当前课程知识点：线性代数(1) > 第八讲 求解齐次线性方程组 > 8.1 引言 > 8.1 引言
大家好
上讲中我们已经知道
一个线性方程组Ax等于b
可以看作Ax等于b的一个特解
加上Ax等于0的零空间
那这一讲呢
我们学习怎么来求解Ax等于0
这是一个齐次方程组
Ax等于0
我们通过高斯消元法
把A化成了一个简化的行阶梯形
然后呢
我们通过简化行阶梯形
很容易算出Ax等于0的
一组无关的解向量
这组无关的解向量呢
可以把Ax等于0的所有解
都线性组合表达出来
我们把这组无关的解向量
称为Ax等于0的基础解系
下面我们来开始
这一讲的主要内容
大家好 我们根据上面几讲的内容我们来回顾一下
跟A这个矩阵相结合的
有两个子空间
一个是列空间CA
它实际上是Rm的一个子空间
它是A的列向量的
全部线性组合的全体
第二个呢是零空间
零空间是Ax等于0的
所有解的集合
那么这个集合呢
它是Rn的一个子空间
而且我们在上节课呢
通过把A化成一个阶梯形
行阶梯形
我们看到NA实际上是Ax等于0的
某些特殊的
解向量的全体线性组合
我们这节课
我们会更加细致的来描述
这些解向量
Ax等于b呢有解
当且仅当b属于A的列空间
Ax等于b它的一个特解呢
如果是x*
那么Ax等于b的解我们都知道了
就是x*+NA
一般的NA呢
除了极特殊情况
大部分情况它都是含无穷个向量
而这无穷个向量呢
要描述它呢
只能通过有限个特殊的向量
通过线性组合来描述
那么这有限个特殊的向量呢
就是我们这节课要考虑的
一个重点问题
我们先来看一个例子
2x+3y+z等于0
这个方程它有3个变量
只有一个方程
它的解集呢
它是一个平面
这个平面的法向量是2 3 1
那么如何要写出方程的
所有的解呢
或者说平面上所有的点
我们先来检查一下
1 1 -5和-1 0 2
我们代进去发现呢
是这个平面上的点
或者说是这个方程的
两个独立的解
独立的解的意思
就是我们可以看到
这两个向量是线性无关的
那么我们来看一下
任意的a b c
如果是这个平面上的点
或者是这个方程的解呢
都是1 1 -5
和-1 0 2的线性组合
我们可以把它写出来
它是这样的
而我们再取另外两个特殊解
1 0 -2 0 1 -3
那么我们看到任意的一个解
a b c能够写成1 0 -2
0 1 -3的线性组合
那么我们来比较一下
在前面这两个独立解
它的线性组合表达的
其他的解的时候
它们这个系数呢
我们可以看到是不好确定出来的
而取这两个特殊解呢
它们的系数呢a和b
正好是这个a和b
也就是说用这两个向量
去来表达所有的解
我们很容易写出其他解
怎么能够通过
这两个解线性组合出来
而这两个向量呢
去表达其他的解
就不容易看出
它们确切的线性组合
那么这两个解是怎么给出来的呢
就是我们先把z写成
等于-2x-3y
然后呢我们把它
写成这样一个形式
就是x等于x y等于y
那么z等于-2x-3y
这时候我们再把它
写成向量的形式呢
我们看到这个所有的
满足这个条件的x y z
恰好是1 0 -2和0 1 -3的
线性组合
而所用的系数呢
恰好是它们前两个分量
按我们上节课的内容呢
我们可以看到
这样做实际上是
把z看作一个主变量
把x y看作自由变量得到的
最后
我们写出NA的整个解的集合
所以我们可以提出下面一般问题
一般情况下呢
我们希望求NA的好的特殊解
使得NA
是这些特殊解的全部线性组合
那么这些好的特殊解
它要满足什么条件呢
那么第一条
首先它们本身要线性无关
因为它们如果线性相关的话
我们可以把这些解呢
能够被其他的解表达的部分
向量都删去
只留下真正起作用的解
第二点呢
这些解能够表达其他解
是容易写成这些解的线性组合
所以我们下面就考虑
NA的一些好的特殊解
使得我们能够把NA这个集合
或者这个向量空间确切的写出来
这些好的特殊解
关键的这两条要满足的话
我们把这些好的特殊解
称为基础解系
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
