当前课程知识点：线性代数(1) > 第十七讲 行列式的计算 > 17.2 典型例题 > 17.2 典型例题
刚才我们介绍了
行列式展开的两个公式
一个是行列式展开通过置换阵
另一个展开呢
是通过递归的
把n阶行列式转成n-1阶行列式
在实际计算中呢
我们这两种方法会结合着使用
我们先考虑把行列式
化成一个上三角阵
或者把行列式降阶
因为我们知道一个上三角
或者一个下三角的行列式呢
它实际上是等于
它的对角线元素的乘积
所以我们可以容易计算
它的行列式值
这是一个四阶行列式
我们通过行变换
这些行变换呢
都是第一列的初等行变换
不改变行列式值
化到这一步以后呢
我们可以看到这块是0
所以我们把第二行
和第四行做一个调换
这样就会变号 增加一个负号
好 那么到这一步以后
我们可以使用这一行中的1
把这一个2消掉
这样我们就可以得到了一个
最后我们得到这样一个形式
到这一步以后呢
我们得到了一个上三角行列式
那么这个行列式值呢
就是对角线元素的乘积
等于57
上三角方法
实际上类似于我们原来的LU分解
那我们在使用行列式
转化为低阶的行列式求法
就是降阶法
降阶法呢 首先第一步
我们把原来的行列式的第一列
只保留第一个1
后面的全消成0
那么这时候呢
到这样一个形式以后
我们就可以按照第一列展开
第一列展开因为后面三个全是0
所以我们只需要考虑
它的代数余子式
它的代数余子式呢
就是这个矩阵的行列式
大家一定要注意前面的正负号
好 到这一步以后呢
我们再使用
我们这块有一个0
所以我们考虑再按照第一列展开
但是展开之前呢
我们先把这个2消掉
这个消掉以后呢
这个行列式呢
我们按照第一列展开
我们只需要考虑它的代数余子式
所以就等于这样
到这一步以后呢
因为这个3和这个-3呢
我们可以做一个消去
就得到这样的形式
这是一个下三角形的行列式
所以呢我们直接得到答案57
在这个过程中呢
我们把降阶和行消去结合着使用
利用行列式按行或者列
展开计算行列式的时候
一般的我们都会选择
有较多0的行或者列展开
这样可以保证
不用计算相应的代数余子式
对一般的数字行列式呢
我们可以把某一行或者列
化到只剩一个非0元的时候
再做处理
好 我们再看下面这个例子
在这个例子中呢
我们可以在这一列中呢
已经有一个0了
所以我们可以把
这一列中的2和4给它化成0
这样我们就得到这样一个形式
那么我们就可以按照第二列展开
第二列展开
只有它有代数余子式需要考虑
所以它的代数余子式呢
把它所在的行和列划去
就是这样一个代数余子式
它所在的第二行第二列
所以前面呢
正负号是-1的2加2
到这一步以后呢
这是-5 这是5
所以我们可以考虑做一个列变换
把最后一列加到第二列上
这样这个就消成0了
到这一步以后
我们可以按第二行展开
因为第二行只有一个非0元
所以我们只需要考虑
5的代数余子式
也就是把它所在的行和列划掉
那么它的代数余子式呢
我们需要考虑加上这个正负号
最后我们算的结果是10
我们再看下面这个例子
这个例子呢
是计算四阶范德蒙行列式
我们在前面学过投影的时候
学到最小二乘法
关于曲线的拟合的时候
我们就面对了
这样一个类似的一个行列式
或者矩阵
这种行列式的特点呢是每一列
实际上是按照指数在增长的
第一个
我们可以把它列成x1的0次方
第二行这个是x1的1次方
x1的2次方 x1的3次方
那么大家可以想想
一般的更高阶的范德蒙行列式呢
也是按照这个规律在往下走的
这样一个行列式呢
我们要计算的时候
我们可以看到它每一行
之间的差别是非常有规律的
所以我们可以分析一下
相邻两行元素比较接近
从末行开始呢
我们看到后一行
加上前一行的负x1倍
我们就可以把第一列中
后面的部分全消成0
好 我们这样做一下
这样第一列前面消成0了
也就是说我们把第一行
乘上个负的x1加下来
第二行乘以个负的x1加下来
第三行乘个负的x1加下来
就是我们先考虑
用第三行乘个负x1
把第四行这一个消掉
然后再考虑第二行乘负x1
把这个消掉
再考虑第一行乘负x1
把这个第二行的第一个元素消掉
这样我们就得到了
这样一个矩阵的行列式
那么大家可以看到
它们有很多公共的因子
那么我们把每一列的公共因子
都提出来
这样我们就实际上呢
我们按照这个1展开
最后得到了这样一个行列式
这个行列式大家看
它又是一个三阶的行列式
所以
我们可以继续使用刚才的办法
这个第二行乘一个-的x2
加下来就可以把这个消成0
这个呢乘个-x2的
把第二个消成0 所以呢
我们继续刚才的过程
就得到这样一个形式
这样的形式呢
我们同样地把这些因子提出来
然后按照第一列来展开
那我们就可以看到
最后化成了一个因子
乘上一个二阶的范德蒙行列式
我们最后计算结果是这样的
写成一般形式呢
实际上xj和xi的差量
那么大家可以看到
如果xi和xj均不相等
也就是说x1 x2 x3 x4互异
那么我们看到
这个范德蒙行列式
结果不会等于0
那么刚才这个证明过程呢
实际上我们可以用到一般的
n阶的范德蒙行列式的计算
那么我们可以类比的算出
n阶的范德蒙行列式
它的形式也是x1的1次方
x1的平方 一直到x1的n-1次方
那么最后的结果呢
是用xj-xi 其中i要小于j
就是两个量的差量只取一遍
就是我们不考虑xi-xj
所以范德蒙行列式不等于0
就是只要当且仅当
x1到xn是互异的
我们再看下面这个例子
设A是一个m乘n阶的矩阵
B是一个n乘m阶的矩阵
m是大于等于n
那么我们来证明
当lambda不等于0的时候
lambda Im-AB等于lambda的m-n次方
乘上lambda In-BA的行列式
这个定理呢
在经常计算中对我们是有帮助的
比如说我们A
是一个一阶矩阵1 1
B是一个1 2 这样一个形式
那么我们看到
这时候A乘B是等于1 2 1 2
而B乘A呢是等于3
也就是说对这种情况呢
这时候后面这个行列式
实际上是个数
所以前面的行列式
不太好计算的时候
我们可以把它转化成这样一些
也就是说这一个是二行一列
当m和n呢
是远远大于n的时候
或者n远远大于m的时候
或者m远远大于n
那么我们就可以把
这个高阶的行列式
转化成一个低阶的行列式
这个结论呢
我们证明的时候使用了分块矩阵
我们来考虑下面的分块矩阵
这样一个分块矩阵
我们对它做行变换和列变换
我们使用第一类的初等行变换
或者第一类初等列变换
我们知道
这样并不改变行列式的值
而由此我们会得到
两个不同的矩阵形式
这样我们就可以
最后推出了行列式的相等
我们先对它做行变换
我们将第一行乘以个-B
加到第二行上
大家注意这是个分块矩阵
第一行乘个-B呢
那么注意这时候呢它是行变换
所以这个B乘A呢是从左边乘的
我们得到的这块是In-BA
那么因为这样
是个第一类的初等行变换
所以这个矩阵的行列式
和这个矩阵的行列式是一样的
那么但是这个矩阵的行列式呢
我们看
它是一个分块上三角的矩阵
我们再来看这个矩阵
我们对它再做一次列变换
这之后这个列变换呢
我们是用第二列乘上一个-B
加到第一列上
那么这时候呢
我们对这个A因为是列变换
B乘A是从右边乘
所以最后呢这个地方是Im-AB
这样一个矩阵呢
我们可以再把它做一步
因为这样一个矩阵的行列式呢
我们可以看得更清楚
通过第一列乘以一个-A加过来
那么这个矩阵
可以最后变成了这样一个形式
那么这个呢
我们也可以对它做行变换
乘以个-A加上去
那就是Im-AB 0 0 In
好 我们看我们同样的一个矩阵
我们对它做了不同的变换
得到了两个不同的矩阵
但是在整个这样变换过程中
行列式的值始终不变的
所以我们可以推出
这个矩阵的行列式
和这个行列式的矩阵是一样的
那么这两个矩阵的行列式呢
我们可以确切地看出来
它的行列式呢
应该是这个矩阵的行列式
而下面这个行列式是应该是这个
Im-AB的行列式
所以我们可以得到
第一步我们得到这样一个结论
就是In-BA等于Im-AB
也就是说在lambda等于1的时候
我们证明了这个例题的结论
那么如果lambda不等于1呢
因为我们这个AB是随便选的
我们可以通过把lambda提出去
如果lambda不等于0
那么我们刚才把这个转化一下
lambda m提出来
那么就得到这个行列式
对这个行列式呢
我们用刚才的结论
这个时候我们把心目中的
这个lambda分之一A呢
看作原来的A
那么我们就可以把它跟这个B
交换一下 得到这样一个形式
对这个矩阵呢
我们再给它乘上一个lambda
那么提出去以后是lambda的n次方
所以最后变成lambda m-n
乘上这个行列式的值
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
--default
-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
--default
-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
--default
-20.2 特征值的代数重数和几何重数
--default
-20.3 矩阵可对角化的应用
--default
-20.4 同时对角化
--default
-20.5 小结
--default
-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
