当前课程知识点：线性代数(1) > 第十五讲 Gram-Schmidt正交化 > 15.2 正交向量组和正交矩阵 > 15.2 正交向量组和正交矩阵
好 我们先来看一下
正交的这些向量构成的一组向量
它们有什么一些好的性质
我们先有下面这个定理
设v1到vk是Rn中的k个向量
我们假设它们是相互正交垂直的
那么我们说v1到vk是线性无关的
那么这个定理告诉我们
正交的向量自然是无关的
正交比无关这个条件更强
那么从直观上看
比如说1 1这个向量
跟1 0这个向量
它们是无关的
但是1 1这个向量
和1 0这个向量并不正交
就是说正交比无关强
是无关的向量不一定是正交的
正交的向量肯定是无关的
我们来证明一下
那么反证法我们假设
a1倍的v1加上a2倍的v2
一直加到ak倍的vk
这些ai都是实数
假设也就是说v1到vk
线性组合出0
那么我们需要证明a1到ak呢
这种组合是个平凡的
a1到ak都是零
好 那么我们已知的条件呢
已经知道vi转置乘vj等于0了
也就是vi和vj是垂直的
那么由此我们在这个等式两边
给它同时左乘一个vi的转置
我们先左乘一个v1的转置
那么大家可以看到
在这个等式中呢
只有第一项留下来了
后面的一项
都是v1转置乘上一个vk
都是0
所以只有第一项留下来
第一项就变成这个
因为v1它是个非0向量
是非0的
所以它的长度平方
也不会等于0
这样我们就推出了a1等于0
那么同样的道理呢
我们也可以推出
a2 a3到ak等于0
你只需要
乘以相应的vi转置就行了
由此我们可以看到
v1到vk呢是线性无关的
比如说R平方中随便取两个向量cos theta sin theta
这个我们可以看到
是单位圆上的一个向量
这个呢
是单位圆上另一个向量
这两个向量呢相互正交
我们看到cos theta
它们之间的内积是等于0的
我们把定理中的
这样一组向量呢
我们叫做正交向量组
它们之间相互正交的一组向量
我们叫正交向量组
那么我们进一步的定义
标准正交向量组
设q1到qn是n个列向量
它们是标准正交的
那么这个意思呢
它们互相之间是垂直的
但是呢
它们自己跟自己做内积呢
等于1
也就是说每一个向量
都是单位长度的
这些都是单位向量
所以这就是标准正交
标准的意思呢
在这里面表示的向量
都是单位向量
好 我们把这一组向量
做成一个矩阵
我们来看一下
这组向量呢 做成一组矩阵
我们叫Q
就是Q的列就是这些向量
那么我们让Q转置来乘下Q
那么根据分块矩阵的乘法呢
最后等于q1转置
乘到每一个向量上去
q2转置乘到每一个向量上去
那最后我们得到这样一个矩阵
n乘n的一个矩阵
那么我们可以看到
因为qi的转置乘上qj等于0
或者1
所以大家可以看到
在这些表达式中
除了对角线以外
其他地方都是0
对角线只能取1
所以这个是个单位阵
那么这个Q呢
我们给它起个名字
叫列正交阵
Q就是列正交的
也就是说Q的每一列
是相互正交的
而且每一列呢
它的向量都是单位长度的
如果Q是一个方阵的话
那么我们可以看到
Q的逆就是Q转置
我们把这种Q呢叫正交阵
我们来看一下正交阵的一些例子
这个是一个典型的正交阵
这个正交阵呢
我们将在后面看到
它起的作用实际上是旋转
逆时针旋转theta角度
好 我们再看这一个矩阵
这个矩阵也是正交阵
它的转置乘上它自己呢
等于单位阵
我们看如果Q是个正交阵的话
那么Q乘Q转置
当然也是单位阵了
但是如果Q不是个正交阵
是个列正交阵
那么Q乘Q转置不一定是单位阵
比如说我们拿这个例子来看
这个例子我们只取前两列
0 1 0 0 0 1
我们把这个称为Q
那么这个Q呢 我们看到
它的两列相互正交
而且每一列是单位长度的
那么这时候呢
如果我们用 这个是三行二列的
那么Q转置呢0 1 0
0 0 1
我们大家可以看到
这个是一个二行三列的
这样的Q乘Q转置呢
我们知道它的秩肯定是小于3的
就是一般来说一个细长型的
乘上一个矮胖型的
那么结果得到的矩阵呢
它的秩要是小于它们最长的列数
所以如果它是列正交阵
Q乘Q转置不一定是单位阵
但是Q转置乘Q
总是一个单位阵
在这里我们看它应该是I2
那么一般来说呢
我们正交阵
它有一种简单的构造方法
设u是一个列向量
假设这个u是一个单位长度的
那么我们可以通过
这样一个单位长度的列向量
我们构造一个正交阵
这个正交阵呢
我们写成Q等于In减2倍的
u乘u转置
大家注意u乘u转置
是一个n乘n的矩阵
u是这样一个竖的
u转置实际上是一个横的
所以u乘u转置
是一个n乘n的矩阵
那么这个Q呢
我们后面会发现
它实际上是个反射矩阵
它把u变成了
用左乘Q以后就变成了-u
而且它把任何一个
跟u垂直的向量
也就是说直观上
就是跟u垂直的那个平面
没有动
所以那个平面就是我们的镜面
所以Q叫做反射矩阵
关于这个镜面的反射矩阵
比如说u是0 0 1
那么这时候我们算出了
I3减2倍的u乘u转置
我们就得到了这样一个
那么我们可以看到
当你把任何一个向量
左乘一个Q以后
实际上呢
是把最后一个坐标
把它的z变成-z
所以我们看到这是关于
xoy平面的一个反射
xoy平面是我们要的镜面
以上这两个例子呢
它们都是保长度的变换
也就是说它把任何一个向量
它的长度跟它左乘一个正交阵
长度是一样的
我们说满足这种性质的呢
都是由正交阵引起的
我们有下面这个定理
设Q是一个正交阵
则对于任何一个n维向量
Qx的长度和x的长度是一样的
我们来证明一下
Qx长度的平方
就等于Qx的转置乘上Qx
这是定义
然后根据转置的性质呢
这个我们可以给它写开
就是x转置乘Q转置
再乘上Qx
因为Q是个正交阵
所以这个是个单位阵
这样我们就等于x转置x
最后我们等于x长度的平方
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
