当前课程知识点：线性代数(1) > 第三讲 高斯消元法 > 3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵 > 3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
我们接下来再来看一道例题
x+2y+z=2 3x+8y+z=12
4y+z=2
同样去做消元
我们用第一主元位置
上的第一个主元
1就是我们的第一主元
去消第二个方程里头的x项
那么是把第二个方程
减掉第一个方程乘以3
这3是由3除以1得到的
那么从系数矩阵的情况来描述呢
我们第二个方程
减掉第一个方程的3倍
得到新的系数矩阵
我们常数项相应的做这样的变换
然后我们利用第二个主元2
去消这个主元下方的
第二个主元去消主元下方的
这个y的项
那么从而是要用第三个方程
减掉第二个方程乘以2
从而把第三个方程
变成5z减去10
用矩阵语言来描述呢
第三个方程
减掉第二个方程的2倍
从而使得系数矩阵变成一个
上三角形的矩阵
相应的常数向量
也做同样的变换
我们有三个主元
第一主元 第二主元和第三主元
消元法成功
这时候对于有n个方程
n个未知量的这种情况
消元法成功等价于是有n个主元
我们注意到
在这个给出来的例子里头
如果我们把刚才系数矩阵
A的第二行第二列的元素
由8变成6的话
也就是这个位置上是6的话
那么消元法第二步就要暂停
我们用第二个方程
减掉第一个方程的3倍
我们就得到-2z=6
那这个时候消元法就要暂停
就是我们需要来交换第二三行
因为这个时候
在第二主元的位置上
系数是等于0的
我们需要借助于第三个方程
给我们第二个主元
如果系数矩阵A
它的第三行第三列的元素
由1变成-4的话
我们来看一下
在这个位置如果是-4的话
我们先做第一步是消元
用第二个方程减掉
第一个方程的3倍
从而第二个方程里头
不含有x的项
那这个时候因为这儿是-4
我们再用第二主元2去消
第三个方程里头y的项
那第三个方程减掉
第二个方程的2倍
那我们第三个方程
就变成0等于-10
这时候消元法终止
我们得不到第三个主元
也就是说对n个方程
n个未知量的这种情况
消元法成功
等价于我们最后变的系数矩阵
是一个可逆的上三角矩阵
我们有n个主元
那么我们如果把刚才的这个
系数矩阵
这个如果是叫成u
这个叫成c的话
我们这时候变成了ux等于c
那我u里头有三个主元
这个x是有唯一解
从而u是对于任意的c
我都有唯一解
从而u是一个可逆的上三角阵
那也等价于是说我的Ax等于b
是有唯一解
也就是说我A也是一个可逆矩阵
那么之前我们处理的这个方程组
都是含有两个未知量
两个方程
或者三个未知量
三个方程的情况
那在这种情况下
我们可以把消元的步骤
一步步地详细写下来
可是对于巨大的方程组
这就不可能了
我们希望能够引入简单的记号
我们已经用Ax等于b
这种矩阵形式来
描述一个线性方程组
那我们现在的目标是说
想要用尽可能简洁的方式
来描述对方程组做
消元化简的这个过程
我们首先回顾一下
给你一个n乘n的矩阵A
它有n行 n列
x是一个n维的向量
矩阵乘以向量
Ax是怎么定义的呢
我们上节课学了
说一个矩阵乘以向量
有两种定义的方式
一种呢是说我的矩阵Ax相乘
是等于矩阵A列向量的线性组合
组合系数呢是x的这个分量
或者呢我们可以把它看成
这个系数矩阵A
它的行向量
每一个行向量
去跟你的向量x去做点积
也就是说我Ax得到的是这个向量
这个向量的每个分量呢
是相应的A的行向量
与x去做点积
特别地
从这一段我们可以看得出来
Ax的第i个分量就是A的第i行
去跟x去做点积
对应分量相乘再相加
因此Ax第i个分量是Ai1乘以x1
加上Ai2乘以x2
一直加到Ain乘以xn
那么有了这个基础
我们再来看看刚才例3.6里头
消元法的第一步
我们第一步是对第二个方程
减去第一个方程的3倍
对于常数向量而言
是对向量(2 12 2)
第二行减掉第一行的3倍
我们注意到它的第一个分量
和第三个分量没有变
第二个分量是由原来的第二分量
减掉第一分量的3倍
我们想用一个矩阵
来实现这种情况
我们通过前面
对矩阵乘向量的回顾
发现下面的这个矩阵
可以实现这一点
我们来看给你这个矩阵
它在主对角线上是1
在(2, 1)的这个位置上是-3
那么其他的位置上都是0
这样的一个矩阵
去乘以任意的向量(b1 b2 b3)
我们说它等于什么呢
从矩阵对向量的乘法的
两种定义来看
比如说我们说行向量
第一行和这个向量去做点积
那么得b1
第二行去跟这个向量来做点积
等于-3b1加上b2
也就是b2减3倍的b1
第三行去跟这个向量来做点积
等于b3
那么它的效果是什么呢
效果是第一个分量
和第三个分量保持不变
第二个分量呢
是原来的第二分量
减掉第一分量的3倍
这恰好是我们要的效果
特别的这个矩阵
去乘以我们刚才的常数向量
(2 12 2)之后就是(2 6 2)
一三分量保持不变
第二分量是原来的
第二分量减掉第一分量的3倍
消元法的第二步
是第三个方程减去了
第二个方程的2倍
类似的我们可以看到
下面的这个矩阵
在主对角线上是1
在(3, 2)这个位置上是-2这样的
其他位置上是0的这样一个矩阵
它对任何一个向量(b1 b2 b3)
起到的效果是
第一二分量保持不变
第三分量变成了
原来的第三分量减掉
原来第二分量的2倍
那么特别的对于
我们想要做的常数向量(2 6 2)
它就变成了(2 6 -10)
我们找到了像是E21
E32这样的矩阵
它通过去乘相应的常数向量
把常数向量的变化给表示出来了
我们再仔细观察一下
这个矩阵E21和E32
我们发现E21
它是单位矩阵的第二行
减掉第一行的3倍得到的
那么它的第二行减掉
第一行的3倍
而E32呢
它是我们单位矩阵的
第三行减掉第二行的2倍
也就变成了我们的E32
那么由单位矩阵
去做相应的这样的变换
得到的矩阵就消去矩阵
这类矩阵我们就叫做初等矩阵
特别的单位矩阵
它与任何n维的向量相乘
都是等于这个向量自身
好 我们回过头来继续对
例3.6进行讨论
我们给定的是方程组是Ax等于b
我们已经知道E21这个初等矩阵
它所乘以向量(b1 b2 b3)之后
得到是新的向量
这个新的向量
一三分量是保持不变的
第二个分量是第二个分量
减掉原来的第一个分量的3倍
那么我们想问的是
这个初等矩阵E21
所乘以我们的系数矩阵
A以后是什么样的效果
我们期望它是什么样的效果呢
我们期望它能够得到
我们第一步消元之后
也就是系数矩阵A
它的第二行减掉了第一行的3倍
得到的这样的一个矩阵
这是我们期望的效果
那么我们就需要定义矩阵
E21与A的一个乘法运算
我们需要定义这个乘法运算
使得上面这个式子能够成立
那这样定义出来的运算
需要满足什么样的性质
我们知道我们是从线性方程组
Ax等于b开始出发的
在常数项这边所乘以E21
使得常数项达到了我们想要的
第二个分量减掉
第一个分量的3倍
第一分量和第三分量
保持不变的效果
那么同样地
你用E21左乘以左手边的
Ax这一项
那么现在呢我们希望说
它能够等于
如果我们的E21和A去相乘
等于我们想要的系数矩阵A的
第二行减少掉第一行的3倍
这样的一个矩阵
那么我们注意到
如果这个等式成立的话
就要要求
我们定义出来这个乘法
要满足结合律
只有这样才能保证这一步
那么另外一个条件呢
我们需要是说
两个矩阵相乘
那么它应该和我们之前有的
矩阵和向量的乘法
应该是一致的
特别的当第二个矩阵
如果就是一个列向量的时候
那么矩阵的乘法
应该跟我们之前定义的
矩阵和向量的乘法完全一样
那我们也就说
如果我B这个矩阵
它的列向量是b1 b2 b3
那么乘积矩阵AB的列向量
应该是第一个因子A
和B这个矩阵的每一列
列向量得到的
就是AB的第一列应该是
A和B的第一列做乘积
AB的第二列是
A和B的第二列做乘积
这样才能够保证矩阵的乘积
与矩阵向量的乘积相一致
那么我们发现
其实这个第二个式子
恰好就可以拿过来
作为我们矩阵乘积的定义
那么我们就把两个矩阵相乘
定义成是它的列向量
等于矩阵与第二个因子
相应列向量的乘积
那我们当然需要验证
这样定义出来两个矩阵的乘积
它是满足刚才要求的结合律的
这件事情我们下节课再来证明
那么如果我们有了这样的定义
我们可以验证
刚才我们希望得到的E21
和矩阵A的相乘的效果
的确是我们想要的
消元之后的效果
为什么呢
因为我们E21乘以A等于
E21这个矩阵
E21这个矩阵去乘以A的第一列
乘以A的第二列
乘以A的第三列
当E21去乘以A的第一列的时候
我们说用矩阵和向量的乘法
刚才已经验证过
它等价于是说
我的第一和第三分量保持不变
第二个分量
是原来的第二个分量-3
去减掉第一个分量的3倍
那么得到0
同理第二个列向量
和第三个列向量
变成我们想要的这种样子
好 类似的E32这个矩阵
去乘以这个系数矩阵之后
它是等于把这个系数矩阵的
第一行 第二行是保持不变的
根据刚才的这个定义
我们相当于是说
这个矩阵的第一行和第二行
保持不变
第三行呢是用原来的第三行
减掉第二行的2倍
从而变成0 0 5
的确是说我们满足
这个消元的要求
那小结一下
我们说消元的过程
就是消去矩阵
同时去左乘以系数矩阵
和常数向量的一个过程
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
--default
-19.2 例
--default
-19.3 特征值的性质
--default
-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
--default
-20.2 特征值的代数重数和几何重数
--default
-20.3 矩阵可对角化的应用
--default
-20.4 同时对角化
--default
-20.5 小结
--default
-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
