离散相关变换内积信号周期化在线视频

好 同学们

我们上一堂课介绍了

相关频谱函数它的离散化

相关频谱函数它的离散化

主要是为了我们将来

能够用快速的计算方法

这堂课我们会接着上堂课的

离散化的方法

继续把它的快速计算介绍给大家

好 让我们开始吧

上堂课我们得到了相关频谱函数

它的离散化是这样的

XRFN

然后是τM

它等于是这是窗的面积

然后这是采样频率

然后里边是XCD

然后这是K

然后得到一个相关函数VWDN

K减去M

是这样一个离散的相关

然后K的范围

是从M一直到M+NW减1

这里NKM都是整数

我们上堂课已经得到了这个式子

然后这里边的公式

都给出了相应的表达式

这个M的范围

M的取值范围

它应该是从0到NS减去NW

NS是整个数据的采样范围

NW是小波函数的一个离散化范围

我们先来看一下

这两个离散函数的图像

下面看见的

这是两个离散函数的图像

上面就是XCDK

K的范围是0到NS减1

它是一个比较长的数据

就是说我们取得的这个XCDK

它这个离散的数据

它这个K是属于0到NS减1的

而下面这是小波函数

小波函数的离散化

它就是这个VWD它的范围

它的范围这个VWDNK减去M

这个时候K的变化范围

是0到NW减1

然后这个M是它的延迟

我们已经给出了

M的变化范围是这个

M的变化范围是这个

然后还有一个N

这里边的N

是我们上堂课给出来的

N1到N2这么一个范围

是这样的

然后频率范围就是N1ΔF

然后F2等于是N2ΔF

这是两个频率的范围

你只要给定了ΔF

就可以把这个N1 N2确定下来

或者是给定F1 F2

还有ΔF

把N1 N2确定下来

是这样的

那么在这样的情况下

这些函数它都是确定的

所以这个公式

实际上在目前它是可以计算的

当然它计算的时候是离散化

一点一点进行

下面我们来看

怎么来让它进行一种快速的计算

首先我们来设计一个窗函数

离散的窗函数

我们令WR0K等于1

这是当K处于

0到NS减1这个范围

它取1

然后在别的地方都取0

当然这个K是整数了

实际上这个称之为

离散的原点矩形窗

是这样

我们来看一下它的图

现在画面上看到这个图

就是原点矩形窗

可以看到在0到NS

这个范围内它都是1

其实这个1的点就是NS个

当然这里写的是NR

NR就是我们那个NS

0到NS个

然后其它地方全是0

要注意这个0是无穷无尽的

一直到无穷远都是这样

我们下面对我们原来得到的

这两个函数进行加窗

所以我们加窗

加窗完了就是X离散的

它是加的矩形窗K

那么就等于是WR0K

乘以原来这个离散的函数

XCDK

得到一个加窗的信号

然后对这个也进行加窗

这个函数加窗的时候

我们让M等于0

让它不出现

M等于0

就是它这个位置

加完窗以后就是VWRWN

它有变量N和K

我们还保留它的变量

它等于是WR0K乘以VWDNK

是这样的

就是把这两个离散的信号都加上窗

加上窗以后它们就变成无穷了

我们来看一下

现在画面上看见的这个

就是我们加窗以后的

原始信号和小波信号

离散的原始信号和离散的小波信号

大家可以看到

因为加的是矩形窗

原点矩形窗

所以你采样得到的

整个你的这个数据范围

它都是原封不动的保留

然后在两边都是0

一直到无穷的地方

然后这个小波函数也是这样

小波函数因为加窗以后

小波函数的长度

总是短于你采样的信号长度的

所以它是短的

后面这些由于加窗的结果

它会变成了0

就是这样

这个变成0以后

这两边变成0以后

这个时候我们就可以得到两个

这是加窗的函数

但是它是一个无限长的函数

它成为一对

我们利用这两个函数

来进行周期化

或者叫一个信号一个函数

进行周期化

那么周期化是这样的

把这个XDN

它也是K

它等于是XDRK减去L大N

然后L是无穷的

然后这个L是整数

L是整数

这个N等于NS

因为这个NS是这个窗的宽度

所以这是一个等周期构造

是这样的

同样的我们再构造这个

Vn大NK等于是这个

这是小波函数

离散的小波函数

然后是NK减去LN

这个道理是一样的

L也是无穷的

这样我们就得到两个周期信号

一个周期信号

两个都是周期的

两个都是

而且它们周期都相等

都是等于NS

这就是我们构造出来的

我们看一下它们的图像

这就是构造好的周期信号

上面就是我们的

原始数据构造的周期信号

它是整个的采样长度不断的重复

下面是小波函数

小波函数除了小波函数

有的地方是从小波函数取到的值

其它地方都是添了一段0

这样跟这个信号的长度配成一样

然后再周期的重复

形成这么两个周期

两个的周期信号

我们再来看这个计算表达式

它是原来的VCDK和V

这是小波函数

这是采样

离散的采样信号

它们两个做了一个相关

我们把它原来的图调出来

左边这个图是原来我们的计算

就是说这个小波函数

从最左边开始

然后每取一个固定的位置

它就相乘了

然后再相加一次

一直到最右端的情况

是这么一个相关

就是这个小波函数

在这个轴上进行一点点的移动

移动到最右端这儿对齐

就是从左对齐

一直到右对齐这个过程

就是这个表达式

所表示的一个离散相关过程

我们再来看这样两个周期信号

就是我们现在得到了

这两个周期信号

其实它们都是由这两个信号

来通过一定的处理

就是加窗

然后周期构造来得到的

那么就像这个图上所表示的

这两个周期信号

如果这两个周期信号

也跟那个做一个相关

就是从这儿

它这个小波函数

跟这一段信号的左对齐

一直移动

移动相乘相加

然后移动到这个位置

它们是一样的

所以说这个

这个相关频谱函数

它可以用这个表达式

就是用离散的信号

和小波函数的离散相关来构成

也可以由这两个

做一个相关来构成

我们重新写一下

这个相关频谱函数

FN然后是τM

看看前面有一个系数

这是窗的面积

这是采样频率

然后是一个离散的内积

这个内积是这样

第一个是这个周期信号

就是采样信号构成的

以N为周期的周期信号

它是K

然后是小波函数构成的周期信号

是Vn大N

K减去N

然后这个K

我们看

从刚才的图上看

它只变化一个周期就可以了

在一个周期里求和

我们再来看一下这个范围

从这个图上我们可以看到

我们如果把这个周期相乘以后

在整个周期的范围里

就是0到NS减1

这个范围加起来

它跟这边乘完了

只加这个黑点的地方

结果是一样的

所以这个式子的离散内积范围

自然的就变成了

一个周期的内积范围

这里还需要强调的一点是

这里有一个频率的自变量N

在这里我们把它变到了下标上面

因为我们整个这个计算

N是事先给定的

就是相当于给定一个N

我们要完成它们的计算

N就由下标来表示

它不再在这个自变量的

变化范围里边