当前课程知识点：线性代数(1) > 第十六讲 行列式的基本性质 > 16.1 引言 > 16.1 引言
大家好
从这一讲开始我们学习行列式
我们在这一讲中
将给出行列式的定义
那么直观上看
行列式就是一个有向的面积体积
那么我们从二阶的或三阶矩阵
它们的行列式出发
给出了一般行列式的定义
我们也讨论行列式
和矩阵的初等变换之间的关系
大家好
这节我们开始学习行列式
将用三讲内容呢
来学习行列式定义
性质和一些应用
行列式呢
最早是日本数学家
关孝和提出来的
他在1683年写了一部著作
名字叫《解伏题之法》
这个字面的意思就是
解行列式问题的方法
他在这本书里
对行列式的概念展开
有了清楚的叙述
在欧洲呢
跟他相差大概10年左右呢
德国数学家莱布尼兹
在1693年也提出了行列式的概念
大家也知道牛顿和莱布尼兹
是微积分的奠基人
我们在第二讲呢
专门讲一个莱布尼兹的公式
就是关于行列式计算的公式
1750年Cramer在他的
《线性代数分析导言》中
发表了求解线性系统方程的
重要基本公式
这个公式我们叫Cramer法则
这个Cramer法则
我们将在行列式的应用中呢
我们会详细地介绍
另外一些值得提到的
就是比如说拉普拉斯展开
法国数学家拉普拉斯
他给了行列式
从高阶到低阶的展开
就是拉普拉斯展开
另一点我们可以提出的就是
德国数学家Jacobi
Jacobi呢 大家在学微积分
多元微积分的时候
会看到多重积分中变量替换呢
它正好使用了行列式
就是关于Jacobi矩阵的行列式
行列式呢
它的几何意义呢
概括地说来可以有两个解释
一个就是行列式中的行或列
向量所构成的超平行多面体
如果是在三维中的平行六面体
在更高维的呢
我们就叫超平行多面体
就来刻画这种多面体的
有向的面积和体积
这里面我们有个方向
第二坐标系变换下的图形面积
或体积的伸缩因子
就是刚才我们讲的Jacobi
关于多元微积分中的
多元变量之间的替换
把一种微小的变量
变成了另外一个微元的面积
这样得到的呢
也是用行列式来刻画的
好 我们现在呢
按照这个思想我们来看一下
给定一个n阶的方阵
注意我们只考虑n阶方阵
它的行列式呢
我们记作det（A）
有时候也写成这个形式
那么它的结果是个数
行列式可以理解成一个函数
是从n乘n矩阵到实数的
这么一个函数
就是我们可以把任何一个方阵
映到一个数
这个数叫行列式
比如说n等于1的时候
那么M1R呢
就跟实数是一样的
那么这时候它的行列式呢
就是它自己 就是这个数
大家注意在这时候呢
我们这个符号就容易混淆
它既可以理解成A的绝对值
也可以理解A的行列式
所以在这时候呢
我们最好呢使用det（a）
比较能够区分开来
a就是一维坐标轴上的有向长度
所以在一维的情形呢
它就是个有向长度
det（a）就是a
那么正负号呢
就代表了a的方向
那么我们看到这时候呢
行列式等于0呢
当且仅当这个a就等于0
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
