当前课程知识点：线性代数(1) > 第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义 > 18.1 引言 > 18.1 引言
大家好 这一讲我们来给出
行列式的几个应用
第一个应用
就是当A是可逆的时候
Ax等于b一般只有唯一解
那么这个唯一解呢
我们可以利用行列式
给出公式的求解方法
第二个呢如果A可逆
我们能写出A的逆
那么这个A的逆呢
我们也可以使用行列式
给出它的公式求解
第三个行列式我们已经知道
一般表示有向面积体积
那么这一节呢
我们就确切地来用行列式
给出一般的
有向面积体积的计算公式
最后一条我们来考虑一下
行列式跟我们在前面学的
QR分解之间的关系
使用QR分解可以给出行列式
确切的一个一般情况下的表达形式
这一讲我们来讨论
行列式的一些几何意义
行列式的几何意义我们说过了
它就代表了某种有向的面积体积
我们讲行列式
这些意义中的一些应用
主要的应用体现在
计算Ax等于b的值
当A是可逆矩阵的时候
第二个就是计算一些三维
或二维空间中的面积体积
我们由此引入了外积的概念
第三方面呢我们将把这个
跟QR分解联系起来
也就是说一个矩阵的QR分解
和行列式的某些关系
我们先看下面这个定理
这个定理实际上是我们前面的
关于行列式展开的一个补充
我们知道一个行列式呢
它可以等于某一行的元素
乘上相应的代数余子式加起来
那么如果行列式的某一行
去乘上另外一行的代数余子式
那结果会是什么样呢
这个定理告诉我们
如果行列式的某一列或者某一行
去乘上另外一行的
或者另外一列的代数余子式
那么结果是等于0的
比如说这个第i行
从ai1到ain 它乘上另外一行
第s行的代数余子式
那么结果是等于0
这个是第j列
第j列的这些元素
乘上第t列的代数余子式
那么结果也是0
那么我们来理解一下
这个定理描述的内容
我们知道第s行
去乘上它相应的代数余子式呢
那么得到的就是这个矩阵
A的行列时候
那么我们说
如果我们是用A的第i行的元素
去乘上第s行的代数余子式
那么这个呢
实际上我们可以继续使用
刚才我们的行列式展开
也就是说这可以看作一个新的
矩阵的行列式
是哪个矩阵呢
就是把我们原来这个A的第s行
换成A的第i行的元素
这个是A的第s行
现在换成了A的第i行
那么大家可以看到
这时候新的矩阵的第i行
和新的矩阵的第s行是一样的
所以行列式值是等于0
这就是这个定理告诉我们的
我们总结一下
如果用A的第i行
和A的第j行的代数余子式相乘
加起来
那么如果i等于j的时候
就是A的行列式
i不等于j的时候就是0
那么同样的用A的第i列
和第j列的代数余子式相乘
那么如果i等于j 就是A的行列式
i不等于j呢 就是0
在这里面我们i和j是固定的
好 我们用这样的基本原则
我们来看两个例子
D是这样一个四阶的行列式
我们来算一下
C41+C42+C43+C44
那么大家可以看到
这些正好是第四行元素的
代数余子式
那么我们可以用另一方面
我们可以看到
这一个第三行正好都是1 1
所以这样一个和呢
等于用第三行
去跟第四行的代数余子式相乘
那么按照我们刚才的结论呢
它是等于0的
我们再来看这样一个
五阶的行列式
我们来求C31+C32+C33
和C34+C35
那么这个呢技巧性更强一些
我们并不是把第三行
代数余子式整个加起来算
我们是分开来算
那么按照刚才这个原则
我们可以看到
第二行和第四行的元素特点
大家注意
第二行的前三个是一样的
后两个是一样的
第四行也是这样的
我们按照刚才那个定理结论呢
我们先用第二行的元素
跟第三行的代数余子式相乘
得到了这样一个表达式
然后再用第四行的元素
跟第三行的代数余子式相乘
得到这样一个关系
那么我们把它代进去
我们就得到了这样两个表达式
那么由此可以算出
两个值都是等于0的
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
