当前课程知识点：线性代数(1) > 第七讲 向量空间 > 7.1 引言 > 7.1 引言
大家好
我是清学大学数学系教师徐帆
从这一讲开始
我们来学习向量空间的概念
向量空间中的向量
我们大家都已经学习过了
那么向量空间
顾名思义我们可以列为
向量组成的空间
而对于空间大家也不陌生
因为直线呢我们是一维向量空间
平面是二维向量空间
我们大家生活在三维的空间中
那么向量空间的确切定义呢
我们将在这一讲中严格地给出来
那么为什么要在线性代数里面
引入向量空间的概念呢
因为我们的线性代数
研究的中心问题呢
是线性方程组求解问题
而线性方程组它解向量的集合
我们可以发现
它满足非常好的运算性质
这种运算性质从几何直观上
就是解集
它非常接近于一个空间的形状
是直线或者平面
这就是我们引入
向量空间的主要动机之一
那么下面
我们就开始这一讲的主要内容
大家好
我们现在开始学习向量空间
这一部分内容
向量空间是线性代数的
一个非常重要的核心概念
使用了向量空间的概念以后
我们线性代数的很多东西呢
就可以上升到一个抽象的
和理论的高度
好 我们先来看一下
为什么我们要引入向量空间
我们在前面几节
讨论了矩阵和向量
我们把未知量看成一个
Ax等于b的形式
那么Ax等于b呢
它的解呢
我们是理解成向量的集合
那么我们要理解这个解的集合呢
我们对比微积分研究点的集合
在微积分里面
我们研究点的集合呢
我们不可能把这个点的集合
每一个点写出来
我们只能描述
这个集合的一些性质
比如说这个集合是不是开集
或者是否是闭集
或者这个集合是否对极限
这种运算封闭等等性质
那么线性代数呢
我们经常遇到的情况
在Ax等于b的解集呢
也是这种情况
那么我们将考虑解向量集合呢
关于加法数乘的
某种好的运算性质
满足这种运算性质的集合
将被我们称为向量空间
那我们先来看一下
到底是关于加法
和数乘的哪种运算性质
好 我们来先来回顾
在线性代数里面
我们主要的研究问题
是Ax等于b的解
主要运算是向量的线性组合
那么首先我们来看一下
Ax等于b的解
它这个集合有什么好的性质
我们来看一下
我们先提一个问题就是
给一个Ax等于b这样一个方程组
它的解一般来说正常的
应该是有唯一解 无解
或者有限个解
或者有无穷个解等等情况
那我们来看一下
我们先问一下
这个方程的是否有
有没有多余的有限个解的情况
我们先来设Ax等于b
有两个互异的解α和β
α不等于β 互异的
则Aα等于b Aβ等于b
那么这时候我们给
第一个等式两边都乘上个c
第二等式两边都乘上1-c
然后我们把这两个等式相加
那么左边就变成这个表达式
右边呢等于b
这就告诉我们cα加(1-c)β
实际上呢也是Ax等于b的解
那么随着c的取法不同呢
我们得到了有无穷个解
这样呢我们就可以看出
Ax等于b有无穷解
我们再来看一下
这个无穷的解
有什么非常好的性质呢
我们现在让这两个互异解
得到的这两个等式减一下
那么左边呢就变成了
A（β-α）右边就变成了0了
这告诉我们什么呢
说β-α是Ax等于0的解
因此Ax等于b呢
如果有超过一个解
则有无穷解
这是刚才我们推出的结论
另一方面呢
这无穷个解有非常好的规律
它的规律是什么呢
Ax等于b如果有解α
则另外任取一个解
它都满足另外这个解β
实际上是α+NA中的一个向量
NA是什么呢
NA就是我们Ax等于0的解的集合
那么Ax等于0的解的集合
那我们看它有什么性质呢
它是对加法和数乘是封闭的
我们来验证一下
比如说Au等于0
大家也就是说u属于NA
那么另外一个向量Av等于0
那么就是v属于NA
那么我们可以推出来
这两个一加就是A(u+v)是0
那么这就是告诉我们
u+v呢实际上
这两个向量的和呢
也是Ax等于0的解
所以对加法封闭
对于数乘封闭呢是同样验证的
好 Ax等于0的解的情况呢
我们大家也可以知道
它的解有两种情况
一种呢是只有0解
只有0解什么时候发生呢
就是A的列向量是无关的
线性无关
另外一种呢就是有无穷解
那么就是说A的列向量呢
是线性相关的
所以我们可以看出Ax等于b的解
它的解的这个集合
结构是非常简单的
它实际上是一个特殊的解
加上NA这样一个集合
而NA这个集合呢
对于加法和数乘是封闭的
我们为了描述NA这种集合呢
我们引入了一个新的概念
叫向量空间
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
