当前课程知识点：线性代数(1) > 第二十一讲 特征值在微分方程中的应用 > 21.5 微分方程的稳定性 > 21.5 微分方程的稳定性
那么和讨论差分方程类似的
我们也来看看微分方程
du/dt的等于Au的稳定性
那么t趋向于无穷的时候
我们想要看看它的解
u（t）的状态是什么样子的
我们说决定u（t）状态的
是A的特征值
看A是可以对角化的情况
我们说du/dt等于Au有通解
通解写成c1elambdaetX1
加上cnelambdantXn的情况
那么我们看这种简单的情况
如果呢所有的特征值
它的实部是小于0的
那么e的At次幂是趋向于0矩阵
这时候这些都是趋向于0的
我们知道说e的lambdait次幂
如果lambdai一个复数
我们写成它的实部
加上根下-1乘以它的虚部
再去乘以t 那么等于
我们说e的根下-1去乘以虚部
再乘以t
这个东西根据欧拉公式
我们说这个总是cos加根下-1 sin
总之它是一个有界的量
那我这个取绝对值的话
所以它一定是小于等于
这个东西的
好 那我如果是lambdai的实部
是小于0的
当t趋向于无穷的时候
这个是趋向于0
我们说在这种情况下
我们叫解是稳定的
所以严格讲是说
由A的特征值的实部的所决定的
那如果所有的特征值
它的实部是小于等于0的
那e的At次幂是有界
我们这时候称解是中性稳定的
如果至少有一个特征值
它满足它的实部是大于0的
这时候e的At次幂是无界
解是称为是不稳定的
我们看简单的例子
du/dt等于Av
这个A是0 -1 1 0这种样子
U0是1 0这个向量
我们看一下这时候
A的特征多项式lambda平方+1
因此我们可以求出来
lambda1等于i lambda2等于-i
两个特征值都是虚数
它的实部是等于0的
我们说这个解是中性稳定的
我们看一下事实上
这时候e的At次幂
这是有意思的一道题目
大家可以自己去做一下
根据定义去看
那么它等于cost -sint sint cost
这是一个旋转矩阵
那么把这个结果代到我们的解
Ut无论如何是等于At
去乘以U在0点的值
那么把eAT是一个旋转矩阵
代进来
U0我们取的是1 0
这样的一个初始向量
那么它就等于cost sint
也就是说这时候
这个初值问题
它描述的
它的解所描述的
是一个做圆周运动的点
这是所谓一个中性稳定的
而下面这个例题
du/dt等于Au
A是这样的一个矩阵
那么去求它的特征多项式
lambda平方+4lambda+3有两个特征值
一个是-1 一个是-3
它是实数
它的实部都是小于0的
都是负数
因此我们断言说解是稳定的
那我们看一下
因为在这种情况下
Ut是等于c1e-tX1加c2e-3tX2
好 因为特征值不同
所以特征向量
相应的x1和x2 这是线性无关
那我们求出来这是我们的通解
我们注意到对这个通解而言
因为lambda1和lambda2都是负数
那我们来看说
t趋向于无穷的时候
e-t趋向于0 e-3t趋向于0
整个的Ut趋向于0
这时候解是稳定的
好 我们是通过
这两个简单的例子来看
微分方程du/dt等于Au
它解的稳定性取决于
A的特征值的实部的情况
我们是以
A可对角化的情形来做例子的
大家可以初步地来了解一下
系数矩阵的特征值是如何来
决定微分方程解的情况的
这节课我们引入了
矩阵的指数函数
讨论了利用矩阵的特征值
求解微分方程du/dt等于Au
以及与之等价的常系数
齐次线性微分方程
我们从这当中可以初步的看到
矩阵的特征值
与特征向量的威力
我们还可以看到
如果一个矩阵可以对角化
我们就可以方便的来计算
它的指数函数
从而求解du/dt等于Au
这类微分方程
这节课就到这里
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
