当前课程知识点：线性代数(1) > 第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义 > 18.4 和QR分解的联系 > 18.4 和QR分解的联系
大家好 我们来看一下
一个可逆矩阵的行列式
跟它的QR分解的关系
设A呢是一个三阶的可逆矩阵
那么它的列向量是线性无关的
所以我们可以对它进行
Gram—Schmidt正交化
得到了三个标准的正交向量
那么这个过程呢 我们回忆一下
实际上q1就是α1的单位化
q2是怎么得到的呢
q2是把α2减去它在q1上的投影
得到了e2这个向量
这个向量我们叫误差向量
然后这个向量呢
我们给它单位化就是q2
q3是用α3减去
它在q1和q2形成的平面上的投影
这个投影呢是q1转置α3乘上q1
和q2转置α3乘q2
这个e3我们做单位化呢
就是我们的q3
A变成Q的过程
实际上就是这样一个分解
A等于QR
R的这个对角线的三个值呢
就对应着三个误差向量的长度
我们注意这个e1就是我们的α1
所以e1的长度就是α1的长度
e2的长度呢
实际上就是α2的减去
它在q1上的投影
这就是我们的e2
所以e2就是α1α2
形成的平行四边形
关于α1这个底上面的高
e3的长度 我们回忆一下
e3是α3减去
它在q1 q2形成的平面上的投影
实际上也就是在α1α2
形成的平面上的投影得到的向量
这个向量可以看作
这个平行四边形上的高
所以它是平行六面体
在α1α2形成的底上的高
那么A的行列式的绝对值呢
按平行六面体的体积公式呢
就是底乘高
那么e1的长度乘上e2的长度
这就是平行四边形的面积
再乘上这个高
就得到平行六面体体积的绝对值
那么这个值我们可以看到
它实际上等于R的行列式
那么如果A不是一个方阵
比如说给定两个向量α1α2
那么这时候
我们可以得到一个矩阵
这个矩阵
是一个列满秩的矩阵
那么这样一个非方阵的情形
我们仍然可以做
Grma—Schmdit正交化
那么我们可以得到
A0的QR分解
那么这时候Q呢
也是一个三行二列的一个矩阵
但是R是一个方阵
那么这个道理是一样的
e1的长度就代表着α1的长度
e2的长度就是这个高h
所以这个平行四边形的面积
按底乘高的原则就是e1乘e2
那么我们为了用A0来表示呢
那么我们引入A0的转置乘上A0
就等于R的转置乘R
因为Q是个列正交的矩阵
那么这样子我们可以看出
注意A0不是个方阵
但是A0转置乘A0是个方阵
这个行列式我们可以谈
它等于R转置R的行列式
也就等于R的行列式的平方
R的行列式我们知道
是等于e1乘e2的平方
e1乘e2的长度的相乘
也就是等于S的平方
最终我们可以考虑定理
就得到了α1α2
形成平行四边形的面积的平方
就等于A0转置乘A0的行列式
虽然我们这个例子比较简单
但是大家可以试着
把它推广到更一般的情形
就是如果我们考虑α1到αk
这样k个向量是n维的k个向量
然后我们考虑这k个向量
做成的一个超平行六面体的体积
那么这个体积呢
我们可以
有类似于这个定理的结论
也就是说取A0就是α1到αk
列向量形成的矩阵
那么我们可以看到这个体积V
大家可以回去检查一下
这个V和的平方和A0转置乘上A0
这个行列式的关系
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
