余弦信号余弦窗无理频谱右函数分析在线视频

一旦分对了以后我们就来看

我们单看这个右函数就可以了

因为右函数和左函数它有这个关系

我们来单看右函数就可以了

所以我们也跟矩形窗的时候一样

我们来进行右函数分析

我们先把这个右函数的表达式

给它找出来

这个我们把它写一下

这个右函数在这里

它是窗均值

然后是矩形窗无理频谱的右函数

和这个周期余弦窗无理频谱的

一个卷积

这个M是整数

是这个的卷积

这个式子我们已经得到过了

而这个式子我们也得到过

这个在上节里我们得到

它是等于半复振幅

半复振幅和sinc函数的乘积

这个是我们在第三章的

无理频谱里面

曾经做过周期余弦窗的

它的无理频谱

它是三个单位冲激函数的一个组合

把它写出来

这个是ACH半幅振幅

sinc函数

当然我们在写的时候

我们先一步一步的做

为了不嫌麻烦

我们先把这个

先把它写出来

所以我们这一块可以先保留着

当这个窗均值还在

CRPR

我们把这个周期余弦窗的

无理频谱写出来

它是三个

前面有一个系数

是1加上AW

AW

然后是△uN减去M

这是第一个单位冲激

后面还有两个加上

两个有一个共同的系数

二分之AW

这是窗波幅

然后是△uN减去M

这个要+1

然后还得加上一个△u

N减M

要减1

最后这个括起来

这个括起来

这个还得括一下

这个括号跟这个括号

然后是一个尖角

M无穷

是这样的

像这部分

就是它

我们还要求到这个窗均值

这个时候窗均值

实际上就是

我们把它看成一个自变量的时候

它取0的位置

这个取0是0

这个取0它还是整数

还是0

只有这儿取0的时候它取了1

所以它的窗均值就是它

所以这就是窗均值

这是窗均值

那么这个窗均值除以一个窗均值

这两个是消掉的

这两个是消掉的

最后就等于

我们来写一下

写一下可能就看得很清楚了

CRPRN

然后和谁呢

我们把它拆开

拆成三部分

这是△U

单位冲激函数是一个偶函数

我们把它换一个个 M

这个是无穷

然后再加上这两个

AWCRPRM

△u 把这个M变正

其它两个就变负了

因为它是一个偶函数

这是一个

M再无穷

还要加上一个CRPRM

这个M变正 △u

那么其它一个变负 一个变正

减N+1

M无穷

我们得到了这三个函数

我们都看到

我们曾经在学习讨论

单位冲激函数的性质的时候

这正好是一个抽样函数

而这个抽样是一个无穷抽样

无穷抽样其实就等于

它原来函数的本身

因为它在无穷域里面抽样

我们再把它写过来

写过来是CCPRN

第一个函数抽样

这是矩形窗的右函数

这是一个无穷抽样

抽样就是它本身

所以这是CRP

右函数它本身

后面两个抽样

后面两个无穷抽样

只是说我们要把这个看成一个整体

把这个看成一个整体

那么最后得到了

加上AW除2

这边还是矩形窗的右函数N+1

因为这个可以看成M减N+1

M减N+1

所以这个应该看成RPR

N减1

最后得到这个结果

这个完成了它的整个内积

内积完成以后

我们把它的结果带进去

我们前面已经得到了

这个矩形窗时的它的右函数

它是半复振幅和sinc函数的乘积

这是半复振幅我们把它写出来

sinc函数

它的sinc函数是sinc

还有一个偏移量

偏移到AT这个位置

然后再加上二分之A

所以也是一个sinc函数

那是N减AT加1的位置

加1的位置

再加上

这也是一个sinc函数

N减去AT减1的位置

这个结果

这里面有括号括起来了

后面这个函数的形式

后面这个函数的形式

我们是见过的

这正好就是互补sinc函数

我们在讲函数那一章的时候

我们曾经提到过这个函数

这个函数就是互补sinc函数

我们把它写成了ACH

这是互补sinc函数的符号SCC

它的自变量是N减去AT

所以说这个余弦窗的右函数

其实跟矩形窗的右函数非常类似

只不过一个是sinc函数

这个是互补sinc函数

而这个互补sinc函数

我们曾经提到过

互补sinc函数

它里边这个互补系数

互补系数我们都要求AW大于0.75

大于0.75

是这样子的

因为如果AW等于0的话

它就退化成一个sinc函数了

因为这个等于0

后面两个没有

就剩下sinc函数了

所以这个是包含矩形窗的

只要令AW等于0

它就变成了sinc函数

就是矩形窗的右函数

如果我们把AW大于0.75

让它的主瓣

等于负2到正2

宽度4的话

这个时候

那么我们就把它作为

它这是余弦窗

是这个意思

是等于0的时候

AW等于0的时候

正好这是sinc函数

这是sinc

这是SCC

sinc函数这里是1

这里是负1

是这个意思

它的宽度正好是一个二倍关系

主瓣宽度

我们就可以得到它了

得到这个以后

我们根据这个就可以写出来

CCP就是这个

整个这个

整个它的无理频谱

就是余弦信号的

余弦窗无理频谱

就写出来它是左函数和右函数相加

而左函数正好是它的共轭

就是共轭镜像

所以左函数应该是ACH共轭

然后互补sinc函数是一个实函数

共轭共不上

但是镜像可以镜像

镜像这是负

负它是一个偶函数

偶函数就变成了N+AT

然后再加上ACH

它本身SCC

N减AT

相当于这个是互补sinc函数

向左移到负AT的位置

这个向右移到正AT的位置

但是他们的幅值上

这个带着半复振幅的共轭

向右移的这个带的是半复振幅

我们来看一下它的图像

现在这个画面上看见的

就是余弦信号的余弦窗无理频谱

它的实部和虚部

上面这个图是余弦窗余弦周期信号

加了余弦窗以后的余弦周期信号

是这样

所以我们看到了

它成了这么一个形式

这是右函数

右边的是右函数

右函数它是向右移的

左边是左函数

当然它们互相有尾迹的干扰

但是由于这个互补sinc函数

它的旁瓣衰减比较大

都在40分贝以上

所以这个尾迹干扰应该是比较小的

尾迹干扰应该是比较小的

因为这个旁瓣已经到了好多以后了

我们说的40分贝是它的第一旁瓣

是这个意思

我们还可以看到它的模和相位

这是它的模和相位

所以我们看到

在它的红色的曲线

就是互补sinc函数

而黑色的条状谱线就是无理频谱

刚才那个图也是一样

实部虚部也是一样

黑色的条状谱线那就是无理频谱

我们再看回来

就是它的这个红色的

是互补sinc函数

它相当于在互补sinc函数上面的

一个离散化

是这个意思

这个时候

在互补sinc函数的函数顶点

正好移到了AT的位置

就是截断周期率的位置

这个截断周期率的两边

各有两条谱线

这就是它的频侧谱线

实际上是四条

像矩形窗的时候它是两条

其实主要就是因为

互补sinc函数

它的主瓣比sinc函数的

主瓣要宽一倍

所以它会有四条频侧谱线

我们来看一下

这四条频侧谱线的情况

我们还是以右函数CPR为例

AT左边那条就是MT

就是MT

它呢

我们看等于什么

我们还是拿这个来看

那么就是N等于MT的时候

我们要注意

这个AT等于MT加上DT

这个是可以展开的

我们先写一下

ACH

那就是MT

互补sinc函数MT减去AT

那么把它都展开

是二分之AejφSCC

MT减去

这是MT减DT

最后可以得到等于是二分之A

SCC

是DTejφ

互补sinc函数它是一个偶函数

这个去掉以后这里面的负就没有了

那么来看第二条

就是AT右边那条应该是MT+1

CH半幅振幅

互补sinc函数

MT+1减去AT

那么同样的把它分开是二分之A

ejφSCC

MT+1减去MT减DT

那么这两个去掉了

最后成1减去DT

二分之A

SCC

1减去DTejφ

另外一个

AT右边第二条PRMT+2

这个我们可以根据

它的这个结果直接写出来

它是CCH

ACH半幅振幅

SCC这是互补sinc函数

MT+2减去AT

刚才MT+1的时候等于这个

MT+2的时候多加一个

所以我们直接写出来

我们不去导它了

SCC变成2减去DTejφ

这四条频侧谱线我们前面说了三条

我们还有最后一条

最后一条是CPR

就是在AT左边第二条

就是在它的左边那一条是MT减1

这个位置

这个位置我们稍微要倒腾一下

它是ACHSCC

是MT减1

本来还得减一个AT

那么减AT就相当于减去MT

再减去DT

这样这个MT和MT抵消掉了

这两个负1

因为它是偶函数

就变成了正1

所以我们可以把它最后展开成这个

二分之A

是SCC

是1加上DTejφ

是这样的结果

这样我们看到这四个频侧谱线

它们的模都是正的

因为互补sinc函数

它的主瓣在0到2

这是0到2之间

它在主瓣范围都是正的

那么这个DT是0到1的开区间

所以这个不到2

这个1减DT也不到2

在0到2之间

这个2减DT也是在0到2之间

这个1+DT也在0到2之间

所以互补sinc函数

在这四条谱线里面全取正

剩下就是这个相位

就看到它的相位全是一样的

它的相位

这四条谱线的相位都是相等

而且等于原始余弦信号的初相位

是原始余弦信号的初相位

这样我们看起来

就是图上就可以看的很清楚

通过它的这四条谱线

我们来看一下它的图像

好 现在我们看到的

就是余弦信号的

余弦窗无理频谱的右函数

它的模和相位

上头是模

下头是相位

可以看到下头对准上面的频侧谱线

就是AT两边各两条频侧谱线

它的相位都相等

而且等于原始余弦信号的初相位

如果是加的余弦窗

所以我们就可以看到

我们可以在相位图上

找到四条相等的相位线

就是相邻又相等的相位线

那么它的中间左边这一条就是MT

MT的位置就可以找到了

AT应该在它们中间

就是这样的

这样就很容易找到初相位

而它这个顶点

它的频率也应该在这个中间

这顶点就等于二分之A

它的模

因为这个SCC它的顶点的值为1

所以它的高度都是

当取到顶点的时候

它就会等于二分之A

就是幅值的一半

这是图像上我们就可以看到

另外还有一种情况

就是当AT等于整数的时候

现在AT一般情况下它是一个实数

当一个特殊情况下它可能整数

就是DT为了0

那么这个时候

AT就自然会等于MT

AT会等于MT

我们就可以看到这几个值

DT后面都为0

这四条谱线都为0

那么这根谱线就会到了正中

这个谱线就会到正中

所以在DT为0的情况下面

我们可以看它们的情况

DT等于0

那么这个就变成了A二分之一

SCC0

ejφ

那么这个会变成二分之A

SCC1ejφ

这个会变成二分之A

SCC2ejφ

这个是等于0的

因为它正好在2的位置

在主瓣的边界上

是等于0的

那么这个会等于1

二分之A

SCC1ejφ

它们还相等

这个时候我们还可以发现

还有一根谱线

我们还可以写出来

还有一个M

这个变成了正中

就变成0了

这是它的左边第一条

还有左边第二条我们还可以写

就是说在MT

DT等于0的情况下面

还存在一条

也是应该为0

也是应该为0

就是MT减2

这儿要减2

减掉了

减2的话这个就是2加DT

那么就是2

这这个会变成2

所以还有一条

就是CCPRMT减2的情况

它就等于是

我们就不写这个了

就写这个

CHSCC这是一个T减去2

减2减MT减DT

它等于是ASCC

这是2加上DTejφ

所以这里就等于是二分之A

SCC2ejφ

这个等于0

所以在特殊的情况下

它们会成这种局面

这种局面我们看一下图就更清楚

现在大家可以看到这个图

就是说当DT为0的时候

就是这种情况

它的这个频侧谱线的情况

因为DT等于0

这个时候AT就会等于MT

就这个意思

那么DT正好在中间

左边有一条

刚才写的一共是12345

12345

但是有两个是0

正中一个

你看1 1

这两边各一个

这两边是2

这是0

所以现在能够看到的是三条谱线

因为还有两条都是0了

所以在这个主瓣范围内

在正中的情况下

可以看到三条谱线

这就是整周期截取

在整周期截取的情况下面

我们就可以看到三条谱线

在非整周期的情况下面

我们可以看到四条谱线

这条要拉开

这是四条谱线

在DT不等于0的情况下面

这是DT不等于0

是这样的情况

整周期截取

只有在计算机发出信号的时候

是可能的

如果对于我们平时的采样

是非常难的

因为我们不知道信号的周期和频率

准确的周期和频率是不知道的

因为我们要分析的就是它

那是我们的分析对象

所以要做到整周期

实际信号要做到整周期截取

是比较困难的

这只是说在理论上存在这种情况

当然有时候可能会凑巧会接近于它

是这样的情况