当前课程知识点：线性代数(1) > 第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义 > 18.2.2 线性方程组的公式解 > 18.2.2 线性方程组的公式解
大家好 我们现在来看
行列式的第二个应用
就是使用在求线性方程组的解
当然这里面呢
我们要求这个线性方程组呢
A是一个可逆的方阵
我们来看一下
设A是一个n阶的方阵 可逆
b是一个n维向量
那么我们像中学一元二次方程
求解的时候
我们当时希望给出一个
求根的公式
那么这里面线性方程组是一样的
我们来看一个二元一次方程组
那么这时候呢
我们假设分母不等于0
那么我们可以写出
这个x和y的一个公式
那么这样一个公式并不容易记
如果我们把它写成行列式的时候
我们可以看到它就比较容易记
这个x的解呢
分母是A的系数矩阵的行列式
y的解呢
分母也是A的系列矩阵的行列式
分子呢
是把A的这个矩阵的第一列
换成了常数列
y这个矩阵的行列式的分子
是把第二列用常数列去换
所以这个规律比较明显
克莱母发现这个规律
可以推管到一个情形
它的定理是说
设A可逆 b是一个n维向量
那么我们让Bk是把A的第k列
换成常数列b得到的矩阵
那么这时候Ax等于b的唯一解呢
我们知道
这时候Ax等于b有唯一解
就是x等于A逆b
这个唯一解呢
我们用公式可以写出来
它就等于
x1是等于A的行列式分之
B1的行列式
一直到xn等于A的行列式分之
Bn的行列式
那么写成这种形式以后
虽然计算是复杂的
但是呢我们很容易记忆
这个方程组解的公式
我们来看
我们怎么能看出
这个定理这个结论呢
我们知道Ax等于b
如果A可逆 那么x实际上
x1到xn是等于A逆乘上b
b我们可以给它写成b1到bn
那么大家回忆一下
刚才我们已经知道了
A逆的一个公式
就是adjA
A的伴随矩阵除以A的行列式
好 那我们可以看到
每一个xi实际上呢
是A的伴随矩阵的第i行乘上b
然后再除以A
比如说xi就等于
A的行列式分之一
然后伴随矩阵的第i行
我们来看一下
一个伴随矩阵的第i行
应该是下面这个形式
C1i C2i到Cni乘上b1到bn
所以xi就等于A的行列式分之一
b1乘上C1i加上b2乘上C2i
加上bn乘上Cni
我们来看这个括号中的内容
正好是C1i C2i Cni
正好是A的第i列的代数余子式
那么我们可以看到
它的前面的倍数
正好是b的相应分量
所以可以看到
这里面这个值呢按照定义
正好是Bi的行列式
按第i列展开的行列式值
所以我们就得到了克莱母定理
我们来看一个例子
这是一个三元一次方程组
我们计算A的行列式
B的行 B1的行列式
B1的行列式就是把常数列
去换相应的A的某一列
B1就是换A的第一列
其他列不动
B2就是把A的第二列换成常数列
B3就是把A的第三列换成常数列
这样得到了四个行列式
那么xyz的值
正好是这些行列式的比值
x就是等于B1的行列式
除以A的行列式等等
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
