当前课程知识点：线性代数(1) > 第九讲 求解非齐次线性方程组 > 9.2 求特解 > 9.2 线性代数求特解
好 我们来考虑
求一般线性组Ax等于b的解
我们现在先回忆一下
我们在最开始得到的两个结果
就是Ax等于b的解呢
它的向量满足
一些非常好的运算性质
是如下的
Ax等于b有解
当且仅当b这个向量
是A的列向量的线性组合
所以换句话说呢
就是b属于A的列空间
第二条呢如果x*
是Ax等于b的一个特解
一个特殊解
则所有的解呢
它的形状都是x*加上Ax等于0
中的一个解
也就是说任何一个解
实际上最后呢
我把这个解写成一个向量的形式
它可以分解成一个x*
然后再分解成另一个向量α
属于N（A）
可以进行这种分解
我们知道N（A）呢
我们假设这块
假设A是一个m乘n阶的
N（A）应该是Rn的一个子空间
在n等于2或者3的时候
我们有确切的几何含义
就是这时候N（A）它是直线
或者是平面
那么这时候x*加上N（A）呢
它的几何上是怎么理解呢
实际上就是过x*这一点的
一条直线和平面
但是这条直接和平面呢
实际上跟N（A）呢
那条直线和平面是平行的
我们通过一个例子来说明一下
大家看下面这个例子
这个例子呢
x1+2x2=3 2x1+4x2=6
那么这个例子告诉我们
这是一条
R平方中的一条直线
这是另一条直线
所以这个方程组的求解
是两个直线的交点问题
那么我们先写出一个特解
X*等于1 1
这个我们代进去验证没问题
然后我们再来看
这个方程把常数项去掉以后
对应的齐次方程是这个方程
这个方程呢我们可看到
实际上呢
它就是只有一个方程起作用
第二个方程
实际上是第一个方程的两倍
所以我们可以删去它
就最后留下这一个方程
那么可以写出它的解向量
它的解向量我们看到
这是一条直线
这条直线呢过了-2 1这一点
一条过了-2 1这一点的
过了-2 1这一条
还过了原点的一条直线
所以这一条直线上的向量
都是-2 1对应的这个向量的倍数
所以是这样的
那么我们可以看到
这个方程组的解集是一条直线
那么这个方程的解集是什么呢
它是这个样子
它是1 1
这是x*加上一个N（A）
如果从几何直观上看呢
这个是跟N（A）平行的
另外一条直线
也就是说过了1 1
那我们把这1 1这一点画出来
比如说这一点
跟这一条直线平行的一条直线
所以我们大家在后面的学习中
这种几何直观其中要保留着
好 那么现在
我们考虑一般的
怎么求这个特殊的解
Ax等于b特殊解
那么一个很直观的想法呢
我们可以取值验证
就是我们可以让
那些未知量取一些值去验证
但是这个有可能有时候取值不当
可能会出现无解
比如下面这个例子
这个方程组呢
如果我们取x2等于x3
等于x4等于x5等于0
那么这时候我们代进去
我们算x1的话
我们看到x1无解
因为第一个方程我们就看出
如果把x2 3 4代进去
第一个方程就推出来x1等于0了
而最后一个方程推出了x1不等于0
所以它是无解的
所以我们为了求出这个特解呢
我们不能随便取值验证
那么我们的办法
是跟求Ax等于0的办法一样
先把A进行化简
化成一个简单的形式
通过这简单的形式呢
我们知道取哪些特殊的值
能保证这些值
确实是符合这个方程的
那么这时我们考虑的是增广矩阵
为什么呢
因为在齐次方程组的时候
这一部分是0
所以b是0
所以对A进行行变换
对b没有影响
但是现在呢
我们对A进行行变换
b也在同时变化
所以呢这个东西呢
我们要记录一下这种变化
那我们进行行变换
这样我们得到了C d
那么根据行变换的性质呢
实际上我们知道这个行变换呢
它实际上是对原来这个矩阵
左乘了一个可逆矩阵E
等于C d
那也就是说EA等于C Eb等于d
那我们可以看到
Ax等于b这个方程组
现在就转化成了Cx等于d
那么由这个性质
我们可以看出
这两个方程是同解的
所以我们要求
Ax等于b的一个特解
我们只要求Cx等于d的一个特解
Cx等于d呢
这个矩阵的形式就变的简单了
它是下面这样子
那么这时候我们可以马上看到
x1和x3是主变量
x2 x4 x5是自由变量
那么因为自由变量
它是可以自由取值的
所以我们就随便取一个值
那方便我们可以取它为0 0 0
最简单
这时我们可以算出x3和x1
很容易算出来
那么得到的x*
就是Cx等于d的一个特解
那当然也是Ax等于b的一个特解
那这样子以后
我们特解就能算出来了
那么我们还需要算Ax等于0的
这个齐次方程组的解
用这些特解去加上这些
那么我们从这儿已经知道
Ax等于0和Cx等于0是同解的
因为我们知道EA是等于C
E是可逆的
所以N（A）等于N（C）
那下面都是原来的方法
我们把自由变量一个取1
其他取0
这样我们就得到了
一组基础解系
那这三个向量呢
就是我们的基础解系
好 那么Ax等于b的解呢
我们就写出来了
这就是我们要的x*
那么这一块呢
就是我们的N（A）
就是x*加上N（A）
最终我们算出来了一般的解
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
--default
-19.2 例
--default
-19.3 特征值的性质
--default
-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
--default
-20.2 特征值的代数重数和几何重数
--default
-20.3 矩阵可对角化的应用
--default
-20.4 同时对角化
--default
-20.5 小结
--default
-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
