当前课程知识点：线性代数(1) > 第一讲 向量及其运算 > 1.6 向量的点积、长度 > 1.6 向量的点积、长度
我们接下来学习向量的一种新的运算
点积运算
我们给定两个向量v和w
它们分别是两个n维的向量
我们可以定义所谓的点积
v和w做点积呢
是等于v1 w1一直加到vn wn
也就是对应的分量相乘再相加
点积又叫做是内积或者是数量积
我们注意到这是向量的一种运算
两个向量的点积这是一个数
那么看简单的例子v等于1 2
w等于2 负1
v和w做点积呢
是对应的分量相乘再相加
这个点积是等于0
v等于1 3 -2
w等于-1 4 -3
对应的分量相乘再相加
等于-1+12+6等于17
我们说点积在实际应用中
点积有实际的应用
比如下面这个例子
在经济学中出现的点积
已知三种商品的价格分别是
p1 p2 p3
它们交易的数量分别是
q1 q2 q3
其中这个qi如果是大于0的话
是表示卖出
qi小于0的时候表示买入
于是总收入就等于
p1乘以q1加上p2乘以q2
再加上p3乘以q3
而换一种记法
如果我们把p1 p2 p3
记做是价格向量
q1 q2 q3记作是交易数量向量
于是我这总收入呢
就等于p和q这两个向量来做点积
那么p和q的点积如果等于0的话
这个说明收支是平衡的
当我们讨论更多件商品的时候
我们就需要引入高维的向量空间
以及高维向量的点积运算
有了向量的点积定义之后呢
我们可以来定义向量的长度
或者是叫模
那么是这个向量v和自身的点积
这是一个大于等于0的数
我们可以开根号
用它来作为这个向量的长度
如果这个向量它的坐标分别是
v1到vn
那么根据上面这个模的定义
长度的定义
我们这个向量v的长度就等于
v1的平方一直加到vn的平方
然后再开根号
特别的当v是一个二维向量
它的分量是v1 v2
那么它的长度是v1平方
加v2的平方开根号
这个是符合我们几何直观的
在二维平面上
我们有一个向量
分量是v1 v2
那它的长度是v1方加上v2的平方
开根号
而三维向量v
它的分量是v1 v2 v3
那么它的长度是
那这个是v1 v2 v3
它的长度是根号下v1的平方
加v2的平方再加上v3的平方
这是我们与之前在二维空间
三维空间中向量的长度是相容的
一个简单的例子
v等于123
那么这个v的长度是等于
1加上4加上9再开根号
等于根下14
有了长度的概念之后呢
如果一个向量的长度
是等于1的话
我们就把这个向量叫做单位向量
比如在二维平面上
v等于cos theta sin theta
那这个v的长度是等于1的
任给你一个向量
非0的向量
我们这个v去除以它的模长
是沿着v方向的单位向量
这个过程我们叫做
对向量的单位化
比如说刚才给的向量123
那沿着这个v方向的单位向量
就是v除以它的模长
也就是根下14分之1乘以123
这是对我们123
这个向量的单位化
由向量点积的定义我们容易看到
向量的点积具有以下的性质
v和w做点积
等于w和v做点积
cv加上dw
c和d是两个实数
在与u做点积的话
是等于c去乘以uv做点积
加上d去乘以uw做点积
我们把这个叫做是点积的线性性
那v和自身去做点积呢
等于v的模长平方
这个数是大于等于0的
当这个数等于0的时候
等号成立的时候
当且仅当v是一个0向量
这个我们叫做是点积的正定性
好 对称性 线性性和正定性
这几条抽象出来的性质
将来会帮助我们在向量空间上
来定义内积
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
