当前课程知识点：线性代数(1) > 第十一讲 四个基本子空间的基和维数 > 11.2 维数公式 > 11.2
这节我们来看一下
向量空间的维数公式
就是有时候呢
我们在求
一个向量空间的维数的时候
我们发现呢
实际上
可以通过另外的向量空间来得到
我们需要求的向量空间的维数
设V是一个向量空间
W1 W2是两个子空间
那么我们可以看到
W1交W2它也是一个向量空间
是W1和W2公共向量的集合
另一个是W1+W2
这是W1的向量和W2向量相加
所产生的所有向量的全体
那么我们可以验证呢
它对加法和数乘是封闭的
所以它也是V的子空间
但是一般呢W1并W2不是子空间
y=x和x=0
它们都是R平方的一维子空间
那么我们来看一下
它们的并呢
对加法是不封闭的
所以它们的并不是子空间
例如我们在W1上
这个是W1上我们取一个1 1
在W2上我们取一个0 1
把这两个向量相加
我们产生了1 2这个向量
这个向量既不属于W1
也不属于W2
但是它是由它们相加产生出来的
所以从这儿可以看出
W1并W2并不是对加法封闭的
好 我们可以看到
实际上我们由W1 W2呢
可以产生两个新的子空间
一个是W1交W2
一个是W1加W2
那么这四个向量之间的关系
我们可以看到W1 W2
都比W1交W2要大
而W1和W2都比W1+W2要小
所以这四个向量空间的关系这样
那么确切它们的维数
满足下面这个关系
就是中间的两个W1和W2
它们的维数和呢
等于两边的W1交W2的维数
加上W1加W2的维数
比如上面这个例子
y等于x是一维的
W1维数是一维的
x等于0 y轴
它的维数也是一维的
所以这个1加这个1等于2
但是W1交W2呢
它的维数是0
因为它们交出来的是只有零向量
我们再来看W1加W2
W1加W2呢
是所有的y轴上的向量
和y等于x这条直线上向量的和
那么我们可以看到
随便你取一个点
或者一个向量
我们叫a b吧
那这个向量呢
我们可以看到a b
它都能把它写成一个a a
加上一个0 b-a
那么这个向量是属于y等于x的
这个向量是属于y轴的
所以W1加W2呢
它实际上包含了
R平方中的所有向量
所以我们看到这个维数公式
对上面这个例子是成立的
我们再看下面这个例子
三维实矩阵的全体
它的两个子空间
我们取一个是实对称矩阵的全体
一个是上三角矩阵的全体
我们很容易检查它们的维数
分别9 6和6
那么我们来看W1交W2
就是三阶对角阵的全体
那么它的维数是三维的
因为对角线呢 1 0 0
0 1 0和0 0 1
这三个矩阵
可以线性组合出所有的对角阵
好 我们再来看W1加W2呢
它实际上呢
是所有的三阶实矩阵的全体
这个我们怎么来看这一点呢
我们给一个三阶实矩阵
我们比如说给个1 2 3 4
5 6 7 8 9
那么这句话的意思
这个等式的意思呢
就是说任何一个三阶实矩阵
我们都可以把它写成一个
实对称矩阵加上一个上三角阵
好
那我们先把实对称矩阵写出来
我们写实对称矩阵的时候
对角线我们不动 1 5 9
下面的呢 这一个
对角线以下的部分我们也照写
4 7 8 那么这一块呢
因为实对称
所以4 7 8我们写出来
那么我们可以看到
当把这个矩阵
和这个矩阵相减的时候
它产生的矩阵
对角线以下全是0
这块我们看 我们可以取-2
4减2就等于2
然后这一块呢我们可以取-4
这一块我们给它取个-2
这样我们就得到了
一个实对称阵加一个上三角阵
这是我们通过举的例子
说明一下维数公式
在维数公式中呢
我们出现的W1加W2
和W1交W2
我们怎么一般来计算它们的基
我们来看下面的例子
这是三个向量 都是三维的
我们再给另外三个向量
那么W1呢
我们说这里是α1 α2 α3
这三个向量生出来的
R3的一个子空间
W2是β1 β2 β3生出来的
三维空间的一个子空间
那么我们的问题是
怎么来求W1加W2
和W1交W2的一组基
按照定义呢
W1加W2是把W1中的向量
和W2中的向量相加就行了
所以它一般的呢
实际上是α1 α2 α3
β1 β2 β3
这六个向量的所有线性组合
那么我们确切地说
我们可以令A等于这六个向量
做成的矩阵
那么W1加W2呢
恰好是这个矩阵的列空间
我们看到这个表达式
已经告诉我们了
实际上是A乘上a1 a2 a3
b1 b2 b3
这个表达式告诉我们它等于这个
所以呢
这个正好是属于A的列空间
好 对于上面这个例子呢
我们把A做行变换
得到这样一个阶梯形的矩阵
这个阶梯形的拐角我们可以看到
A的主列是一二四列
这个是一二和四列
所以呢
因为行变换
并不改变列的线性关系
所以呢
原来A它的一二四列
是线性无关的
所以A的一二四列分别是
α1 α2和β1
这样我们就算出来了
A的列空间的基
也就是W1加W2的基
好 现在我们来求
W1交W2的基
那么按照定义呢
W1交W2实际上是α1 α2 α3
生成的子空间
和β1 β2 β3生成子空间的
所有公共的向量
也就是说这个α
既可以写成α1 α2 α3的组合
又可以写成β1 β2 β3的组合
那么现在呢
我们要看k1 k2 k3
μ1 μ2 μ3要满足什么性质
这有6个未知量
但是呢实际上因为α3
实际上是α1和α2的线性组合
β3又是β1 β2的线性组合
所以实际这个表达式中
我们实际上可以不写α3
也不写β3
我们不妨假设k3和μ3是等于0的
这样我们就变成四个未知量
所以我们现在把这个等式
写成方程的形式
就是α1 α2 β1 β2
和k1 k2 -μ1 -μ2
这样我们解一下这个方程组
我们可以算出来
它满足
实际上k1 k2 μ1 μ2
它们的取值满足的是
一个向量的一个倍数
所以我们最后可以算出来
W1交W2中的公共向量呢
实际上都是2倍的α1加α2的倍数
或者β1加β2的倍数
这样我们就求出来了
W1交W2它的维数是等于一维的
我们验证一个维数公式
用这个例子
我们说明了3+1=2+2
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
