时变分析原理在线视频

同学们

我们上堂课已经给大家介绍完了

关于加窗频谱函数的一些分析方法

利用这样的方法

我们可以分析那些时不变的信号

就是当信号的参数

跟时间无关的时候

我们用加窗频谱函数

可以得到很好的分析

今天我们要开始学习分析时变信号

就是当信号的参数

随着时间变化的时候

我们怎么来分析

所以我们今天就是第六章

要开始给大家介绍的内容

让我们开始吧

时变分析原理

我们还是从我们已经比较熟悉的

加窗频谱函数开始

这是加窗频谱函数

它是Xwc(f)

这个是我们前面的课程里面

介绍的1/Wc0 CFT[Xw(t)]

然后它是一个加窗信号

我们是对这样的信号进行分析

可以得到这样的加窗频谱函数

我们把它继续展开可以写成这样

1/Wc0

然后是< Xw(t), ψc*(f,t) > t,[∞]

因为这是连续傅里叶变换

应该是连续傅里叶函数

然后时间是无穷的

虽然时间是无穷的

但是因为这里信号已经加窗了

所以它的加窗以后它还是有限的

在这里我们的这个f,t都是实数

所以这是一个连续的内积

以前我们可以看到这个Xw(t)

它应该等于Xc(t)和窗函数W(t)的

一个乘积

是这样的

这是我们的加窗频谱函数

这是我们以前的

加窗频谱函数是这样

今天我们要换一个眼光

来看待这个式子

这样我们可以从这个地方出发

我们可以向前进行发展

最后导出

我们能够进行时变分析的

一些表达式

以前我们把窗是加在

我们原始信号上面的

现在我们换一种方式

我们把它加到这个上面

实际上它可以再演变成1/Wc0

然后< Xc(t),W(t)ψc*(f,t) > t,[∞]

这样是完全没有改变

原来的计算结果

但是我们把窗放到了这儿

这个函数

这样形成的函数

它也是因为窗函数的限制

也是有限的

所以这个内积积出来的结果

跟原来的公式完全是一样的

完全是一样的

下面我们以一个实际的

加窗例子来看

比如说我们加的是余弦窗

那么如果加余弦窗的话

加窗频谱函数就可以写成Xcc(f)

cc是余弦窗频谱函数的意思

那么我们可以给出来1/Wc0

< Xc(t),Wc(t)ψc*(f,t) > t,[∞]

那么加上余弦窗Wc(t)

然后 t,[∞]

改成余弦窗以后

这个我们把它另取一个名字

比如叫Vc(f,t)

因为它有一个f变量

还有一个t变量

那么我们来分析一下这个函数

到底它的构成是什么样子的

我们把它重新写一下

Vc(f,t)等于是

把它先原封不动的写下来

连续傅里叶函数

那么这个余弦窗

我们在前面的课程里面

已经介绍了

它是由矩形窗Wr(t)

和提升余弦函数SsT(t)构成的

而这个是连续傅里叶函数ψc*(f,t)

三个东西构成

三个东西构成

这样的构成方式

我们就可以看到

它的形状是什么样的

我们从图上来看一下

这个函数的形状是什么

现在我们画面上看见的

就是我们黑板上写的那个

Vc(f,t)这个函数

大家可以看到

实际上它就是原来我们看到的

余弦窗和连续傅里叶函数

相乘的一个结果

是这样的

这样它就把我们在做这个内积变换

就是刚才我们黑板上看到的这个

这个内积变换里面的

原来最早我们是对连续傅里叶函数

给加窗信号做一个内积变换

那么这个函数

连续傅里叶函数

它是实部是余弦窗

虚部是正弦

它是一个无穷无尽的

很长很长的一个函数

是一个无限的函数

那么我们把这个窗函数

挪过来以后

这个形成的

最终我们做内积的这个函数

它就变成一个有限的函数

所以和原来做内积变换的

这个函数相比

这个函数的波形要小得多

或者说要短得多

所以我们把这个称之为小波函数

因为它这个波

相对于那种无穷无尽的

很长的波来讲

它是很小的

其实是很短的

所以这里指小波

那里指它是一个比较短的波形

是指这个

从这个角度我们就可以看到

这个我们就给它取了一个名字

这叫余弦窗

因为它本来加的是

有余弦的成分在里面

然后它是由傅里叶函数构成的

这是傅里叶小波函数

我们原来用这个加窗频谱函数

来分析我们的动态信号

实际上

现在我们从另外一个角度来看

相当于我们用了一个小波函数

来分析原来的这个最原始的

动态信号Xc(t)

就是这样的

这样我们就把这个概念

就转换过来了

另外我们还要看到

这个余弦窗傅里叶小波函数

它跟时间有关

另外跟频率也有关

所以在整个

把频率这个函数加上来

它应该是一个三维函数

所以它应该是一个曲面

我们来看一下图像

现在画面上看到的这个图像

就是余弦窗傅里叶小波函数

它的实部

因为傅里叶小波函数

它是一个复函数

它的实部是一个曲面

大家看到

刚才我们看到那个图

实际上是它的一个断面

就是刚才看的这个图在这里

我们把它打出来看一下

这是刚才我们看到的图

实际上是这个曲面的

一个频率断面

这个频率是50Hz

50Hz相当于在这个位置的

断面的曲线图

而这个实际上整个函数

是一个曲面

就是说我们以前在做这个

加窗频谱函数分析的时候

它是相当于用一个曲面函数

用一个三维函数在做分析

当然我们也给出了

这个加窗频谱函数

就是它的快速算法

所以它应该很快的

可以完成这个计算

实际上我们已经在对一个曲面函数

在做分析

利用曲面函数来分析

我们的原始的动态信号

是这么一个形式

在这里我们给的是一个确定性的

余弦窗傅里叶小波函数

我们看到每一个函数

它的作用就很清楚

中间这个函数

这是提升余弦窗函数

它决定了这个小波函数的外波形

而这个连续傅里叶函数

决定了它的内波形

而这个矩形窗函数

决定了它的范围

所以每一个函数

都有它具体的作用

我们再看一下图像

这个外波形和内波形

以及范围是什么一个情况

我们以这张频率断面图来看一下

它这个变化的是内波形

这是由连续傅里叶函数决定的

这是实部

所以它是一个余弦

这是它的虚部

虚部它是一个共轭

所以它是一个负的正弦

所以它翻转过来了

所以说在余弦窗

傅里叶小波函数里面

连续傅里叶函数

就决定了这个小波函数的内波形

而整个轮廓线是由余弦窗决定的

轮廓线是由余弦窗决定的

所以余弦窗决定了

这个小波函数的外波形

而这个小波函数不为0的这个范围

是由矩形窗这个窗宽来决定的

在这个窗宽之外

这个小波函数全为0

所以利用这样的小波函数

来对动态信号进行分析的时候

这个内积

这个无穷内积实际上是可计算的

因为这个小波函数本身是有界的

我们把这样一个函数

我们再往更一般的情况推广的话

比如说当然这个矩形窗还在

这个外波形

我们用一个一般符号来表示它

是Wv(f,t)

虽然这个它只跟时间有关

但是我们还是给了它频率

以备将来之用

可能它将来也可能会对频率有关

这个内波形

我们把它称之为Ww(f,t)

它跟时间和频率都有关系

这样整个三个乘起来

我们就称之为一个小波函数

也就是小波函数