当前课程知识点：线性代数(1) > 第一讲 向量及其运算 > 1.2 n维向量空间中的点 > 1.2 n维向量空间中的点
n维空间中的点
我们在直线上取定坐标系
也就是说我们取定原点
和这个单位长度之后
那么每一个实数
就一一的对应着直线上的一个点
同样地
在这个平面上
如果我们建立了坐标系
任何一个二元有序的数组
x1 x2就一一的对应着
平面上的一个点
那么在三维空间里头
一个三元的有序数组
x1 x2 x3一一的对应着表示
三维空间中的一个点
把直线称为一维空间
平面称为二维空间
类似呢
我们可以用四元的有序数组
x1 x2 x3 x4
来表示四维空间中的点
同理我们可以定义n维空间的点
为一个n元的有序数组
那么称这个其中的第xi分量
为这个点x的第i个坐标
高维空间的引入
并不仅仅是数学概念的推广
在我们生活的三维空间中
建立了坐标系之后
我们就可以利用三元的有序数组
来描述点的位置
那么如果
再添加一个时间坐标轴的话
我们就可以得到四维的时空
那么高维空间的引入
是具有实际的意义的
在n维空间里头我们说两个点
x x1 xn与这个点y
坐标是y1到yn
说两个点相等的话
是指的它们的每一个坐标
对应相等
这是一个自然的定义
那么给定了两个点x和y
我们很自然的可以定义
两个点的和
也就是他们对应的坐标去相加
那么我们就得到一个新的点
x+y
如果c是一个数的话
我们还可以下面的方式来定义
用下面的方式来定义数乘
c去乘以x
我们定义成c乘以x的每一个坐标
这样也得到一个新的点
这样对n维空间的点
我们就自然的定义了和的运算
也就是加法运算
以及所谓的数乘运算
x等于1 2
y等于负4 5是二维空间中的点
那么x+y等于对应的坐标相加
等于负3 7
x等于负1 π3
y等于根下3 5 负2
三维空间中的两个点
那么x+y呢
对应坐标相加
负1加上根3 π加5 3
减掉2等于1得到x+y
x等于2 负1 4
三维空间的一个点
数c等于7
那么cx等于7去乘以x的
每一个坐标等于14 负7 28
这是简单的点的加法
和数乘的例题
由点的加法和数乘的定义
我们很容易看到
这样定义出来的加法
和数乘运算是封闭的
并且对于任意的n维空间中的点
x y z以及数c1和c2
它们是满足下面的八条
运算性质的
第一条是加法的结合律
加法的交换律
那么如果我们把0
原点记为0点的话
0加x等于x加0等于x
这是说我们加法是用0元的
如果我们把负x呢
表示成负1乘以x
那么x加上负x等于0
也就是说我对于任何一个点
x是我有负元素的
数1乘以x等于x
数c1和c2先相乘
再乘以点x呢
是等于c2先和x相乘
再用c1去乘
也就是说数乘我们满足结合律
另外呢
数乘和加法分别满足两条分配律
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
