当前课程知识点：线性代数(1) > 第十六讲 行列式的基本性质 > 16.4 行列式和初等变换 > 16.4 行列式和初等变换
下面我们来看一下
初等变换对行列式值的影响
设A是个n阶方阵
那么关于A呢
我们可以做三种行变换
就是对A的某一行乘个数
加到另一行上
那么这个相当于
对A左乘一个初等阵
或者对A某一行
和另一行进行交换
那么这相当于
A左乘一个置换阵
或者把A的某一行
乘以一个倍数
这相当于A左乘一个Eik
在这些表达式中呢
我们看到如果A取单位阵
比如说第一个A取单位阵
那么我们可以看到
这个呢 当A取单位阵的时候
那么我们可以看到
A撇的行列式就等于
Ejk Ejik这个行列式就等于1
那么同样的我们可以看到
Pij阶的行列式就等于-1
Eik的行列式就等于k
那么这个呢我们令k不等于0
那么我们可以注记 第一点
如果我们对A进行列变换
E到A撇
那么我们有跟上面相似的性质
第二点
如果我们考虑这三个初等矩阵
那么初等矩阵的行列式
是不等于0的
第三点我们看
在这个变换过程中呢
比如第一个A撇的行列式
等于A的行列式
那么就告诉我们A撇的行列式
等于EA 也就等于E的行列式
乘上A的行列式
那么第二条呢 告诉我们
A撇的行列式
等于Pij阶的行列式
乘上A的行列式
这个行列式正好是-1
第三个正好告诉我们
Eik的行列式乘上A的行列式
所以我们有下面这个定理
就是我们做了一次初等行变换
那么矩阵的乘
左乘初等阵呢
得到的新矩阵的行列式
就等于初等阵的行列式
乘上原来矩阵的行列式
那么把这个过程
递归的往下走那么我们就得到
A通过一个初等行变换
变成A撇
我们使用了初等行变换矩阵E
这个A撇等于EA
那么A撇的行列式
就等于E的行列式
乘上A的行列式
设E呢是等于E1到Ek
这个E1到Ek
每一个都是三种初等行变换之一
那么我们可以递归地写
E乘上A就可以理解成E1
乘上括号里面这个矩阵
那么E1是三种初等行变换之一
我们可以用刚才那个观察
那么就等于E1的行列式
乘上后面这个
这样递归的过去以后
最后我们推出了EA的行列式
等于E的行列式乘上A的行列式
那么如果A是从列变换
变成A撇的
那么我们知道A撇呢
就等于A从右边乘上E
那么这时候呢
A撇的行列式呢
就等于A的行列式
乘上E的行列式
证明是完全相似的
我们通过这个定理呢
可以做如下的推论
推论一 如果A是一个n阶方阵
A的行列式不等于0
则A是可逆的
反过来如果A可逆呢
则A的行列式不等于0
第二个推论是说
AB如果是两个n阶方阵
则A乘B的行列式
等于A的行列式乘上B的行列式
我们来看推论一
如果A是不可逆的
则存在着一个行变换EA等于U
实际上呢
如果A是一个n阶方阵呢
我们总可以通过A
做一些行变换
使得A有LU分解
这个P是可逆的
这个L呢也一个初等矩阵的乘积
那么如果A不可逆呢
那么这个U一般就不可逆
如果A不可逆
那么我们可以看到U呢
最后一行就应该是0
那如果最后一行是0呢
那么我们可以得到这个PA
因为这个P是可逆的
它是若干初等矩阵的乘积
所以我们把A变成PA
这是个行变换的过程
我们把这个叫A撇
那么A撇的行列式就等于
P的行列式乘上A的行列式
如果A是不可逆的
U的最后一行是0
那么由我们上面的定理
U的行列式等于E乘上
行列式乘上A的行列式
所以等于0
但是呢E是可逆矩阵
可逆矩阵呢
我们可以把它写成
初等矩阵的乘积
那么我们知道初等矩阵
它们的行列式均不为0
所以最后我们可以看到
这个可逆矩阵的行列式不等于0
那么推论二呢
跟定理的形式是相似的
就是如果B是一个
就是定理中我们这一块
A我们取的是可逆的
那么如果A不可逆
那么我们可以看到
这个矩阵就不可逆
不可逆呢 我们就可以看到
它的行列式就应该是0
所以两边就相等
如果AB均可逆
那么我们就可以使用我们的定理
所以推论二呢
是把推论一和定理结合起来
得出来的一个结论
使用这个推论二呢
我们可以得到下面的推论三
也就是说A的行列式
跟A转置行列式是一样的
我们刚才已经说过
任何一个矩阵它可以通过行变换
得到一个新的矩阵叫PA
这个PA呢
这个矩阵有LU分解
那么我们可以看到A的行列式
左乘一个P的行列式
这跟A撇的行列式是一样的
那么这个东西呢
我们可以写成LU
那么如果A是可逆的
则这个PLU都可逆
那么我们来只要检查一下
一个可逆矩阵它的转置
而每一个可逆矩阵呢
它都等于初等矩阵的乘积
这些初等矩阵
就是我们的三种
最基本的初等矩阵
那么我们回到这一块以后
我们可以看到
这个命题我们只需要检查
每一个初等矩阵Eijk
它的行列式是不是等于
Eijk转置的行列式
Pij是不是等于
Pij转置的行列式
或者Eik是不是等于
Ei转置k的行列式
而这三种呢
对我们来说都容易检查
所以我们得到推论三
推论三告诉我们
一个矩阵的行列式
当我们谈行的时候和谈列的时候
是对称的
凡是行有什么性质
列有相似的性质
好 我们用刚才学到的
这几条推论的性质呢
我们来计算几个特殊例子
设A是一个1 2 3
2 1 0和3 3 4
这样一个三阶矩阵
那么我们怎么来计算
它的行列式呢
那么根据刚才我们的原则
当A进行行变换的时候
我们可以知道前后的行
矩阵的行列式的关系
所以我们对A进行行变换
当A进行第一种行变换的时候
得到了这个矩阵
再进一步得到这个矩阵
那么我们看到这种行变换
并不改变行列式的值
所以A的行列式呢
和这个矩阵的行列式一样
进一步到这个矩阵的行列式
那么我们可以把这个矩阵叫U
那么U就等于
这三个初等矩阵乘上A
那么我们可以看到
A的行列式等于U的行列式
那下面的问题是
怎么来求U的行列式
U呢是一个上三角矩阵
那么我们一般地讨论一下
怎么来求
一个上三角矩阵的行列式
设R等于这样一个3乘3的
上三角矩阵
那么我们将看到
它的行列式实际上是它对角线
这三个元素的乘积
这个我们只需要对R做
第一种初等行变换
我们先要分两种情况
一种r11取0
如果r11取0的话
那么R呢有一列为0
那么它的行列式就是0
所以这个结论是正确的
如果r11不等于0
那么我们可以用r11呢
把r12和r13做列变换消去
同样讨论呢
我们讨论r22是不是等于0
r33是不是等于0
最终我们可以把这个
化成一个上三角形式的
如果r11 r22 r33均不为零
如果它们中有一个是0的话
我们就可以看到两行
或者两列成比例
那么这样子呢
我们就可以推出它的行列值是0
所以总的来说呢
最后当这三个都不为0的时候
我们可以把R化成一个对角阵
那么这个对角阵呢
我们可以把每一列的倍数提出来
最后我们回到单位阵
所以我们可以得到
一个上三角矩阵的行列式
等于对角线元素的乘积
这个结论呢
我们可以推广到一般情形
都是对的
上三角矩阵它的行列式
等于对角线元素的乘积
我们来看下面这个例子
这个例子呢
我们看它的每一列
实际上都是两个向量的和
那么我们自然的会使用
行列式的一个定义中的关于拆分把两个列向量的和拆开
我们先看第二三列不动
把第一列拆成两列
那么就得到两个行列式的和
然后再进行第二
对每一个这样一个行列式
我们再进行同样地拆分
我们看到如果我们把
这个行列式拆分的时候
我们可以看到
第三列如果我们拆分
那么拆出来的这两列呢
一旦取这一列的时候
这一列和这一列相同的时候
那么行列的值就是等于0
所以我们拆分
要保证每一列是不相同的
所以我们可以看到
最后得到的结果呢
就等于2倍的这三列的行列式
就是在整个拆分过程中
一旦在某一列中取得拆分的
和另外一列取得相同的时候
那么行列式值就为0
所以最后留下的
只有三列都不相同
这个例子提示我们
两个矩阵和的行列式
并不等于行列式的和
或者一个矩阵乘上k倍的行列式
它并不等于这个行列式
左乘一个k
我们这个行列式的加法性
和数乘性呢
实际上是对行列式中的每一列
或者每一行的向量来说的
而不是对整个矩阵说的
如果A可逆
则我们看到A的逆的行列式
等于A的行列式的逆
这个呢我们可以通过检查A
和A乘逆它们等于单位阵
所以我们看到
两边取一下行列式
左边就可以写成
A跟A的逆的行列式的乘积
右边就是1
所以我们看到A逆的行列式呢
等于A的行列式的分之一
如果A是一个正交阵
我们知道一个正交阵呢
它满足它的转置就是它的逆
那么A的行列式只能取正负1
因为我们知道
A的转置跟A的行列式是一样的
所以我们由这个可以推出
A的行列式的平方是等于1的
所以A的行列式可能等于正负1
那么也可能等于-1
比如说A取0 1 1 0
那么它的行列式就等于-1
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
--default
-19.2 例
--default
-19.3 特征值的性质
--default
-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
--default
-20.2 特征值的代数重数和几何重数
--default
-20.3 矩阵可对角化的应用
--default
-20.4 同时对角化
--default
-20.5 小结
--default
-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
