当前课程知识点：线性代数(1) > 第四讲 矩阵的运算 > 4.3 矩阵的乘法 > 4.3 矩阵的乘法
下面我们来看一下矩阵的乘法
我们已经初步
给出了矩阵乘法的定义
那么借助于矩阵与向量的乘法
我们定义了矩阵的乘法
两个矩阵A和B相乘
它的列向量就等于A去乘以
对应的B的列向量
也就是说我AB就等于
Ab1 Ab2 Abp
那么因为我们Ab1这些
是作为矩阵和B的列向量的乘积
我们已经有了定义了
那么从这个式子里头
我们可以看得出来
我们这样定义的矩阵的乘法
AB的每一列都是A的
各列的线性组合
它以B的对应列的元素
为组合系数
我们回忆一下矩阵A
与向量x的乘积定义
A和x相乘
总可以写成A的列向量的线性组合
组合系数是向量x的分量
所以呢A的这个列数
一定要跟x的维数要相等
它才能够匹配
从另外一种定义方式
我们说Ax是一个向量
这个向量的第i个分量呢
是A的第i行向量与x的点积
那么我们注意到
我们这里头已经偷偷把m乘n
本来讨论的是n阶的方阵
现在换成了是m乘n的矩阵
那么A有多少行
其实并不要紧
关键是看A的行向量
与x一样也是n维向量
才能够做点积
那么也就是说
要跟一个n维的向量x去做
乘积的话这个A必须是有n列
那么回到矩阵的乘积
我们知道A和B如果两个矩阵
可以相乘的话
A的列数要跟B的行数相等
这是从上面的讨论里头
可以看得出来的
那另外呢
我们从刚才的讨论里头
我们可以知道
AB乘积矩阵的第ij个元素是什么呢
是A和B的第j个列向量相乘的
第i个分量
那么A和B的第j个列向量
相乘的第i个分量是什么呢
它是A的第i行和B的第j列
去做内积做到的
又可以用求和符号
把这件事情写成Aik Bkj
k从1到n
好 总结一下上面
矩阵乘法的定义
如果A是一个m乘n的矩阵
B是一个n乘p的矩阵
B的列向量记成是b1到bp
那么乘积矩阵AB呢
它是一个m乘p的矩阵
我们有下面的定义
AB相乘等于Ab1 Ab2 Abp
AB乘积矩阵的第ij个分量呢
是等于A的第i行向量
和B的第j列向量来做点积
我们又有一个求和号的写法
好我们看一下简单的例子
给出来A是一个2乘2的矩阵
B是一个2乘3的矩阵
那么我们来计算AB的乘积
我们先根据定义来看
我们把B的列向量记成是
b1 b2 b3
那么我们看Ab1相乘
Ab1相乘这是一个矩阵
乘以一个向量
那等于列向量的线性组合
等于(2 1)加上4倍的(3 -5)
等于(14 -19)
那么同理我们可以去计算
Ab2和Ab3
于是根据定义
AB矩阵的乘积就等于
A和b1相乘 A和b2相乘
A和b3相乘
那么或者呢我们可以根据刚才
AB矩阵乘积的第ij个分量的公式
我们来看A的第一行
和比如说B的第三列
我们可以得到AB乘积的
第一行第三列的元素
那么这个元素呢
是等于2和3相乘加上3乘以6
这是矩阵乘法的例子
我们再来看一道例题
我们假设A是
给定的一个四行三列的矩阵
B是给定的一个
三行两列的矩阵
我们求AB乘积的第二行
由矩阵乘法的定义
AB的第二行是由A的第二行
和B的各列相乘得到的
A的第二行和B的两列
分别去做内积
跟第一列去做内积我们得到
4加上21再减掉12
这个A的第二行跟
B的第二列来做点积得到
-1加上9减掉8
从而得到AB乘积的第二行
我们发现其实计算
AB第二行的时候
我们只需要拿出A的第二行来
和B去相乘就得到我们想要的结果
那只要把A的第二行拿出来
去乘以B就好
这个事情在一般情况下
也是正确的
也就是说我AB乘积矩阵的第i行
是等于第一个因子A的第i行
去乘以B这个矩阵
我们回顾一下
我们说矩阵乘积
当A和B相乘
把B写成列向量的样子
那么我们从这个定义式里头
可以看得出来矩阵乘积AB的
每一列都是矩阵A的列向量的
线性组合
而当我们把矩阵A
写成行向量阿尔法1到阿尔法m的
样子之后
我们发现从这个公式里头
可以看得出来
矩阵乘积AB的每一行
阿尔法B呢是矩阵B的行向量的
线性组合
我们这件事情也可以从刚才
AB乘积的ij个分量的
这个公式里头可以看得出来
我们也可以看出这件事情
AB乘积的第i行是什么呢
是ai1 b1*一直加到ainbn*
那么AB的行向量
是B的行向量的线性组合
组合系数恰好是A的相应行的分量
由AB乘积第j列的公式
我们可以可以看得出来
AB乘积的第j列
它是A的列向量的线性组合
组合系数是B的相应列向量的分量
这是我们对于AB乘积的两种理解
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
