个时间KSΔT

所以这是KSΔT

然后再加上KΔT

然后K再一点点的离散过去

这个也是一个道理

对应着的

所以TK有了

这个就能离散化

就可以得到了

后来我们还为了计算

它的连续的曲线

我们后面添了0

0的范围是K

往后NW

一直到N减1

这个N就等于是KT NW

就是你添0添多少倍

所以这个KT会出现在这里

这是原来它的一个公式

原来这里一个公式

我们就利用这个公式

我们再来计算这个相关频谱函数

因为它们都是加窗傅里叶变换

这个加窗傅里叶变换

只是有了一个τ而已

这里我们刚才回顾了

就是这个加窗频谱函数

它的离散化算法

就是这一堆

这一套它的离散化算法

我们根据这个我们来计算

它的离散化应该怎么来算

是非常相似的

这两个只是多增加了一个

时间的超前时间

超前时间

我们来看一下相关频谱函数

这个用的是傅里叶小波函数

就跟刚才这边接过来的

那么是XRFNτM

因为它就是一个WFT

就是对XC的WFT

所以我们沿用这个公式

沿用这个公式没有问题

因为它也是对XC的一个WFT

这个公式我们可以继续沿用

就是EjπNKTWC0FS

WC0FS

然后是FFT

也是用一个加窗信号的离散化

这个都一样

那么问题的关键是这个

离散化的加窗信号

这个的变化

这个它是在XC上加了一个窗

加的窗没有变

但是XC有了变化

加的窗是WTK

然后是原始信号TK

要加上一个τM

是这个意思

τM

要加上这个

那么从原始信号来看

它的K的范围还是这个

0到NW减1

然后这个

其它的都是0

其它都是0

然后这个是K

处于是NW一直到N减1

这个道理是一样

N等于是KT乘以NW

那么这个TK

因为跟那边是一样的

也是对窗的一个离散化

所以也是等于这个

TK等于是KSΔT再加上KΔT

那么这是对窗

然后这个τM的离散化

我们是这么来离散的

τ的离散化

τM的离散化

它有一个τ的初始

我们称之为τA

τ的初始τA

然后再加上

这个τA的初始

实际上我们可以看图

我们直接把它写掉

我们来看一下

这个τ它的初始化的时候

应该是多少

大家看目前这个画面上

显示的这个图

上面就是XC它的采样信号

当然它采样信号

它最原始的位置是这个

它的坐标

采样信号的原始坐标

是这个红线坐标

它原来跟这个零线是对齐的

现在是移动到

它往左移动

移动到左边第一个点

给这个小波函数

傅里叶小波函数

左边这个点

左边这一个点对齐的时候

这个时候就是τ等于0的时候

τ等于0的时候

我们就可以看到

这个τ等于0的时候

它的这个τM

就是τM

M等于0

就是我们原来的τA

就是τA

就是它的τ0实际上

我们直接写成τ0可能更好

τ0再加上M

然后它的步长

M离散化步长

可以是ΔT的整数倍

这个是它的步长

因为这个Lτ它是大于等于1

然后它是一个整数

是一个正整数

整数常数

是这个意思

然后这两个合起来就是τM

τM的离散化步长

这是它的步长

注意我们刚才在计算

三个FFT计算的时候

τ的步长跟ΔT应该是一样的

这个是不能再加值的

但是在这里当

变成傅里叶小波函数以后

我们这里步长可以是ΔT的整倍数

这个一定要知道

这个一定要注意是整倍数

好 我们再看那个图

把τ0确定下来

现在这个τM实际上就是τ0

现在M等于0

我们可以看到

它是由TA这段长度

然后再加上这一段

加上这一段时间

而这一段时间正好是这是K

这个是KS

这里没有注

最左边这一点叫KS

以前我们学过了

KS成ΔT

就是这一段加上这一段

我们把它写下来

好 这个τ0就等于是

刚才我们图上看到

前面第一个有一个时间TA

就是你采样的开始时间

这是你在采样的时候你自己定的

然后它减去一个KSΔT

为什么是减了

本来它是加上一段

但是这个KS是一个负值

KS它是一个负的常数

我们曾经定过这个KS

KS是一个负常数

这样我们再把这个代进去

就可以得到这个τM

实际上就是这么一串

最后我们再来看一下

这个离散化的序列

这个序列

XC的序列

这个取值很容易了TK

这个TK很清楚

这个取值跟原来这个取值

是一样的

跟这个取值是一样的

但是这个的取值

因为加了一个超前信号

加了一个超前时间

它是一个超前信号

加了一个超前时间

那么这个超前时间

合起来对它进行一个取值

而这个XC的取值

是逐点取下来的

我们看一下图

看这个图

因为这是超前时间

超前时间它是往左移这个信号

是往左移

移到某一个位置的时候

它就可以从这里

从这个信号上面

取出跟下面这个窗一样宽的

这个数据数

是NW个数据

XC是连续变化的

但是它那个点是一点一点挨着的

一点一点挨着取的

它不会跳点取

但是它在往左挪动的时候

它在往左挪动的时候

它也可以是一点一点的挪动

也可以是两点两点的挪动

那么就看你这个Lτ是怎么设定的

就是这个步长

这个挪动

就是那串信号向左挪动的步长

是由Lτ来决定的

Lτ等于1就一点一点挪

Lτ等于2就两点两点的挪

是这个意思

对于我们采样来讲

我们先看一下采样序列

就是这个XC它是TI

XC等于TI

现在这个TI

它是等于TA再加上IΔT的

这个I的变化范围

我们就给它分开

I的变化范围它是0到NS减1

一共就分了这么多

一共采了这么多

NS个点

现在我们再使用这个数据的时候

我们这个XC

我们是用了TK

XC我们在使用的时候

刚才那是采样的序列

我们使用的时候

是按TK加τM来使用的

那实际上我们把TK加τM

τM就变成了TI

我们在使用它的时候

我们用了TK加上τM去替换TI

就是这个结果

我们把这两个式子代进来看

TK加τM

TK加τM

TK我们刚才已经用了

跟这个是一样的

它跟这个是一样的

TK加τM这是KSΔT

再加上KΔT

这是TK

τM我们在那边已经给出来了

τM已经给出来了

再加上

注意τM写的时候

把这个τ0直接替上去

TK减去KSΔT

等于是TK减去KSΔT

好 这是τ0

然后就是再加上MLτΔT

这是左边等于这个

我们把这个东西都收集过来

放过来

然后等于TI

TI在这儿已经写过了

是TA加上IΔT

我们得到这个替换的表达式

我们看一下

我们这个可以消掉

这个可以消掉

这个可以消掉

这个可以消掉

这消完了以后

所有的ΔT全部都可以消掉

最后我们得到了

I等于是MLτ加上K

加上K

那么K的变化范围

是刚才我们已经给了

K的变化范围是在这里

我们取值

要从信号里面去取的时候

K的变化范围是0到NW减1

所以通过这个

我们就把这个XC怎么去取值

就得到了

是这样的意思

怎么去取值

那么这个I的变化范围

如果是I的变化范围

是不是就可以等于是

K等于0的时候它等于MLτ

然后它就等于是MLτ

加上NW减1

就是你确立一个M

就可以确定这个I的取值

I就取这么一段

从这里来看

所以我们把这个就换成了是TI

按TI来取值

按TI来取值

这个I的取值范围

就是刚才我们写的MLτ

一直到MLτ加上NW减1

这么去取这个X的话

那么我们取起来就很容易了

它就是挨着取的

我们看一下图

还是这个图

我们就看到每一次

因为现在这个窗它是不动的

一直在这儿定住

然后是这个信号往左移动

那么移动的时候

每次都取这个I的变化范围

从MLτ一直到MLτ加NW减1

这样一共每次都取NW个数

来参与运算

这样我们就确定了XC的取值

我们只要有XC

已经采集到这么一个XC

我们逐渐的就可以

只要采集到了XC

我们逐渐的

就可以用这个取值的办法

一次一次的把它取出来

给定一个M就取一个

给定一个M就取一个

最后计算的就是这个结果

这个结果计算完了

它的变量应该是

因为这个是一个常数

确定一个可以算一次

相当于确定一个

所以这里出来的量

它应该是N处于0到N减1

这错了一个字母

这个是FFT

刚才写的FFF了

我们直接把它换成FFT

就是这样

这样我们就得到了

这个取到N减1

但是这个取出来的时候

我们以前都说过

特别是在这里曾经提到过

我们在求这个FFT出来的时候

因为这个是实的

所以出来是一个偶

模是一个偶对称的

它的相位是一个奇对称的

那么我们只取它的一半

N我们重复取一下

就是最后这个N

N的取值范围是到NP

我们曾经已经确认过了

N是到NP的

所以最后这个N做完了以后

N做完了以后这里

N最后我们取0到NP

这个是在奈奎斯特频谱

那一段讲过NP的意义

它肯定是在0到N减1这一段的

NP我直接写一下

它就等于是二分之N

如果N是偶数

如果不是就是N减1除2

N是奇数

这个以前我们都给过

大家可以查到

在书上可以查到这个

所以我们就完成了这个计算

这么一次计算就是我给定一个M

也就取出一段信号

取出一段信号

然后你来进行这种计算

就会算出一个FN一系列

最后这个结果是这样

最后以傅里叶小波函数

为基础的这个相关频谱函数

是这么算出来的

τM

然后这是FN

当然它们都是离散化的

都是离散化的

都是离散化的

这个离散的跟那一样

这个离散化是LτΔT

这是它的步长

LτΔT

这边是ΔF

ΔF是等于T分之一

这个T等于是NΔT

NΔT是这么来的

这个N我们刚才等于是KTNW

都在那边的这一些范围都有

其实这个时候

我们只要给定一个M的位置

通过这个快速的计算

给定一个M

刚才我们说了M一旦给定

我就可以从X上取出一段信号来

取出信号

然后跟这个窗函数相乘

乘完了以后可以参与这个计算

乘完了添0

然后参与这个计算

用FFT一次性完成

就会一次性把这个

这上面的点都计算出来了

再另给一个

一串一串都可以计算出来

都能计算出来

就是它一列一列的计算

注意这是傅里叶小波函数用的是

而刚才我们这个图

用的是非傅里叶的

刚才我们上半节曾经介绍过了

我们要给定一个F

算出一串的τM

它是一行一行算的

这是用三个FFT完成的

每一行是三个FFT

三个FFT

对于傅里叶小波函数

它是一列一列算的

那么这一列用一个FFT来完成

就是这样的区别

完了以后如果这些点都出来了

然后你就可以等值线

跟这个一样

就可以做出等值线来

也可以做出色谱图来

就是这个意思

这里边每一个点都是我们要求的

这个以傅里叶小波函数

得到的相关频谱函数

就是这个意思

而这个得出来它的结果

它每一列都相当于

我们原来的一个加窗频谱函数

每一个列

加窗频谱函数

就是刚才我们在那儿擦掉的那个

就相当于啥

当这个M确定以后

M一旦确定以后

这个就是一个相关频谱函数

这样我们把所有的计算

都介绍给大家了

如果用的是傅里叶小波函数

那么我们计算就可以进行下去

当然非傅里叶的小波函数

我们还没有给大家介绍过

我们在后面的课程会有介绍

非傅里叶小波函数是怎么样形成的