周期频谱与无理频谱的关系在线视频

下面我们来看这个周期频谱

周期频谱与无理频谱的关系

那就是说

若我们有一个离散的周期信号

它是由连续周期信号离散得到的

那么离散是K是个整数

△T它是一个周期等分的离散化

就是它的这个周期

连续信号的周期

被离散周期的这个周期一除

相当于周期等分

周期等分的离散化

另外我们有了这个

我们还可以得到

XN是DFT XN的结果

就是对这个离散的周期信号

做DFT变换的话

我们得到了周期频谱

然后我们还可以得到

无理频谱是PFT对XT的连续变换

如果有了这样的前提

我们就可以得到

就是这个周期频谱

和无理频谱之间的关系

它是一个周期构造关系

减去LN

然后是L等于是无穷

在这里L是整数域

在这里就是讲的这个周期频谱

实际上是由无理频谱

通过周期构造来得到的

无理频谱是一个无限不循环的

一个频率的函数

得到一个周期的函数

通过周期构造是这样的

那为什么可以是这样呢

我们需要来证明一下这件事情

需要证明一件事情

首先我们来看

这个连续的周期信号

它的表达式

我们可以用无理频谱的逆变换

无理频谱的逆变换

来表达一个连续的周期信号

所以这个变换

它是一个无穷域里面的

这里N是整数

把这个连续的周期信号

我们离散化

连续周期信号离散化

那么就是说

XNK就等于XTK△T

然后就等于是XP

这个和时间无关照写

而这里跟时间有关系

它变成NK△T

然后是N的无穷离散内积

前面我们曾经提到了

这个时续傅里叶函数

当把它的时间

在进行周期等分离散化以后

它会变成了离散傅里叶函数

关于这一点

在离散傅里叶函数那一节里边

我们曾经讲到了

大家忘了的话可以复习一下

这样离散的周期信号

可以继续地写成

无理频谱和离散傅里叶函数

NK之间的一个无穷内积

是这样的

得到这个以后

我们再继续来看这个关系

是怎么存在的

我们继续刚才左边的证明

继续刚才左边的证明

那就是说在那个前提之下

我们现在来写这个周期频谱

周期频谱我们再写一下

它应该是XNK

离散傅里叶函数的共轭

NK的周期均积

这里的周期均积

是对k做

以后会引出来

我们先把这个K标在这

那么把刚才的

在那边得到的离散周期信号

我们把它代入这个式子

它是XPN和离散傅里叶函数

它的NK

这里为了和后面这个N相区别

这里是一个内积变量N的话

我们把它换一个变量

那么MK

然后它是对M

做的是一个无穷内积

最后还有一个

离散傅里叶函数共轭NK

这是对K做周期均积

我们把这个内外的内积调一下

先对K做周期均积

然后再对M做

与K有关的

就是两个离散傅里叶函数

而这个离散傅里叶函数

我们把这个共轭拿到它的自变量

N上做负

最后我们可以得到

XPM就是离散傅里叶函数

这里有个M

这边有个负N

K留下来

是这样

这是对K做均积

做完了再对M做无穷离散内积

这样我们来看一下

离散傅里叶函数的周期均积

我们曾经提到过

它应该是一个梳状函数

这个在离散傅里叶函数

一节里边我们已经介绍过了

它是一个梳状函数

它的NN减NM

另外我们梳状函数

是在单位冲激函数那一节里边

提到过

它应该是单位冲激函数的

周期构造

所以它是XPM

单位冲激函数M减N

进行周期构造

负LN

然后周期构造的范围

是一个无穷

然后这里M又无穷

这里新出现的L是整数

这里新出现的M也是整数

都是整数的范围

这个时候有两重内积

一个是对M

一个是对L

它们都是无穷内积

无穷的离散内积

我们先对M做

这两个函数跟M都有关系

我们可以写成XPM

我们曾经提到过

对于无穷的离散内积

它后面这个偏移量是正的

还是负的都是一样的

我们在做这个抽样的时候

曾经介绍过了

所以这里用加也是可以的

也是可以的

这个时候△U

我们写成M减去N

减去LN括号

这是这个

首先对M进行无穷

离散内积

然后再对L进行无穷的离散内积

这个内层内积

是△U

就是单位冲激函数的

一个全抽样函数

因为这是无穷

全抽象函数抽完了

就是这个函数本身

那么就是XP

把它变量变成它的后面这个

延迟量是N减去LN

L无穷

在这里我们就得到了

这个周期频谱

它跟这个无理频谱之间的关系

可以看出来

这个周期频谱

就是无理频谱的一个周期构造

这是典型的周期构造函数

这个建立起了这个关系

所以这个我们就建立起了

利用离散周期信号

得到的周期频谱

和利用连续对应的

连续周期信号

得到的无理频谱之间的

一个周期构造关系