当前课程知识点：线性代数(1) > 第九讲 求解非齐次线性方程组 > 9.3 解的一般性讨论 > 9.3 解的一般性讨论
好 我们现在来开始讨论
解的一般性情况
我们主要的讨论
是依赖于A的秩
和行数列数的关系
设A是一个m乘n阶的矩阵
A的秩是r
那么我们回忆一下
A通过行变换变成一个U0
U0是简化的行阶梯形
我们把这个行变换叫E
然后再做一个列交换变成一个R
那么这里面这个R呢
就是我们A的秩
那么我们有EAP等于R
如果r等于n呢
A是一个列满秩矩阵
它的主要例子呢
就是A是一个列向量非零的
如果r等于m呢
那么A是一个行满秩矩阵
它的主要例子呢
就是一个行向量
如果r等于n等于m呢
A是可逆的
我们先看第一种特殊情况
就是r和n和m都一样
就是行数 列数
加上秩r是一样的
我们说了r呢
一个直观的理解呢
就是方程的个数中
独立方程的个数
那么从这儿可以看出
独立方程的个数呢
和所有的方程个数是一样的
所有方程都是独立的
然后又等于未知量的个数
也就是方程的个数
和未知量的个数一样
这时候我们求出的解是唯一解
x等于A逆b
那么这时候R呢就等于In
第二种情况r等于n小于m
那么这就是未知量的个数
小于方程个数
但是r等于n
就意味着真正独立的方程的个数
跟未知量的个数是一样的
有5个方程 有5个未知量
那么这种情况呢
我们可以从第一种情况
可以转化过来
但是第一种情况里面
我们增加一些方程
就变成第二种情况了
那么如果你增加的方程呢
跟原来的方程是互相矛盾的
冲突的
那么这时候解就会是无解
如果是跟原来的方程是不冲突的
可以由原来的方程线性组合出来
那么就是有唯一解
所以Ax等于0呢 只有0解
因为Ax等于0
A的列是线性无关
它只有0解
Ax等于b呢
这时候有两种情况
无解或者唯一解
我们来看一个例子
A等于1 3 2 1 6 1
5 1
那么A的这两列是线性无关的
所以Ax等于0呢只有0解
这时候我们考虑Ax等于b的解
我们把A b做成一个增广矩阵
然后对它进行行变换
那么最后这个行变换
化成的这个我们形式
叫U0d的形式
那么我们说了Ax等于b有解
Ax等于b和Ux等于d是同解的
因为它们相当于等式两边
左乘了一个E
d就等于E乘上b
U就等于E乘A
所以这同解
所以Ax等于b有没有解
我们只要看Ux等于d有没有解
那么这个方程
对应的方程组U0x等于d呢
就是这个向量能不能写成
1 0 0 0和0 1 0 0的
线性组合
那么当且仅当c3和c4是等于0的
所以我们得到了
当且仅当c3 c4等于0
b这个是当且仅当
d等于c1 c2 c3 c4
是属于U0的列空间
我们在原来说过
做行变换的时候
并不改变列的线性相关性
所以我们有这样一个结论
这是第二种情况
第三种情况呢
跟第二种对偶的
在第二种情况呢
r是等于n小于m
那么这时候呢
A通过行变换化的U0的形式呢
它是等于r 等于In 0
我们看第三种情况呢
是r等于m小于n
那么这时候A呢
通过行变换化到U0以后
U0再列交换
就变成这样一个形式
我们U0乘P就等于R
那我们可以看到U0x等于d
就是我们的方程呢
先是Ax等于b
然后变成了U0x等于d
最后我们又变成了Ry等于d
那么前两个呢
这两个方程组是同解的
后面这两个方程组呢
它们中间有个P作为转化
因为这个我们可以写成
U0Py等于d
也就是说Ry等于d的
随便给一个解
我们给它乘上一个P
就变成了U0x的解
虽然它们的解不一样
但是它们总是通过这样一个
左乘以一个P进行来回变换的
那我们来看一下Ry等于d的解
对于这种特殊情况
它的解呢
总有一个特殊解是d0的
就是Ry等于d有的特解d 0
我们通过一个例子来说明一下
比如说R等1 0 0 1 2 3
那么这时候呢
Ry等于d就变成了
y1+2y3等于d1
y2+3y3等于d2
如果这时候我们令y3等于0
那么我们可以看到
y3等于0的话
那么就得到了y1等于d1
y2等于d2
那么这个呢
就是Ry等于d的一个解
那么它左乘以一个P呢
就变成了U0x等于d的解了
那么这时候我们看到
自由变量有n-m个
因为自由变量呢
就是把n-r
所以呢就有n-m个
那么这时候因为r是小于n的
所以Ax等于b有无穷个解
我们最后看一般的情况
一般的情况呢
就是r比m和n都小
那么这时候呢
我们化完以后R是等于EAp
这样一个形式
那么我们刚才说了
Ax等于b和Ry等于d
这两个解虽然不一样
但是它们差了一个左乘P
所以呢Ax等于b有解
当且仅当Ry等于d有解
那么这时候呢
我们来看一下
Ry等于d什么时候有解呢
Ry等于d有解
那么当且仅当
这个d是属于R的列空间的
那么我们可以从R这个形状看出
d属于R列空间
也就是说
因为R的列空间
实际上是由Ir 0这些向量呢
列向量线性组合出来
所以就是d呢
它的后面的分量呢
从r+1开始都是0
就是这一部分量都必须是0
因为Ir0呢
它的列的线性组合
不可能产生r+1到m
这一部分的分量
所以满足这一个等于0
所以如果Ry等于d呢若有解
这时候它有无穷个解
因为这个r是小于n的
那么Ry等于0呢
它肯定有非0解
所以Ax等于b也有无穷解
好 我们来注记一下
就是在第二种情形呢
就是A的列数和秩是一样的
但是小于A的行数
那么这时候A化成U0
是这样一个简单的形式
这个当然也等于我们的R了
那么对于U0呢
我们容易找到它的左逆
也就是说In 0
这个乘上U0就等于In
那么由此呢
我们就可以写出A1的左逆
就是In 0右乘一个E
这就是A的左逆 In 0
我们来看一个例子
比如说A取1 2
那么这时候
A取一个列向量的形式1 2
那么A呢这时候通过行变换
变成个1 0 就是我们U0
那么这时候我们的E呢
就等于1 0 -2 1
好 那时候呢
A的左逆就按这个形式
我们就可以写出
是1 0乘上1 -2 0 1
就等于1 0
在第三种情况呢
A是行满秩的
对偶的
那么A应该它有一个右逆
那么也是
为了算出它的右逆呢
我们把A通过行变换
化成U0的形式
U0的形式呢
我们容易看出它的右逆
U0它的右逆是Im 0等于Im
这样我们就可以看出U0的右逆
那么这时候呢
我们可以写出EA乘上Im 0
等于Im
那么这时候我们可以把A的右逆
算出来
就是这个Im 0乘上E
最后呢我们来看一个例子
当lambda等于多少的时候
方程组这个有无穷解或者无解
那么判定这个的方法呢
我们是考虑A的增广矩阵
这个方程组的A b
这样一个增广矩阵
然后对增广矩阵呢
我们进行行变换
首先第二行的第一个是1
第一行的第一个是2
所以我们稍微做个调换
容易计算一下
这样做一个一二行的交换以后
我们再用第一行乘上负2
把第二行的这个2消掉
然后第一行的1呢再乘个负1
把第三行这个1也消掉
这样子
我们就变成了这样一个形式
这个形式呢
已经得到的是一个阶梯形了
那么我们由这个呢
我们可以简单地看出来
Cx等于d呢有解
和Ax等于b是同解的
因为它们做的是个行变换
等于左乘了一些矩阵E
那么Cx等于d呢 如果有解
我们可以看到
这样一个阶梯形呢
必须保证lambda减5要等于0
它才有解
如果lambda减5等于0的话呢
Cx等于d是有解的
那么这时候它的解是无穷个解
因为Cx等于0呢
它有两个基础解系的向量
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
--default
-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
--default
-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
--default
-20.2 特征值的代数重数和几何重数
--default
-20.3 矩阵可对角化的应用
--default
-20.4 同时对角化
--default
-20.5 小结
--default
-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
