16.4 行列式和初等变换在线视频

下面我们来看一下

初等变换对行列式值的影响

设A是个n阶方阵

那么关于A呢

我们可以做三种行变换

就是对A的某一行乘个数

加到另一行上

那么这个相当于

对A左乘一个初等阵

或者对A某一行

和另一行进行交换

那么这相当于

A左乘一个置换阵

或者把A的某一行

乘以一个倍数

这相当于A左乘一个Eik

在这些表达式中呢

我们看到如果A取单位阵

比如说第一个A取单位阵

那么我们可以看到

这个呢 当A取单位阵的时候

那么我们可以看到

A撇的行列式就等于

Ejk Ejik这个行列式就等于1

那么同样的我们可以看到

Pij阶的行列式就等于-1

Eik的行列式就等于k

那么这个呢我们令k不等于0

那么我们可以注记 第一点

如果我们对A进行列变换

E到A撇

那么我们有跟上面相似的性质

第二点

如果我们考虑这三个初等矩阵

那么初等矩阵的行列式

是不等于0的

第三点我们看

在这个变换过程中呢

比如第一个A撇的行列式

等于A的行列式

那么就告诉我们A撇的行列式

等于EA 也就等于E的行列式

乘上A的行列式

那么第二条呢 告诉我们

A撇的行列式

等于Pij阶的行列式

乘上A的行列式

这个行列式正好是-1

第三个正好告诉我们

Eik的行列式乘上A的行列式

所以我们有下面这个定理

就是我们做了一次初等行变换

那么矩阵的乘

左乘初等阵呢

得到的新矩阵的行列式

就等于初等阵的行列式

乘上原来矩阵的行列式

那么把这个过程

递归的往下走那么我们就得到

A通过一个初等行变换

变成A撇

我们使用了初等行变换矩阵E

这个A撇等于EA

那么A撇的行列式

就等于E的行列式

乘上A的行列式

设E呢是等于E1到Ek

这个E1到Ek

每一个都是三种初等行变换之一

那么我们可以递归地写

E乘上A就可以理解成E1

乘上括号里面这个矩阵

那么E1是三种初等行变换之一

我们可以用刚才那个观察

那么就等于E1的行列式

乘上后面这个

这样递归的过去以后

最后我们推出了EA的行列式

等于E的行列式乘上A的行列式

那么如果A是从列变换

变成A撇的

那么我们知道A撇呢

就等于A从右边乘上E

那么这时候呢

A撇的行列式呢

就等于A的行列式

乘上E的行列式

证明是完全相似的

我们通过这个定理呢

可以做如下的推论

推论一 如果A是一个n阶方阵

A的行列式不等于0

则A是可逆的

反过来如果A可逆呢

则A的行列式不等于0

第二个推论是说

AB如果是两个n阶方阵

则A乘B的行列式

等于A的行列式乘上B的行列式

我们来看推论一

如果A是不可逆的

则存在着一个行变换EA等于U

实际上呢

如果A是一个n阶方阵呢

我们总可以通过A

做一些行变换

使得A有LU分解

这个P是可逆的

这个L呢也一个初等矩阵的乘积

那么如果A不可逆呢

那么这个U一般就不可逆

如果A不可逆

那么我们可以看到U呢

最后一行就应该是0

那如果最后一行是0呢

那么我们可以得到这个PA

因为这个P是可逆的

它是若干初等矩阵的乘积

所以我们把A变成PA

这是个行变换的过程

我们把这个叫A撇

那么A撇的行列式就等于

P的行列式乘上A的行列式

如果A是不可逆的

U的最后一行是0

那么由我们上面的定理

U的行列式等于E乘上

行列式乘上A的行列式

所以等于0

但是呢E是可逆矩阵

可逆矩阵呢

我们可以把它写成

初等矩阵的乘积

那么我们知道初等矩阵

它们的行列式均不为0

所以最后我们可以看到

这个可逆矩阵的行列式不等于0

那么推论二呢

跟定理的形式是相似的

就是如果B是一个

就是定理中我们这一块

A我们取的是可逆的

那么如果A不可逆

那么我们可以看到

这个矩阵就不可逆

不可逆呢 我们就可以看到

它的行列式就应该是0

所以两边就相等

如果AB均可逆

那么我们就可以使用我们的定理

所以推论二呢

是把推论一和定理结合起来

得出来的一个结论

使用这个推论二呢

我们可以得到下面的推论三

也就是说A的行列式

跟A转置行列式是一样的

我们刚才已经说过

任何一个矩阵它可以通过行变换

得到一个新的矩阵叫PA

这个PA呢

这个矩阵有LU分解

那么我们可以看到A的行列式

左乘一个P的行列式

这跟A撇的行列式是一样的

那么这个东西呢

我们可以写成LU

那么如果A是可逆的

则这个PLU都可逆

那么我们来只要检查一下

一个可逆矩阵它的转置

而每一个可逆矩阵呢

它都等于初等矩阵的乘积

这些初等矩阵

就是我们的三种

最基本的初等矩阵

那么我们回到这一块以后

我们可以看到

这个命题我们只需要检查

每一个初等矩阵Eijk

它的行列式是不是等于

Eijk转置的行列式

Pij是不是等于

Pij转置的行列式

或者Eik是不是等于

Ei转置k的行列式

而这三种呢

对我们来说都容易检查

所以我们得到推论三

推论三告诉我们

一个矩阵的行列式

当我们谈行的时候和谈列的时候

是对称的

凡是行有什么性质

列有相似的性质

好 我们用刚才学到的

这几条推论的性质呢

我们来计算几个特殊例子

设A是一个1 2 3

2 1 0和3 3 4

这样一个三阶矩阵

那么我们怎么来计算

它的行列式呢

那么根据刚才我们的原则

当A进行行变换的时候

我们可以知道前后的行

矩阵的行列式的关系

所以我们对A进行行变换

当A进行第一种行变换的时候

得到了这个矩阵

再进一步得到这个矩阵

那么我们看到这种行变换

并不改变行列式的值

所以A的行列式呢

和这个矩阵的行列式一样

进一步到这个矩阵的行列式

那么我们可以把这个矩阵叫U

那么U就等于

这三个初等矩阵乘上A

那么我们可以看到

A的行列式等于U的行列式

那下面的问题是

怎么来求U的行列式

U呢是一个上三角矩阵

那么我们一般地讨论一下

怎么来求

一个上三角矩阵的行列式

设R等于这样一个3乘3的

上三角矩阵

那么我们将看到

它的行列式实际上是它对角线

这三个元素的乘积

这个我们只需要对R做

第一种初等行变换

我们先要分两种情况

一种r11取0

如果r11取0的话

那么R呢有一列为0

那么它的行列式就是0

所以这个结论是正确的

如果r11不等于0

那么我们可以用r11呢

把r12和r13做列变换消去

同样讨论呢

我们讨论r22是不是等于0

r33是不是等于0

最终我们可以把这个

化成一个上三角形式的

如果r11 r22 r33均不为零

如果它们中有一个是0的话

我们就可以看到两行

或者两列成比例

那么这样子呢

我们就可以推出它的行列值是0

所以总的来说呢

最后当这三个都不为0的时候

我们可以把R化成一个对角阵

那么这个对角阵呢

我们可以把每一列的倍数提出来

最后我们回到单位阵

所以我们可以得到

一个上三角矩阵的行列式

等于对角线元素的乘积

这个结论呢

我们可以推广到一般情形

都是对的

上三角矩阵它的行列式

等于对角线元素的乘积

我们来看下面这个例子

这个例子呢

我们看它的每一列

实际上都是两个向量的和

那么我们自然的会使用

行列式的一个定义中的关于拆分把两个列向量的和拆开

我们先看第二三列不动

把第一列拆成两列

那么就得到两个行列式的和

然后再进行第二

对每一个这样一个行列式

我们再进行同样地拆分

我们看到如果我们把

这个行列式拆分的时候

我们可以看到

第三列如果我们拆分

那么拆出来的这两列呢

一旦取这一列的时候

这一列和这一列相同的时候

那么行列的值就是等于0

所以我们拆分

要保证每一列是不相同的

所以我们可以看到

最后得到的结果呢

就等于2倍的这三列的行列式

就是在整个拆分过程中

一旦在某一列中取得拆分的

和另外一列取得相同的时候

那么行列式值就为0

所以最后留下的

只有三列都不相同

这个例子提示我们

两个矩阵和的行列式

并不等于行列式的和

或者一个矩阵乘上k倍的行列式

它并不等于这个行列式

左乘一个k

我们这个行列式的加法性

和数乘性呢

实际上是对行列式中的每一列

或者每一行的向量来说的

而不是对整个矩阵说的

如果A可逆

则我们看到A的逆的行列式

等于A的行列式的逆

这个呢我们可以通过检查A

和A乘逆它们等于单位阵

所以我们看到

两边取一下行列式

左边就可以写成

A跟A的逆的行列式的乘积

右边就是1

所以我们看到A逆的行列式呢

等于A的行列式的分之一

如果A是一个正交阵

我们知道一个正交阵呢

它满足它的转置就是它的逆

那么A的行列式只能取正负1

因为我们知道

A的转置跟A的行列式是一样的

所以我们由这个可以推出

A的行列式的平方是等于1的

所以A的行列式可能等于正负1

那么也可能等于-1

比如说A取0 1 1 0

那么它的行列式就等于-1